實時快速NURBS直接插補技術(shù)

王國勛 王宛山 王 軍 舒啟林

1.東北大學(xué)，沈陽，110819 2.沈陽理工大學(xué)，沈陽，110159

0 引言

傳統(tǒng)數(shù)控系統(tǒng)只支持直線插補和圓弧插補，在加工復(fù)雜曲線時，先將曲線用很多段小直線段或圓弧段近似，然后再進行直線插補或圓弧插補，這種方法在高速加工中會帶來許多問題：①刀具進給方向快速突變，加速度及加加速度過大，容易導(dǎo)致過沖和振動，從而影響表面質(zhì)量和加工精度，為了保證表面質(zhì)量和加工精度，必須降低進給速度［1］；②只針對小線段進行速度規(guī)劃，在小線段的起點和終點頻繁進行加減速，嚴(yán)重影響加工效率，不易實現(xiàn)高速加工；③程序文件龐大，增加了CAD／CAM與CNC之間的數(shù)據(jù)傳輸負(fù)擔(dān)。

為了克服傳統(tǒng)插補方法的缺點，許多現(xiàn)代CAD／CAM系統(tǒng)開始使用曲線參數(shù)描述方法和參數(shù)曲線插補技術(shù)。非均勻有理B樣條曲線（NURBS）由于具有諸多優(yōu)點而獲得廣泛應(yīng)用。另外，NURBS已成為STEP-NC標(biāo)準(zhǔn)中自由曲線曲面唯一的表示形式，即NURBS的應(yīng)用擴展至CNC領(lǐng)域，CAD／CAM與CNC的數(shù)據(jù)描述實現(xiàn)了統(tǒng)一。因此，研究直接NURBS插補技術(shù)，有利于更有效地利用CAD系統(tǒng)的數(shù)據(jù)。研究表明，相比直線、圓弧插補技術(shù)，直接NURBS插補技術(shù)可獲得更高的表面質(zhì)量和效率［2］。

許多研究人員對NURBS插補技術(shù)進行了深入的研究。大多數(shù)直接插補算法試圖用泰勒展開法近似表示進給步長和參數(shù)增量之間的關(guān)系，Yeh等［3］用一階泰勒展開式研究了插補算法，提出了自適應(yīng)插補算法，在保證輪廓誤差的前提下根據(jù)曲率調(diào)節(jié)速度；趙國勇等［4］基于二階泰勒展開式提出了插補算法，以獲得更高的精度。但應(yīng)用泰勒展開式研究插補算法時忽略了高階項，因此存在累積截斷誤差，造成實際進給速度與給定速度不一致，存在速度波動。為了解決這個問題，必須對下一插補點的參數(shù)值進行誤差補償，Tsai等［5］設(shè)計了一種參數(shù)曲面曲線“預(yù)測-修正”插補器，根據(jù)給定的速度誤差迭代修正下一插補點參數(shù)值，直到滿足誤差要求為止。此方法能有效地減小速度波動，但是插補過程中需要進行迭代計算，影響插補實時性，如果某次迭代時間超過插補周期，將打亂插補過程。

本文根據(jù)插補原理，運用NURBS直接插補思想，研究了NURBS快速直接插補算法。為了滿足插補精度的要求，插補速度可根據(jù)弓高誤差限定值自適應(yīng)調(diào)整。

1 NURBS曲線描述

一條k次NURBS曲線可以表示為一分段有理多項式矢函數(shù)［6］：

其中，ωi（i＝0，1，…，n）稱為權(quán)因子，分別與控制頂點di相聯(lián)系；Ni，k（u）是k次規(guī)范B樣條基，由節(jié)點矢量U ＝ （u0，u1，…，un＋k＋1）決定，通常由De Boor-Cox遞推公式定義。

2 目前的NURBS曲線插補方法

目前大多數(shù)NURBS插補方法都是基于泰勒展開式的，即用泰勒展開式近似求取下一插補點的參數(shù)值，常用的有一階泰勒展開式和二階泰勒展開式。插補計算公式如下。

一階泰勒展開式：

二階泰勒展開式：

由式（2）、式（3）可發(fā)現(xiàn)，泰勒公式展開法插補計算忽略了高階項，致使進給速度發(fā)生變化，增大了弓高誤差［7］。如圖1所示，下一個插補點參數(shù)理論值為ui＋1，對應(yīng)的弦長為ΔLi，而利用泰勒公式法計算得到的下一插補點參數(shù)值為u′i＋1，對應(yīng)的弦長為ΔL′i，由于u′i＋1＜ui＋1，所以ΔL′i＜ΔLi，而插補周期為定值，所以實際插補進給速度小于給定速度，產(chǎn)生速度波動。另外，計算插補速度時是按照曲線弧長對時間導(dǎo)數(shù)求取的，而根據(jù)插補原理，刀具實際路徑為弦長，而非弧長，如圖2所示，插補時刀具實際走過的路徑為弦長ΔLi，而不是弧長ΔSi，因此，使用泰勒公式展開法進行插補計算，存在速度波動問題。本文根據(jù)插補原理，基于進給速度求取下一插補點插補參數(shù)增量Δui來解決這一問題。

圖1 泰勒展開式插補算法

圖2 NURBS曲線插補原理圖

3 插補算法

3.1 插補計算過程

假設(shè)NURBS曲線C（u）在定義域中連續(xù)并且二階可導(dǎo)，曲率半徑ρ（u）存在并連續(xù)，且曲線上任意插補點滿足max｜ΔLi｜?ρi。根據(jù)插補原理，可求得插補計算公式［8］：

其中，ΔLi為插補弦長（步長），vi為給定進給速度，由式（4）、式（5）可知，下一插補點參數(shù)值ui＋1由進給速度vi決定，有效地減小了進給速度的波動。

3.2 特殊點處理

如果k次NURBS曲線內(nèi)節(jié)點重復(fù)度為k，則曲線在該點處形成一個尖點，如圖3所示。

圖3 NURBS曲線上的尖點

通常，在尖點區(qū)域加速度和加加速度容易超過機床最大允許值，不利于高速、高精度加工，為了解決這個問題，Shen等［9］提出了一種二維NURBS曲線的插補算法，將曲線在尖點處分段，然后在每個分段上進行插補，在加工尖點區(qū)域前必須進行減速，在每個尖點處速度都要減到零，下一段曲線插補速度從零開始加速，這樣避免了尖點處的加速度和加加速度突變，但卻降低了加工效率。又因為曲線在尖點處不存在二階導(dǎo)數(shù)，因此本文的插補算法在尖點處不適用，為了保持整條曲線插補的連續(xù)性，提高加工效率，必須對尖點處曲線進行處理。本文將尖點處曲線在允許的誤差范圍內(nèi)進行近似插值，使其變光滑，且二階可導(dǎo)，保持插補的連續(xù)性，提高加工效率。具體方法如下。

4 NURBS快速計算方法

由以上分析可知，在NURBS插補計算過程中，需要進行NURBS求值、求導(dǎo)的計算。對于NURBS曲線的計算主要是對非均勻B樣條基的計算，一般采用de Boor遞推算法［10］進行計算，但是每一次計算都要重復(fù)算法中的遞歸調(diào)用過程和計算過程，影響效率。對于求導(dǎo)計算，NURBS曲線的定義式（1）是有理分式，對NURBS曲線直接求導(dǎo)非常復(fù)雜，分母會出現(xiàn)高次冪，因此，研究NURBS的快速計算法對于插補算法具有重要意義。NURBS曲線是以非均勻B樣條為基礎(chǔ)的樣條曲線，因此可以轉(zhuǎn)換為矩陣表示，與常規(guī)表示方法比較，矩陣表示法求值求導(dǎo)效率高。

圖4 尖點處的NURBS插值

4.1 NURBS快速求值算法

根據(jù)B樣條基函數(shù)性質(zhì)得到，當(dāng)u∈ ［ui，ui＋1］時，NURBS曲線可表示成矩陣形式：

只需求出系數(shù)矩陣D，即可計算曲線C（u），因此，研究系數(shù)矩陣D的直接遞推法對于NURBS的計算具有實際意義。de Boor［11］給出了B樣條的導(dǎo)數(shù)公式：

在遞推過程中還要滿足函數(shù)的連續(xù)條件：

于是，每積分遞推式（9）中第二式一次，可得到高一次的非均勻B樣條基函數(shù)，經(jīng)過逐次積分便可遞推出任意次非均勻B樣條基函數(shù)。式（9）中第二式左端積分后的結(jié)果為Nj，k（u），其多項式表示為

根據(jù)非均勻B樣條的性質(zhì)，當(dāng)u∈ ［ui，ui＋1］時，有

因此

由式（10）得

由非均勻B樣條的性質(zhì)，可得j＝i-k時有

因此得

綜合式（14）和式（17）可得，系數(shù)矩陣D全部元素的遞推公式為

4.2 NURBS快速求導(dǎo)算法

由于NURBS曲線是有理分式形式，求導(dǎo)計算復(fù)雜，因此，可將式（1）寫成非有理形式：

即

對式（20）兩端求r階導(dǎo)數(shù)得

根據(jù)文獻［6］，Ni，k（u）的r階導(dǎo)數(shù)可由基函數(shù)Ni，k-r，Ni＋1，k-r，…，Ni＋r，k-r來計算，即

而基函 數(shù) Ni，k-r，Ni＋1，k-r，…，Ni＋r，k-r已 經(jīng) 在 上 節(jié)求值過程中得出，因此可直接調(diào)用?？梢娗髮?dǎo)過程不需要遞推，只需進行四則運算即可，大大提高了運算效率。

4.3 快速算法效率分析

由以上分析可看出，NURBS的求值求導(dǎo)運算就是對非均勻B樣條基函數(shù)的運算，因此，本文針對計算NURBS曲線中的非均勻B樣條基函數(shù)所需計算次數(shù)來衡量算法時間復(fù)雜度，見表1。

表1 算法復(fù)雜度

Tmul、Tadd、Ttotal分別為乘除運算、加減運算、總運算次數(shù)。由表1可看出本文方法運算速度比傳統(tǒng)的de Boor-Cox方法快一倍多，具有更高的運算效率。

5 插補誤差處理

NURBS插補過程中存在兩種誤差，一種是軌跡誤差，一種是弓高誤差，如圖5所示，εi為軌跡誤差，δi為弓高誤差。為了達(dá)到較高的加工精度，插補過程中必須控制插補誤差。由以上分析可知，NURBS插補的每一插補點都在NURBS曲線上，因此不存在軌跡誤差，插補過程中誤差主要由弓高誤差引起，必須對弓高誤差進行控制。弓高誤差的計算是NURBS插補算法的主要任務(wù)之一，直接計算弓高誤差，計算復(fù)雜，計算量大，且影響插補的實時性，因此可采用近似算法。計算過程如下：以插補點C（ui）處的曲率半徑為半徑，以插補步長ΔLi為弦長，作圓弧ΔS′i，代替插補曲線弧ΔSi，如圖6所示，ρi為曲率半徑，δi為弓高誤差，可求得弓高誤差為

圖5 NURBS插補過程中的誤差

圖6 NURBS插補弓高誤差近似描述

由式（5）和式（25）可以看出，弓高誤差受進給速度和曲率半徑影響，進給速度越大，弓高誤差越大；反之，弓高誤差越小。在實際加工過程中，總是希望進給速度盡可能保持恒定，以獲得盡可能高的表面加工質(zhì)量，但是，隨著曲線曲率的變化，弓高誤差可能會超出限定值，為了解決這個問題，本文采用自適應(yīng)方法規(guī)劃進給速度，即當(dāng)誤差未超過限定值時，以恒定的進給速度進行插補；當(dāng)誤差超過限定值時，根據(jù)插補點的曲率半徑自適應(yīng)調(diào)節(jié)進給速度。假定弓高誤差限定值為δmax，進給速度按下式進行自適應(yīng)調(diào)節(jié)［3］：

式中，F(xiàn)（ui）為ui處給定的進給速度。

6 仿真分析

為了驗證本文方法的可行性和有效性，采用MATLAB進行仿真驗證。分別對本文方法、一階泰勒展開法、二階泰勒展開法的速度波動率進行仿真，速度波動率按下式計算：

式中，vci為給定的進給速度。

仿真計算機 CPU 頻率為2.2GHz，內(nèi)存2GB。NURBS曲線參數(shù)如表2所示，仿真曲線圖形如圖7所示。

表2 NURBS曲線參數(shù)表

圖7 NURBS曲線圖

本文方法、一階泰勒展開法、二階泰勒展開法的速度波動率仿真圖形分別如圖8～圖10所示。

圖8 本文方法速度波動率

圖9 一階泰勒展開法速度波動率

圖10 二階泰勒展開法速度波動率

由圖8～圖10可得出三種方法的平均速度波動率（表3），可以看出，本文方法的平均速度波動率最小。

表3 平均速度波動率 %

7 結(jié)論

（1）本文方法能夠有效地減小速度波動，并保持進給速度的連續(xù)性，提高加工效率和表面質(zhì)量。

（2）推導(dǎo)出NURBS快速求值、求導(dǎo)算法，提高了計算速度和插補實時性。

（3）插補速度隨弓高誤差限制自適應(yīng)調(diào)節(jié)，提高了插補精度。

（4）仿真實例表明，本文方法可行、有效，為高性能NURBS插補器的開發(fā)提供了理論基礎(chǔ)。

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