半?yún)?shù)模型精度研究

黃 凱

（上海市測繪院，上海，200063）

在測量數(shù)據(jù)處理中，常常要對一系列觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究，這些數(shù)據(jù)通常與時間有很強的關(guān)聯(lián)性，通常稱它們?yōu)椤皠討B(tài)數(shù)據(jù)”或“時間序列”。在時間序列分析中，通常假定觀測誤差只含有偶然誤差，不含系統(tǒng)誤差，而在實際觀測數(shù)據(jù)中一般含有系統(tǒng)誤差。測量數(shù)據(jù)處理建立的動態(tài)處理模型中AR（p）模型、MA（q）模型、ARMA（p，q）模型等都是假定觀測值沒有系統(tǒng)誤差時建立的模型，存在模型誤差。

半?yún)?shù)回歸分析模型是一種既含有參數(shù)分量又含有非參數(shù)分量，本文將半?yún)?shù)回歸分析方法引入AR（p）模型，建立適于測量數(shù)據(jù)處理的理論與方法，在確定未知參數(shù)的同時能將模型誤差與偶然誤差分離開來，并對半?yún)?shù)模型的引入對精度的影響進(jìn)行比較研究。

1 時間序列

時間序列［1］的定義，由一串隨機變量…，x1，x2，x3，…構(gòu)成的序列叫做隨機序列，用xt（t＝…，1，2，3，…）或｛xt｝表示。如果下標(biāo)t是整數(shù)變量，它代表著間隔的時刻增長量，而整數(shù)變量t即認(rèn)為是指某時刻。建立時序模型的基本思想是認(rèn)為同一變量在現(xiàn)在時刻的觀測值，在時間上同以前的觀測值是有聯(lián)系的，當(dāng)然在新的時刻會出現(xiàn)未預(yù)料的新情況。因此，若記xt（t＝…，－2，－1，0，1，2，…）是一個時間上無限伸展的序列，則可提出一種描述該序列的模型是xt＝f（xt－1，xt－2，…）＋at，這里的函數(shù)f把現(xiàn)在的情況同以前的情況聯(lián)系起來，而at表示時刻t出現(xiàn)的新情況，假定它是同t時前的情況無關(guān)的隨機因素。模型主要包括：

1.1 自回歸（AR）模型

時間序列模型中只有有限項模型xt＝φ1xt－1＋φ2xt－2＋…＋φpxt－p＋a1，稱為自回歸（Autoregressive）模型，其中p為自回歸的階，φ1，φ2，…，φp為自回歸系數(shù)，at是均值為0、方差為σ2a的正態(tài)分布白噪聲，即at－NID（0，σ2a），符號NID表示獨立正態(tài)分布。這樣的模型記為AR（p）。

1.2 滑動（MA）平均模型［2］

時間序列模型中只有有限項的模型xt＝atθ1at－1－…－θqat－q稱為滑動（Moving Average）平均模型。這里q為模型的階次；θ1，θ2，…，θq為滑動平均系數(shù)；at是白噪聲序列，其平均值為0，方差為σ2a。這樣的模型記為MA（q）。

1.3 自回歸滑動平均（ARMA）模型

為了使模型在擬合實際數(shù)據(jù)時具有更大的靈活性，有時在模型中既包含自回歸部分也包括滑動平均部分，這就是自回歸滑動平均模型。其表達(dá)式為xt－φ1xt－1－…－φpxt－p＝at－θ1at－1－…－θqat－q簡記為ARMA（p，q）。其中p和q分別是自回歸部分和滑動平均部分的階數(shù)，φi（i＝1，2，3，…，p）和θi（i＝1，2，3，…，q）分別是自回歸系數(shù)和滑動平均系數(shù)。

2 半?yún)?shù)的引入與建模求解

2.1 半?yún)?shù)的引入

在測量數(shù)據(jù)處理中，通常假定觀測誤差只含有偶然誤差，不含系統(tǒng)誤差和粗差。觀測真值可表示為一組參數(shù)的線性函數(shù)，在這種情況下，稱觀測值已被完全參數(shù)化，但實際上觀測值很難被完全參數(shù)化。首先，影響觀測值取值的因素很多，建立數(shù)學(xué)模型時往往無法考慮到所有的這些因素。其次，觀測值與參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系可能比較復(fù)雜，為了處理方便，經(jīng)常選擇較為簡單的函數(shù)關(guān)系來代替。因此，平差時建立的函數(shù)模型只是實際問題的近似表達(dá)，也就是說存在模型誤差。當(dāng)模型誤差與偶然誤差相比是一個微小量時，忽略模型誤差不會對參數(shù)估計值產(chǎn)生太大的影響，而當(dāng)模型誤差比較大時，就會對參數(shù)估計產(chǎn)生較大的影響，甚至?xí)?dǎo)致錯誤的結(jié)論。

上述問題得不到很好解決的主要原因在于沒有找到一個合適的數(shù)學(xué)模型來描述殘差的模型誤差或觀測值中的系統(tǒng)誤差。用半?yún)?shù)回歸分析模型既含有參數(shù)分量又含有非參數(shù)分量，用它描述實際問題時，更能充分地利用觀測值所提供的信息。將半?yún)?shù)回歸分析方法引入AR（p）模型，建立適于測量數(shù)據(jù)處理的理論與方法，在確定未知參數(shù)的同時能將模型誤差與偶然誤差分離開來，從而使這一問題得到解決。

2.2 半?yún)?shù)模型及解算方法

AR（p）模型［3］為

在此模型中，通常假定A是期望為0的偶然誤差。也就是說除去觀測誤差，觀測值xi完全表示為參數(shù)φ的函數(shù)。如果模型不準(zhǔn)確，或觀測值中有系統(tǒng)誤差，式（1）并不能嚴(yán)格成立，而改寫為

式中：S＝［s1，s2，…，sN－1－p］T是一個描述模型誤差或系統(tǒng)誤差的N維未知向量［4］。考慮一般的情形，可認(rèn)為模型誤差或觀測值的系統(tǒng)誤差的性態(tài)非常復(fù)雜，無法用少數(shù)參數(shù)表示，因此，給每個觀測方程增加一個待定量，也就是所謂的非參數(shù)分量。這樣再觀測方程中既有參數(shù)分量又有非參數(shù)分量，因此，式（2）稱為半?yún)?shù)模型［5］。

根據(jù)式（2）可寫出誤差方程為

根據(jù)最小二乘原理

得到法方程

式中：P為對稱正定方陣，是觀測值Y的權(quán)，未知量為參數(shù)φ和非參數(shù)S，共有N個，而方程只有N－P個。所以從式（5）無法得到唯一解，因此，需要修改平差準(zhǔn)則。一個合理的選擇為

式中：R是一個適當(dāng)?shù)恼ň仃?，稱為正規(guī)化矩陣，二次型STRS反映對向量S的某種度量，α是一個給定的純量因子，在極小化過程中對A和S起平衡作用，稱為平滑因子。這時可把平差問題歸結(jié)為一個條件極值問題。由拉格朗日乘數(shù)法［6］，構(gòu)造函數(shù)

將式（8）代入式（10），考慮到式（3），得

令H＝XTPX，由于H可逆，所以有

由式（3）左乘P，考慮到式（8）、式（9），得

將式（12）代入式（13），經(jīng)整理得到令M＝P＋αR－PXH－1XTP，則

這樣就可以通過式（15）、式（12）及式（3）計算非參數(shù)分量的估值S、參數(shù)分量的估值及觀測值改正數(shù)A。通過分析得到的非參數(shù)分量，就可以重新認(rèn)識所選的數(shù)學(xué)模型，從而實現(xiàn)對模型的精化。在上述分析中，平滑參數(shù)α、正規(guī)化矩陣R都是事先給定的量，R的選擇與具體問題有關(guān)。

3 算例分析

數(shù)據(jù)來源：以某地東西向長約700m的短水準(zhǔn)為例，見表1。

表1 數(shù)據(jù)來源

1）通過模型Y＝Xφ＋AT（AR模型），F(xiàn)檢驗求階數(shù)可得p＝2。

2）通過AR（p）模型Y＝Xφ＋AT求解，編制程序?qū)㈦A數(shù)p＝2代入計算得到結(jié)果如下：

XTX：（表示X的轉(zhuǎn)置乘以X后再求逆，它是2行2列的矩陣）

XTX×XT：（表示XTX乘以X的轉(zhuǎn)置，它是2行28列的矩陣）

3）通過半?yún)?shù)模型AT＝Xφ＋S－Y求解，編制程序?qū)㈦A數(shù)p＝2、系數(shù)A＝0.9（平滑系數(shù)）計算得到結(jié)果如下：

φ：（φ是參數(shù)分量，它是2行1列的矩陣）

4）比較兩模型的結(jié)果如下：

圖1是分別用AR（p）模型和半?yún)?shù)模型求得的平差值圖。x坐標(biāo)表示第i個數(shù)據(jù)；y坐標(biāo)表示各個平差值的大小。

圖1 AR（p）模型（虛線與▲）和半?yún)?shù)模型（實線與→）求得的平差值的比較圖

從圖中可以看出用AR（p）模型求得的平差值的變化較大而且快，曲線也不光滑；而用半?yún)?shù)模型求得的平差值的變化小，而且慢，曲線也非常光滑；由此可以看出當(dāng)觀測值中存在粗差或模型中存在模型誤差時得出來的結(jié)果是不精確的或是錯誤的；而引入半?yún)?shù)后，就可以檢查出一般模型不能檢查出的粗差或模型誤差，提高結(jié)果的精度。

4 結(jié) 論

當(dāng)AR（p）模型存在模型誤差或觀測值中含有未參數(shù)化的系統(tǒng)誤差時，常規(guī)的最小二乘平差很難發(fā)現(xiàn)和識別。使用附加系統(tǒng)參數(shù)的平差法，只能引入少量系統(tǒng)性參數(shù)，往往無法描述復(fù)雜多變的模型誤差，若引入系統(tǒng)性參數(shù)太多，則可能引起過度參數(shù)化而導(dǎo)致法方程病態(tài)。從本文的算例可見，若對模型誤差不加處理，將給參數(shù)估計值帶來不利影響，甚至?xí)?dǎo)致錯誤的結(jié)論，引入半?yún)?shù)后，就可以檢查出一般模型不能檢查出的粗差或模型誤差，提高結(jié)果的精度。另外，模型誤差本身也是一種有用的信息，找到模型誤差的規(guī)律不僅可以對選用的數(shù)學(xué)模型加以改進(jìn)，而且還可以根據(jù)這種信息對其他相關(guān)問題進(jìn)行研究。

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