一類三寡頭博弈模型的動力學分析

于晉臣,張彩艷

(1.山東交通學院 理學院,山東 濟南 250357;2.山東電子職業(yè)技術(shù)學院,山東 濟南 250014)

市場經(jīng)濟從本質(zhì)上而言屬于動力系統(tǒng)的范疇，數(shù)學表現(xiàn)形式為微分方程或差分方程。在經(jīng)濟動力學理論中，存在許多微分或差分動力模型，諸如Cournot模型、Stacklberg模型以及Chamblin模型等?；谶@些模型，通過對市場經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性、周期以及混沌行為進行深入研究，得出了一系列結(jié)果[1]。

三寡頭博弈是一種基本的寡頭博弈行為，對于典型的基于產(chǎn)量競爭的三寡頭博弈而言，各寡頭廠商同時做出產(chǎn)量決策，其Cournot解是唯一的Nash平衡點。在重復(fù)的三寡頭博弈中，各寡頭廠商均把獲取最大收益作為自己追求的目標。三寡頭博弈與真實的市場博弈最接近，鑒于此，已有一些學者對三寡頭博弈的情形進行研究[2-6]。其中，在各寡頭廠商均具有樸素預(yù)期的假定下，文獻[2]研究了一類具有相同預(yù)期的三寡頭博弈模型，研究表明，該模型的動力學行為非常復(fù)雜，出現(xiàn)了周期甚至混沌行為。文獻[3]將文獻[7]的Kopel雙寡頭博弈模型推廣到三寡頭情形，并研究了該模型的多穩(wěn)定性。文獻[6]研究了電力市場上三寡頭博弈模型的復(fù)雜性。

本文研究的三寡頭博弈模型基于這樣的假定：2個寡頭廠商為有限理性預(yù)期，另1個寡頭廠商為自適應(yīng)預(yù)期，并且均生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品。這樣，由于市場容量有限，為防止競爭而引起價格戰(zhàn)現(xiàn)象，寡頭廠商會理智的選擇聯(lián)合起來形成定價同盟，避免不必要的利潤損失。因而，在價格相同的前提下，產(chǎn)量高的廠商可以通過產(chǎn)量優(yōu)勢銷售更多的產(chǎn)品(買方需求很大，幾乎處于產(chǎn)多少要多少的狀態(tài))，從而獲取最大利潤。顯然，若以產(chǎn)量和產(chǎn)量調(diào)整速度作為變量可以在某種程度上反映廠商的生產(chǎn)規(guī)模以及產(chǎn)品的市場占有率。

考慮到現(xiàn)實市場中產(chǎn)量與成本費用并非具有簡單的線性關(guān)系，本文在非線性成本函數(shù)的基礎(chǔ)上建立產(chǎn)量博弈模型。各寡頭廠商實際上對市場的調(diào)節(jié)、反應(yīng)能力不同，故不同廠商的產(chǎn)量關(guān)系結(jié)構(gòu)也會有所區(qū)別。此外，寡頭廠商通常會有信息不對稱的問題，即使信息對稱，對信息的處理能力也各不相同。因此，本文將非線性成本函數(shù)、線性逆需求函數(shù)和不同產(chǎn)量決策等因素引入到Cournot模型中，建立了三寡頭產(chǎn)量博弈模型，使得更加貼近真實寡頭競爭的市場情況，并以此為基礎(chǔ)研究競爭過程中博弈的復(fù)雜性。

1 建模

考慮1個Cournot三寡頭博弈模型。qi表示廠商的產(chǎn)量，i=1,2,3。Q=q1+q2+q3為總供給量，則相同的線性逆需求函數(shù)為

p=f(Q)=a-bQ,

(1)

式中p為產(chǎn)品的市場出清價格；a，b為正常數(shù)。

廠商i二次可微的成本函數(shù)為

(2)

式中ci為正常數(shù)，與各企業(yè)技術(shù)水平成反比。

因此各企業(yè)的利潤函數(shù)為

(3)

由于假定Cournot三寡頭市場上的產(chǎn)品為同質(zhì)商品(可完全替代)，將式(1)，(2)代入式(3)中得到

這個最優(yōu)化問題有唯一解

現(xiàn)在假定寡頭廠商1和2均為有限理性，也就是說，由于寡頭廠商對市場需求并不完全了解，其產(chǎn)量決策是一個動態(tài)過程，在每一階段t寡頭廠商都要對下一階段對手的產(chǎn)量做出一個預(yù)期來確定使收益最大化的下一階段的相應(yīng)產(chǎn)量。用qi(t)表示廠商在t階段時的產(chǎn)量，下一階段的產(chǎn)量qi(t+1)與t階段的邊際利潤息息相關(guān)。若邊際利潤為正(負)，則將在下一階段增加(減少)產(chǎn)量，動態(tài)方程為

式中 αi為正參數(shù)，表示廠商i的產(chǎn)量調(diào)整速度。

結(jié)合式(3)，可以得到有限理性寡頭廠商的動態(tài)方程為

假定廠商3具有適應(yīng)性預(yù)期的能力，即下一階段的產(chǎn)量q3(t+1)是依據(jù)上一階段的產(chǎn)量q3(t)以及反應(yīng)函數(shù)r3(q1,q2)得出的，從而有

q3(t+1)=(1-v)q3(t)+v〔a-b(q1+q2)〕/〔2(b+c3)〕,

式中 v為廠商3的調(diào)整速度，v∈[0,1]。

這樣，得到的三寡頭博弈模型為

(4)

式(4)表明，廠商1和2進行產(chǎn)量博弈時，都會根據(jù)各自上期邊際利潤的情況進行產(chǎn)量調(diào)整。廠商在t階段的邊際利潤為正，則可通過在下一階段增加產(chǎn)量來提高利潤，反之就要減少產(chǎn)量，不然的話利潤就會下降。而廠商3由于采用適應(yīng)性預(yù)期，其調(diào)整產(chǎn)量的方式與其余2個廠商不同。從而，三寡頭廠商對產(chǎn)量的調(diào)整速度不可能完全相同，這樣就會影響寡頭廠商之間博弈的結(jié)果。所以，寡頭廠商對產(chǎn)量的調(diào)整速度，即α1,α2,v是影響產(chǎn)量博弈的主要因素。下面就針對α1,α2,v的變化對三寡頭動態(tài)博弈過程的影響進行研究。

2 Nash平衡點的存在性以及局部穩(wěn)定性分析

由于Nash平衡點對真實的市場博弈具有指導(dǎo)意義，因而，盡管式(4)的平衡點很多，本文僅考慮Nash平衡點的存在性以及穩(wěn)定性。

通過求解下面的非線性方程

為了討論方便，取a=10,b=1,c1=0.15,c2=0.2,c3=0.3,v=0.8，則此時的Nash平衡點為E*(2.474 6,2.297 8,2.010 6)。式(4)在E*的Jacobian矩陣為

故特征多項式為

f(λ)=λ3+Aλ2+Bλ+C,

式中 A=5.691 6α1+5.514 8α2-2.2，B=1.4-7.591 3α1-7.324 8α2+25.701 6α1α2，C=1.899 7α1+1.81α2-9.864 2α1α2-0.2。

從而，確定Nash平衡點的穩(wěn)定性的計算式[8]為

(5)

因此，若固定v不變，則當α1，a2的取值落在式(5)確定的區(qū)域時，Nash平衡點的穩(wěn)定性不會變化。當α1或α2的取值一旦超出穩(wěn)定域，系統(tǒng)將變得不穩(wěn)定，并最終進入混沌狀態(tài)。這反映出，在實際的市場博弈中，寡頭廠商尚未達到Nash平衡前，為了獲得更多的利潤，會不斷地進行產(chǎn)量博弈，即不斷調(diào)整各自的產(chǎn)量。經(jīng)過不斷的調(diào)整，當處于Nash平衡時，若寡頭廠商對產(chǎn)量的調(diào)整速度不快，能落在穩(wěn)定域時，產(chǎn)量平穩(wěn)，市場穩(wěn)定。若任何一方產(chǎn)量調(diào)整速度過快，超出了穩(wěn)定區(qū)域，市場會處于波動之中。尤其是系統(tǒng)進入混沌初態(tài)時，市場會發(fā)生紊亂，陷入動蕩之中，這時需要國家進行宏觀調(diào)控來維護市場的穩(wěn)定。

顯然，若固定α1或α2不變，而對(α2,v)或(α1,v)進行調(diào)整時，也有類似的結(jié)論。

3 產(chǎn)量調(diào)整速度對穩(wěn)定性的影響

通過上述分析可知，只要寡頭廠商中的任何一方加快調(diào)整速度，使得參數(shù)取值超出穩(wěn)定區(qū)域，Nash平衡點的穩(wěn)定性就會發(fā)生變化，進而影響各廠商的總體利潤。

圖1 α2=0.25,v=0.8時,q2關(guān)于參數(shù)α1的分岔圖

為了更直觀的認識系統(tǒng)的動力學行為，下面采用數(shù)值仿真的方法對系統(tǒng)進行分析。首先對各參數(shù)賦初值：q1(1)=0.1,q2(1)=0.2,q3(1)=0.3,a=10,b=1,c1=0.15,c2=0.2,c3=0.3。

鑒于3個寡頭廠商的動力學行為完全類似，下面僅以寡頭廠商2為例來說明整個動態(tài)博弈過程。

固定寡頭廠商2的調(diào)整速度為α2=0.25，廠商3的調(diào)整速度為v=0.8。圖1顯示了隨著寡頭廠商1的產(chǎn)量調(diào)整速度α1的增大，廠商2的產(chǎn)量演化過程。

寡頭廠商2的產(chǎn)量q2隨著α1的增大，首先達到Nash平衡狀態(tài)(q2=2.297 8)，而后經(jīng)歷倍周期分岔過程最終進入混沌狀態(tài)，呈現(xiàn)出了復(fù)雜而豐富的演化結(jié)果。觀察發(fā)現(xiàn)，當α1<0.178時，Nash平衡點穩(wěn)定，即三寡頭廠商的產(chǎn)量處于均衡狀態(tài)。隨著α1的增大，平衡點的穩(wěn)定性發(fā)生變化，寡頭廠商的產(chǎn)量出現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象。其中α1∈(0.178,0.313)，為產(chǎn)量波動的2周期窗口，α1∈(0.313,0.331)為4周期窗口，α1∈(0.331,0.337)為產(chǎn)量波動的8周期窗口，……，最終系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖2 α2=0.3,v=0.8時,q2關(guān)于參數(shù)α1的分岔圖

固定寡頭廠商2的調(diào)整速度為α2=0.3，廠商3的調(diào)整速度為v=0.8。圖2顯示了寡頭廠商2隨著產(chǎn)量調(diào)整速度α1變化的分岔情形。

由圖2可知，從α1=0.07開始，隨著α1的增大，產(chǎn)量曲線歷經(jīng)倍周期分岔過程最終走向混沌。結(jié)合圖1,2可以發(fā)現(xiàn)，α2取值不同，圖中分岔點的位置和分岔的形態(tài)都發(fā)生了變化。顯然，當α2變大后，隨著α1繼續(xù)增大，寡頭廠商會加快進入混沌狀態(tài)，即市場會加速處于紊亂狀況。

圖3 α2=0.25,v=0.95時,q2關(guān)于參數(shù)α1的分岔圖

這個博弈過程中，分岔點左移，說明在影響分岔點漂移方面，α1與α2有反向相依關(guān)系。同時可以發(fā)現(xiàn)，增大α2后，寡頭廠商產(chǎn)量分岔的2周期窗口變長，導(dǎo)致系統(tǒng)動力學性質(zhì)發(fā)生變化。

固定寡頭廠商2的調(diào)整速度為α2=0.25，廠商3的調(diào)整速度為v=0.95。圖3顯示了寡頭廠商2隨著產(chǎn)量調(diào)整速度α1變化的分岔情形。

由圖3可知，增大v時，寡頭廠商仍會加快進入混沌狀態(tài)。而且，也出現(xiàn)了分岔點漂移現(xiàn)象(向左)，因而，在影響分岔點漂移方面，α1與v也存在反向相依關(guān)系。

這就說明，無論增大α2還是v，隨著α1的增大，寡頭廠商產(chǎn)量失穩(wěn)的現(xiàn)象都會提前出現(xiàn)，即市場會提前進入波動狀況。

4 系統(tǒng)的混沌行為分析

為了分析系統(tǒng)的混沌演化過程，下面分別從最大Lyapunov指數(shù)和奇異吸引子兩個方面予以說明。

4.1 最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)表示平均每次迭代引起的指數(shù)分離中的指數(shù)，描述了相空間內(nèi)系統(tǒng)中相鄰軌道收斂或發(fā)散的平均水平。通過計算Lyapunov指數(shù)，可以從定量角度研究混沌系統(tǒng)。一個系統(tǒng)中往往存在多個Lyapunov指數(shù)，并不需要一一進行計算，其中具有指標意義的是最大Lyapunov指數(shù)。若最大Lyapunov指數(shù)為正，則說明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；若最大Lyapunov指數(shù)為負，則說明系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖4為固定α2=0.25，v=0.8時，最大Lyapunov指數(shù)隨著α1增大時的變化情形。顯然，此時最大Lyapunov指數(shù)可以看作α1的函數(shù)。

從圖4中很容易觀察到0<α1<0.4時，系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性情形。當最大Lyapunov指數(shù)<0時，說明系統(tǒng)穩(wěn)定；當最大Lyapunov指數(shù)=0時，說明出現(xiàn)了分岔現(xiàn)象；當最大Lyapunov指數(shù)>0時，說明系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。

4.2 奇怪吸引子

當系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，會出現(xiàn)奇怪吸引子。如前文所述，隨著α1的增大，Nash平衡點失穩(wěn)，會導(dǎo)致系統(tǒng)離開穩(wěn)定區(qū)域，并通過倍周期分岔，最終進入混沌狀態(tài)。取a=10,b=1,c1=0.15，c2=0.2，c3=0.3，α1=0.36，α2=0.25，v=0.8，可以得到系統(tǒng)的相圖如圖5所示。

圖4 q2關(guān)于參數(shù)α1的分岔圖

圖5 系統(tǒng)的相圖

5 結(jié)論

本文建立了三寡頭博弈模型，分析了Nash平衡點的穩(wěn)定性，并對博弈的過程進行了數(shù)值模擬。結(jié)果表明，市場穩(wěn)定程度與產(chǎn)量調(diào)整速度呈反向變動關(guān)系；從規(guī)避風險的角度考慮，均衡狀態(tài)是博弈各方都比較滿意的狀態(tài)。這就為真實市場中寡頭廠商的競爭策略選擇和政府宏觀調(diào)控方式提供了借鑒。

參考文獻：

[1]Yang H, Zhang Y. Complex Dynamics Analysis for Cournot Game with Bounded Rationality in Power Market[J].Journal of Electromagnetic Analysis and Applications,2009,1(1):48-60.

[2]Puu T. Chaos in Duopoly Pricing[J].Chaos,Solitons & Fractals,1991,1(6):573-581.

[3]Agiza H N, Bischi G I, Kopel M. Multistability in a Dynamic Cournot Game with Three Oligopolists[J].Mathematics and Computers in Simulation,1999,51(1-2):63-90.

[4]Agiza H N. Explicit Stability Zones for Cournot Games with 3 and 4 Competitors[J].Chaos, Solitons & Fractals, 1998,9(12):1955-1966.

[5]Elabbasy E M, Agiza H N, Elsadany A A ,et al. The Dynamics of Triopoly Game with Heterogeneous Players[J].International Journal of Nonlinear Science, 2007,3(2):83-90.

[6]Ma J, Ji W. Complexity of Repeated Game Model in Electric Power Triopoly[J].Chaos, Solitons & Fractals, 2009, 40(4):1735-1740.

[7]Kopel M. Simple and Complex Adjustment Dynamics in Cournot Duopoly Models[J].Chaos, Solitons & Fractals,1996,7(12):2031-2048.

[8]陳士華,陸君安.混沌動力學初步[M].武漢：武漢水利電力大學出版社,1998.