基于分?jǐn)?shù)次冪多項(xiàng)式的NURBS曲線(xiàn)快速插補(bǔ)方法研究

朱 昊 劉京南 楊安康 汪木蘭

1.東南大學(xué)，南京，210096

2.南京工程學(xué)院先進(jìn)數(shù)控技術(shù)江蘇省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京，211167

0 引言

非均勻有理 B樣條(non－uniform rational B－spline，NURBS)是國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織在產(chǎn)品模型數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn)(standard for exchange of product model data，STEP)中規(guī)定描述自由曲線(xiàn)曲面的唯一數(shù)學(xué)模型。是否具有NURBS曲線(xiàn)插補(bǔ)功能是目前衡量一個(gè)數(shù)控系統(tǒng)技術(shù)水平的重要指標(biāo)之一。近年來(lái)，關(guān)于NURBS插補(bǔ)的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題是如何將進(jìn)給速度的控制融合到插補(bǔ)計(jì)算之中［1］。傳統(tǒng)的速度控制方法有很多種，基于速度時(shí)間曲線(xiàn)的描述，常見(jiàn)模型類(lèi)型包括直線(xiàn)型、指數(shù)型以及S型［2］。直線(xiàn)型速度控制方法簡(jiǎn)單、計(jì)算量小。相對(duì)于直線(xiàn)型控制方法，指數(shù)型速度控制方法具有平滑性好、運(yùn)動(dòng)精度較高的優(yōu)點(diǎn)。但上述兩種方法都存在加速度不連續(xù)、機(jī)床受沖擊、加工質(zhì)量不高的缺點(diǎn)。潘海鴻等［3］討論了S型速度控制策略，這種控制策略實(shí)現(xiàn)了加速度的平滑過(guò)渡，但存在加加速度不連續(xù)的問(wèn)題。趙國(guó)勇等［4］用分段三次多項(xiàng)式描述速度變化，設(shè)計(jì)了速度控制策略，該算法實(shí)現(xiàn)了加加速度時(shí)間曲線(xiàn)的連續(xù)性，但加加速度變化較緩慢，使得速度上升到最大值所需要的時(shí)間較長(zhǎng)，影響了插補(bǔ)的快速性。

本文在考慮加加速度連續(xù)性、平滑性及其最大值限制的基礎(chǔ)上，提出一種基于分?jǐn)?shù)次冪多項(xiàng)式描述的速度控制策略，使得加加速度能快速增大至最大值，且過(guò)渡連續(xù)、平滑。

1 NURBS曲線(xiàn)直接插補(bǔ)方法

NURBS曲線(xiàn)直接插補(bǔ)是指將整條NURBS細(xì)分為若干插補(bǔ)周期，在每個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)控制刀具在三個(gè)坐標(biāo)上運(yùn)動(dòng)，從而直接逼近NURBS曲線(xiàn)。目前一般按照時(shí)間進(jìn)行分割，在確定不同位置刀具速度的基礎(chǔ)上，首先根據(jù)加工路徑曲率變化確定各插補(bǔ)點(diǎn)的速率vi，然后按照步進(jìn)時(shí)間不變的原則求取插補(bǔ)步長(zhǎng)ΔS。對(duì)于以參數(shù)ui表示的NURBS曲線(xiàn)P(u)，可以根據(jù)步長(zhǎng)ΔS確定下一點(diǎn)的參數(shù)值ui+1。通過(guò)ui+1可最終求取此點(diǎn)的坐標(biāo)X、Y、Z 及其偏移量 ΔX、ΔY、ΔZ。在上述過(guò)程中，由于NURBS曲線(xiàn)的反函數(shù)難以計(jì)算，對(duì)于參數(shù)ui+1的求取一般采用Taylor展開(kāi)近似算法來(lái)獲取步長(zhǎng)和參數(shù)的關(guān)系。對(duì)于NURBS曲線(xiàn)P(u)，通過(guò)Taylor展開(kāi)可以遞推得到下一個(gè)參數(shù)的近似值。常用的二階Taylor展開(kāi)式如下［5］:

式中，T 為插補(bǔ)周期;v 為進(jìn)給速度;X'、X″、Y'、Y″分別為X(u)和Y(u)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)式(1)通過(guò)De Boor遞推公式即可根據(jù)參數(shù)ui+1最終求取此點(diǎn)的坐標(biāo)X、Y、Z。

2 基于分?jǐn)?shù)次冪多項(xiàng)式的速度控制

2.1 加加速階段速度分析

當(dāng)加工路徑曲率發(fā)生變化時(shí)，機(jī)床插補(bǔ)的速度必須發(fā)生變化，否則將會(huì)帶來(lái)過(guò)大的輪廓誤差。文獻(xiàn)［3］中討論的速度控制模型將加速或減速過(guò)程分為三段，因此完整的加速 －勻速 －減速過(guò)程被分為七段。這是目前應(yīng)用最為廣泛的速度控制策略，其中加加速段模型為

式中，jmax為最大加加速度;vs為初始速度;t為時(shí)間。

文獻(xiàn)［4］提出的速度模型能實(shí)現(xiàn)加加速度的連續(xù)，其中加加速段模型為

其中，系數(shù)k由機(jī)床自身特性決定。

由式(2)可以看出，加加速度為恒定值jmax，當(dāng)速度模型由加加速過(guò)渡到勻加速時(shí)，加加速度將發(fā)生階躍跳變，這種階躍跳變將導(dǎo)致機(jī)床受到柔性沖擊而影響加工精度。式(3)中加加速度呈線(xiàn)性變化，其變化率由系數(shù)k決定。系數(shù)k的取值取決于機(jī)床本身結(jié)構(gòu)，對(duì)于不同結(jié)構(gòu)的機(jī)床，系數(shù)k也不同。目前對(duì)系數(shù)k的特性及變化規(guī)律進(jìn)行深入討論的文獻(xiàn)很少，還沒(méi)有統(tǒng)一的結(jié)論。為使得加加速度更快地達(dá)到j(luò)max且保持連續(xù)，本文提出基于分?jǐn)?shù)冪多項(xiàng)式的速度控制策略，其中加加速度階段模型如下:

式中，js為初始加加速度;as為初始加速度。

2.2 基于分?jǐn)?shù)次冪多項(xiàng)式的速度控制模型

傳統(tǒng)的七段法將加速過(guò)程分為三段:加加速過(guò)程、勻加速過(guò)程、減加速過(guò)程。在這3個(gè)過(guò)程中，加加速度分別為jmax、0、－jmax。減速過(guò)程與加速過(guò)程類(lèi)似。本算法在七段法基礎(chǔ)上，將加速和減速過(guò)程均進(jìn)一步細(xì)分為七段。加速階段的具體動(dòng)力學(xué)模型如下:

減速部分與之類(lèi)似。這里按照一般情況，設(shè)加加速度和加速度的初始值均為0，速度初始值為vs。

3 相關(guān)約束條件

3.1 曲率半徑的計(jì)算

曲率半徑描述了曲線(xiàn)的彎曲程度。對(duì)于一條NURBS曲線(xiàn)P(u)，在ui處的曲率半徑Ri為

式中，P'(u)、P″(u)為 P(u)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

由NURBS曲線(xiàn)齊次坐標(biāo)表示法可得

式中，Pi為 NURBS曲線(xiàn)控制點(diǎn);Ni，k(u)為 B 樣條基函數(shù)。

因此，可得

同理，可求得二階導(dǎo)數(shù)P″(u)，并將其代入式(8)即可求出該點(diǎn)處曲率半徑。

3.2 基于弓高誤差的速度約束

設(shè)相鄰兩個(gè)點(diǎn)ui和ui+1之間的弓高誤差為ε，ui點(diǎn)處加工半徑為ri，則根據(jù)弓高誤差的定義可得

由Li=viT可得

為保證加工精度，在弓高誤差的約束下，在ui處的速度vc應(yīng)該滿(mǎn)足如下關(guān)系:

3.3 基于加加速度最大值的速度約束

在插補(bǔ)過(guò)程中，除加加速度不連續(xù)會(huì)對(duì)機(jī)床產(chǎn)生柔性沖擊外，加加速度絕對(duì)值過(guò)大也同樣會(huì)對(duì)機(jī)床產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)［6］討論了加加速度與進(jìn)給速度的關(guān)系，并推導(dǎo)了相應(yīng)公式。對(duì)于NURBS曲線(xiàn)P(u)，加加速度j、加速度a以及速度v之間的關(guān)系如圖1所示。

圖1 單步插補(bǔ)中加加速度、加速度和速度的關(guān)系

由加加速度定義可得

因此

4 基于曲率變化的前瞻算法

4.1 前瞻算法目標(biāo)

當(dāng)實(shí)際加工路徑曲率以及長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，第2節(jié)所述動(dòng)力學(xué)模型將有所變化。當(dāng)曲率變化相對(duì)劇烈，加工路徑相對(duì)較短時(shí)，上述模型中可能沒(méi)有勻加速階段、勻速階段以及勻減速階段，甚至速度不能達(dá)到機(jī)床允許的最大速度vmax。前瞻算法的主要功能在于判斷加速、減速階段時(shí)間以及求取插補(bǔ)過(guò)程的減速點(diǎn)，并理論減速位移Sd相比較，從而確定上述模型的具體結(jié)構(gòu)并修正實(shí)際進(jìn)給速度。

4.2 加減速階段分析

當(dāng)加工路徑曲率l發(fā)生變化時(shí)，加工速度隨之變化，當(dāng)加工路徑為直線(xiàn)時(shí)，l=0，加工速度最大。因此可以根據(jù)加工路徑的曲率求得加工路徑中的速度極大區(qū)域。具體判斷法則如下:

對(duì)于NURBS曲線(xiàn)P(u)，設(shè)其參數(shù)ui處的曲率為li，則根據(jù)式(8)的倒數(shù)可以求得曲線(xiàn)上各點(diǎn)曲率值的集合{l0，l1，…，ln}。

(1)當(dāng)其中某一個(gè)元素li的值為0時(shí)，則此元素li所對(duì)應(yīng)點(diǎn)同時(shí)為加速過(guò)程的結(jié)束點(diǎn)和減速過(guò)程的起始點(diǎn)。

(2)當(dāng)其中連續(xù)多個(gè)元素 li－t，li－t+1，…，li的值為0時(shí)，則此組中最左邊一個(gè)元素li－t所對(duì)應(yīng)點(diǎn)為加速過(guò)程的結(jié)束點(diǎn)，此組中最右邊一個(gè)元素li所對(duì)應(yīng)點(diǎn)為減速過(guò)程的起始點(diǎn)。

(3)設(shè)Δli=li－li－1為相鄰兩個(gè)點(diǎn)的曲率之差，則對(duì)于連續(xù) 3 個(gè)點(diǎn) P(ui－1)、P(ui)、P(ui+1)，存在 Δli、Δli+1。當(dāng)Δli＜ 0且Δli+1＞ 0時(shí)，P(ui)同時(shí)為加速階段結(jié)束點(diǎn)和減速過(guò)程的起始點(diǎn)。

(4)當(dāng)Δli＞0且Δli+1＜0時(shí)，P(ui)同時(shí)為減速過(guò)程的結(jié)束點(diǎn)和加速過(guò)程的起始點(diǎn)。

4.3 減速點(diǎn)預(yù)測(cè)

設(shè)插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)位移為S，則有

現(xiàn)將式(18)代入式(8)可以求出理論減速位移Sd。文獻(xiàn)［7］給出了一種基于Sinpson求積法的NURBS總弧長(zhǎng)St的計(jì)算公式。文獻(xiàn)［8］給出了一種計(jì)算已走過(guò)弧長(zhǎng)Sa的計(jì)算公式。則ΔS(ΔS=St－Sa)表示該段曲線(xiàn)實(shí)際剩余位移。根據(jù)上述參數(shù)，可得減速點(diǎn)判斷法則如下。

對(duì)于NURBS曲線(xiàn)P(u)，令各點(diǎn)處剩余位移為{St，ΔS1，…，ΔSi，…，ΔSn－1，0}，則有:① 其中若存在某個(gè)元素ΔSi滿(mǎn)足ΔSi=Sd，則P(ui)為實(shí)際減速點(diǎn);②其中若存在連續(xù)兩個(gè)元素 ΔSi，ΔSi+1滿(mǎn)足ΔSi＞Sd且ΔSi+1＜Sd，則P(ui)為實(shí)際減速點(diǎn)。

5 仿真分析

由式(5)～式(7)可得在加速－勻速－減速階段分?jǐn)?shù)冪多項(xiàng)式速度控制策略(此處稱(chēng)為F算法)的加加速度時(shí)間曲線(xiàn)、加速度時(shí)間曲線(xiàn)和速度時(shí)間曲線(xiàn)。為驗(yàn)證其合理性，現(xiàn)與文獻(xiàn)［3］中的七段法速度控制策略(此處稱(chēng)為S算法)和文獻(xiàn)［4］中的三次多項(xiàng)式速度控制策略(此處稱(chēng)為T(mén)算法)作對(duì)比?？紤]到比較條件的一致性，這里取 k=1，jmax=1mm/s3，amax=2mm/s2，vmax=8mm/s，vs=0。對(duì)比結(jié)果如圖2所示。

從圖2中可以看出，S算法加速度和速度變化較快，但加加速度出現(xiàn)了階躍跳變。T算法和F算法實(shí)現(xiàn)了加加速度的連續(xù)，但F算法加速度和速度變化更加快速。可見(jiàn)本文提出的F算法可以在保證加加速度連續(xù)的條件下使得速度更快達(dá)到最大值。

為驗(yàn)證上述算法的正確性，本文在MATLAB中分別對(duì)二維和三維NURBS曲線(xiàn)進(jìn)行了仿真，對(duì)加加速度連續(xù)的T算法和F算法進(jìn)行了對(duì)比。二維NURBS插補(bǔ)路徑如圖3a所示，其控制點(diǎn)為(4，4，0)、(0，2，0)、(0，8，0)、(4，4，0)、(8，0，0)、(8，6，0)、(4，4，0)。權(quán)重向量為 w=(1，0.5，0.9，1，0.9，0.5，1)。節(jié)點(diǎn)向量為 U=(0，0，0，1/4，1/2，1/2，3/4，1，1，1)。三維 NURBS 插補(bǔ)路徑如圖3b 所示，其控制點(diǎn)為(3，1，0)、(2，3，2)、(4，2，1)、(5，4，3)、(6，2，1)、(8，3，2)、(7，1，0)。權(quán)重向量為 w=(1，0.5，0.9，1，0.9，0.5，1)。節(jié)點(diǎn)向量為 U=(0，0，0，1/5，2/5，3/5，4/5，1，1，1)。

圖2 F算法、T算法、S算法速度控制策略比較

圖3 二維和三維NURBS曲線(xiàn)插補(bǔ)路徑

加工參數(shù)如下:插補(bǔ)周期T=1ms，最大進(jìn)給速度 vmax=100mm/s，最 大 加 速 度 amax=250mm/s2，最大弓高誤差 ε=1μm。二維 NURBS曲線(xiàn)初始進(jìn)給速度vs=70mm/s，插補(bǔ)速度時(shí)間曲線(xiàn)如圖4a所示。三維NURBS曲線(xiàn)初始進(jìn)給速度vs=0，插補(bǔ)速度時(shí)間曲線(xiàn)如圖4b所示。從圖4a和圖4b中可以看出，F(xiàn)算法中進(jìn)給速度可以更快地到達(dá)速度最大值。在實(shí)際加速位移較短，進(jìn)給速度無(wú)法達(dá)到vmax時(shí)(如二維NURBS曲線(xiàn)的控制點(diǎn)(4，4，0)與(0，2，0)之間和三維 NURBS 曲線(xiàn)的控制點(diǎn)(2，3，2)與(4，2，1)之間)，F(xiàn) 算法中進(jìn)給速度可以達(dá)到相對(duì)較高的值。

圖4 二維和三維NURBS曲線(xiàn)F算法、T算法速度響應(yīng)

6 結(jié)束語(yǔ)

本文在分析現(xiàn)有算法的基礎(chǔ)上有針對(duì)性地提出了基于分?jǐn)?shù)次冪多項(xiàng)式的速度規(guī)劃方法，分析了基于加加速度控制約束的約束條件，根據(jù)曲率的變化討論了加減速階段及減速點(diǎn)的計(jì)算方法并給出了判斷法則。分析結(jié)果表明，本算法可以在保證加加速度連續(xù)的前提下有效提高加工速度，滿(mǎn)足了NURBS曲線(xiàn)高速高精度的插補(bǔ)要求，將本算法應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算機(jī)數(shù)控系統(tǒng)有切實(shí)的實(shí)用價(jià)值和可行性?？紤]到篇幅限制，本文并未討論如何將上述算法嵌入到真正數(shù)控機(jī)床中予以實(shí)現(xiàn)。

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