鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁斷裂韌度計(jì)算模型

胡少偉，米正祥，范向前，陸 俊

(1.南京水利科學(xué)研究院材料結(jié)構(gòu)研究所，南京 210029;2.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，南京 210024)

1 研究背景

自從1961年M.F.Kaplan首次將斷裂力學(xué)概念應(yīng)用于混凝土之后，很多學(xué)者對(duì)混凝土斷裂性能進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究工作，并取得了很大的進(jìn)展［1－2］。學(xué)者們提出了很多斷裂模型，如瑞典Lund大學(xué)Hillerborg等［3］提出了虛擬裂縫模型，美國(guó)學(xué)者Bazant等［4］提出了鈍裂縫帶模型，雖然這2種模型能夠反映混凝土的斷裂特性，但是需要借助有限元模型，計(jì)算過(guò)程很復(fù)雜。Karilialoo和 Nalllathambi等［5］提出了等效裂縫模型，Bazant［6］根據(jù)彈性等效方法提出了尺寸效應(yīng)模型。Jenq和Shall［7］提出了雙參數(shù)斷裂模型，我國(guó)學(xué)者徐世烺教授提出了雙K斷裂模型［8］，這2種模型物理意義明確，便于理解，但是需要通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得最大荷載Pmax與臨界裂縫口張開(kāi)位移CMODc。為此，吳智敏等［9］基于虛擬裂縫模型，給出了混凝土三點(diǎn)彎曲梁斷裂韌度解析模型，該方法不需要試驗(yàn)，就可以計(jì)算失穩(wěn)斷裂韌度，但計(jì)算式子非常復(fù)雜。

以上模型都是針對(duì)混凝土試件展開(kāi)研究，但是含裂紋的鋼筋混凝土試件的斷裂性能的研究少之又少，而且不夠深入，因此非常有必要對(duì)此進(jìn)行進(jìn)一步的研究。鑒于此，本文基于吳智敏等［9］的混凝土解析方法，給出了鋼筋混凝土試件斷裂韌度的解析表達(dá)式;然后，通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該計(jì)算式子的準(zhǔn)確性，發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論計(jì)算值吻合較好。

2 計(jì)算模型

2.1 雙線性軟化本構(gòu)關(guān)系

混凝土軟化本構(gòu)關(guān)系是采用虛擬裂縫模型計(jì)算的基礎(chǔ)，學(xué)者們提出了不同形式的混凝土軟化本構(gòu)關(guān)系(σ－ω軟化曲線)，包括線性的和非線性的。其中，非線性的本構(gòu)關(guān)系形式復(fù)雜，計(jì)算繁瑣，故在實(shí)際工程中應(yīng)用不多;而線性本構(gòu)關(guān)系由于形式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，而且精度也有較高的保證，因此在工程中得到了比較廣泛的應(yīng)用［2］。在考慮了準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)便性之后，本文采用雙線性軟化本構(gòu)關(guān)系來(lái)研究鋼筋混凝土試件的斷裂韌度。該軟化關(guān)系的表達(dá)式為

式中:ω為裂縫張開(kāi)寬度;σ為虛擬裂縫面上的黏聚力;fr為混凝土抗拉強(qiáng)度;ω0為黏聚力為零處的裂縫張開(kāi)寬度;ωs與σs分別為雙線性軟化曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)一處的裂縫張開(kāi)寬度與黏聚力。

顯然ωs，σs，ω0為雙線性軟化本構(gòu)關(guān)系的3個(gè)控制參數(shù)，從不同的角度考慮問(wèn)題有不同的取法。本文采用歐洲混凝土模式規(guī)范CEB-FIP Model Code 1990 建議的公式(2)來(lái)計(jì)算參數(shù) ωs，σs，ω0的值［10］，即

式中:混凝土彎曲抗拉強(qiáng)度［11］49.25/h)，fc為圓柱體抗壓強(qiáng)度;αF為與骨料最大粒徑dmax有關(guān)的參數(shù);GF按照公式(3)確定［12］，其中fc0=10 MPa。

2.2 計(jì)算方法的基本假定

鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁在極限失穩(wěn)狀態(tài)下，其開(kāi)裂截面的力學(xué)分析是在以下幾個(gè)基本假定的基礎(chǔ)上進(jìn)行的:①截面在變形后未開(kāi)裂部分仍保持平面;②混凝土一旦出現(xiàn)宏觀裂縫，則其不承受拉應(yīng)力;③假定混凝土與鋼筋之間完全粘結(jié)，不考慮它們之間的相對(duì)滑動(dòng);④裂縫張開(kāi)位移沿梁的高度呈線性分布;⑤混凝土未開(kāi)裂部分仍處于線彈性階段，虛擬裂縫區(qū)黏聚力的分布符合線性軟化本構(gòu)關(guān)系;⑥混凝土的抗拉彈性模量Et等于抗壓彈性模量E;⑦結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)破壞時(shí)縱向受力鋼筋已經(jīng)屈服。

2.3 理論推導(dǎo)過(guò)程

三點(diǎn)彎曲試件截面應(yīng)力與應(yīng)變分布分別如圖1與圖2所示，根據(jù)假定式(4)可知，任意位置x處的裂縫張開(kāi)位移為

式中:ωt為初始裂縫尖端張口位移，hc為中性軸至虛擬裂縫尖端的距離，a為有效裂縫長(zhǎng)度，a0為初始縫長(zhǎng)。

圖1 截面應(yīng)力分布Fig.1 Stress distribution in the crack section

根據(jù)假定式(1)、式(5)、式(6)可知:

圖2 截面應(yīng)變分布Fig.2 Strain distribution in the crack section

式中:fr為混凝土彎曲抗拉強(qiáng)度;σc為壓應(yīng)力。

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)三點(diǎn)彎曲梁，Tada等給出裂縫口張開(kāi)位移CMOD與荷載P之間有如下關(guān)系式為

式中:B為矩形截面寬度;h為梁的高度;E為混凝土彈性模量。

根據(jù)本文假定式(4)有

令 β =a/h，β'=hc/h，β″=ωt/ωs，γc=c/h，γ0=a0/h，然后將式(7)代入式(6)進(jìn)行變形后得

式中:P為荷載;c為鋼筋中心至下邊緣距離。

由開(kāi)裂截面水平方向力的平衡可以得到

式中:As為縱向受力筋橫截面面積;fy為鋼筋屈服強(qiáng)度;σw為拉應(yīng)力。

將式(1)、式(4)、式(5)代入式(9)積分，并整理后得

由開(kāi)裂截面力矩平衡可得

式中:M為彎矩;σc為壓應(yīng)力;c為鋼筋中心至下邊緣的距離。

將式(1)、式(4)、式(5)代入式(10)并積分得

三點(diǎn)彎曲梁跨中截面彎矩M為

將式(8)與式(13)代入式(12)整理化簡(jiǎn)后得

式中:mg為試件自重。

式(8)、式(10)與式(14)是鋼筋混凝土試件在三點(diǎn)彎曲作用下得到的3個(gè)獨(dú)立方程，它們分別對(duì)應(yīng)于開(kāi)裂截面的幾何方程、力平衡方程與力矩平衡方程，這3個(gè)方程是采用式(15)計(jì)算斷裂韌度的基礎(chǔ)。

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)三點(diǎn)彎曲梁而言，失穩(wěn)斷裂韌度的計(jì)算表達(dá)式為［13］

式中:

βc=ac/h，ac為臨界有效裂縫長(zhǎng)度;Pmax為最大荷載;為失穩(wěn)斷裂韌度。

從式(15)可知，要計(jì)算鋼筋混凝土試件的失穩(wěn)斷裂韌度，首先必須確定最大荷載Pmax與相對(duì)臨界有效裂縫長(zhǎng)度βc=ac/h。由于荷載滿足幾何方程式(8)，則最大荷載的解答變?yōu)?，求解?8)在滿足約束條件式(10)與式(14)下的最大值，故構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

式中:λ1，λ2分別是T1，T2對(duì)應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)概況

本文采用帶預(yù)制縫的三點(diǎn)彎曲梁進(jìn)行鋼筋混凝土斷裂參數(shù)的研究，本次試驗(yàn)的鋼筋混凝土梁分為4組，每一組澆筑4個(gè)試件。試件的長(zhǎng)、高、寬分別為1 000，200，120 mm，梁的跨度為 800 mm，鋼筋保護(hù)層厚度為25 mm?；炷敛捎媚暇┖暄笥昊ɑ炷劣邢薰旧a(chǎn)的商品混凝土，配合比為膠凝材料∶砂子∶石子∶水 =1∶1.03∶1.94∶0.31;其中，膠凝材料的比例為水泥∶粉煤灰∶礦渣粉 =0.84∶0.08∶0.08。水泥采用P52.5普通硅酸鹽水泥;粉煤灰為Ⅰ級(jí)灰;礦渣粉級(jí)別為S95;砂子為天然中砂;石子最大粒徑為31.5 mm。試驗(yàn)時(shí)測(cè)得混凝土立方體抗壓強(qiáng)度為69.2 MPa，標(biāo)準(zhǔn)差為0.68 MPa，彈性模量為35.25 GPa;鋼筋采用直徑為8 mm的光圓熱軋鋼筋HPB235，試驗(yàn)時(shí)測(cè)得鋼筋屈服強(qiáng)度f(wàn)y為235 MPa，彈性模量 Es為2.06 ×105MPa。

本次試驗(yàn)所有試件均在5 000 kN壓力試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。裂縫口張口位移由美國(guó)Epsilon公司生產(chǎn)的夾式引伸計(jì)測(cè)量，變形測(cè)量范圍為 +4～－1.0 mm，測(cè)量精度可達(dá)到0.000 2 mm。荷載、張口位移、加載點(diǎn)撓度以及各測(cè)點(diǎn)的應(yīng)變均由動(dòng)態(tài)應(yīng)變采集系統(tǒng)采集，采集頻率為20 Hz。

3.2 結(jié)果與分析

根據(jù)試驗(yàn)實(shí)測(cè)的各個(gè)試件最大荷載Pmax、臨界裂縫口張口位移CMODc、計(jì)算彈性模量E等參數(shù)即可計(jì)算出鋼筋混凝土的相對(duì)臨界有效裂縫長(zhǎng)度βc、失穩(wěn)斷裂韌度KsIc以及臨界裂縫尖端張開(kāi)位移CTODc等值，具體結(jié)果見(jiàn)表1。由表1可以看出，鋼筋混凝土試件的最大荷載在7.741～8.867 kN之間，隨著初始縫高比α0的增大而減小;而失穩(wěn)斷裂韌度在2.168 ～2.548 MPa·m1/2之間，隨著 α0的不同，該值存在一定的離散性，但是其離散程度很小，可以認(rèn)為失穩(wěn)斷裂韌度值與試件的α0無(wú)關(guān)，可以作為鋼筋混凝土的材料常數(shù)，用于裂縫擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)的判斷。

表1 鋼筋混凝土梁斷裂參數(shù)試驗(yàn)結(jié)果Table 1 Test results of fracture parameters of reinforced concrete beams

根據(jù)上文的計(jì)算思路，采用matlab軟件對(duì)初始縫高比 α0分別為0.2，0.3，0.4，0.5的鋼筋混凝土梁進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到了不同α0下試件的最大荷載Pmax，相對(duì)臨界有效裂縫長(zhǎng)度βc，將計(jì)算所得的值代入式(15)，得到失穩(wěn)斷裂韌度KsIc，現(xiàn)將計(jì)算結(jié)果列于表2中。便于對(duì)2種方法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，將計(jì)算所得的Pmax，βc以及KsIc與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值進(jìn)行誤差計(jì)算(誤差(%)=(計(jì)算值－試驗(yàn)值)/試驗(yàn)值×100))，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

由表2可知，利用本文所建模型計(jì)算所得的最大荷載Pmax和相對(duì)臨界有效裂縫長(zhǎng)度βc與試驗(yàn)值相比，最大誤差分別為2.471%和2.618%，而失穩(wěn)斷裂韌度KsIc與試驗(yàn)值相比，誤差相對(duì)大一點(diǎn)，最大值為4.915%，這主要是誤差積累的原因。同時(shí)，我們也可以從表2可以看出，最大荷載與失穩(wěn)斷裂韌度分別在7.472 ～9.068 kN 與2.232 ～2.673 MPa·m1/2之間，計(jì)算值偏大于試驗(yàn)值。

4 結(jié)論

本文基于虛擬裂縫模型，針對(duì)鋼筋混凝土試件在三點(diǎn)彎曲作用下開(kāi)裂截面的受力特征，在合理假定的前提下，提出了一種計(jì)算鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁失穩(wěn)斷裂韌度的解析方法。這種方法只需要知道鋼筋混凝土試件的混凝土彈性模量E，混凝土彎曲抗拉強(qiáng)度f(wàn)r和配筋量As等材料基本參數(shù)，同時(shí)，考慮虛擬裂縫面上黏聚力的分布形式，就可以計(jì)算出三點(diǎn)彎曲試件所能承受的最大荷載和臨界有效裂縫長(zhǎng)度，進(jìn)而求得失穩(wěn)斷裂韌度，而不需要進(jìn)行斷裂試驗(yàn)。然后，應(yīng)用該方法計(jì)算了分別為0.2，0.3，0.4，0.5的標(biāo)準(zhǔn)試件的最大荷載、臨界有效裂縫長(zhǎng)度和失穩(wěn)斷裂韌度，結(jié)果表明鋼筋混凝土的失穩(wěn)斷裂韌度基本上不隨α0變化，可以作為材料常數(shù)，用于裂縫擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)的判斷;并將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值進(jìn)行了誤差分析，發(fā)現(xiàn)最大誤差為4.915%，說(shuō)明兩者吻合較好。

表2 試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果對(duì)照表Table 2 Comparison of test results and calculation results

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