基于德魯克－普拉格準(zhǔn)則的圍巖損傷區(qū)滲透系數(shù)研究

孫珍平，高召寧，孟祥瑞

(安徽理工大學(xué)能源與安全學(xué)院，安徽淮南 232001)

1 研究背景

巖土體作為一種天然地質(zhì)材料，其內(nèi)部賦存著大量的裂隙、孔隙、節(jié)理、層理等構(gòu)造［1］，這些缺陷的存在不但改變了巖土體的力學(xué)特性，而且還嚴(yán)重影響著巖土體的滲透特性。滲透系數(shù)是指水力坡度為1時的滲透速度，又稱水力傳導(dǎo)度，是巖土透水性強(qiáng)弱的數(shù)量指標(biāo)和表征巖土體介質(zhì)滲透性能的重要指標(biāo)，也是重要的巖體水力學(xué)參數(shù)之一。大多數(shù)經(jīng)典的滲流理論中，認(rèn)為滲透系數(shù)是一個材料常數(shù)。但實際上由于淘刷、侵蝕、沖刷等原因，滲透系數(shù)是隨時間和坐標(biāo)變化的，同時又與孔隙水壓力等因素有關(guān)。關(guān)于滲透系數(shù)，國內(nèi)學(xué)者做了大量的研究［2－9］，并取得了很多重要的成果，但是這些研究大部分都是在試驗的基礎(chǔ)上得到的，本文利用損傷力學(xué)，考慮中間主應(yīng)力和損傷因子等影響因素，運用德魯克－普拉格準(zhǔn)則導(dǎo)出圓形巷道塑性區(qū)應(yīng)力的解析解，基于此，求得滲透系數(shù)的表達(dá)式，并對孔隙水壓力和圍巖塑性區(qū)域半徑與滲透系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了研究。

2 德魯克－普拉格準(zhǔn)則

德魯克－普拉格準(zhǔn)則，簡稱D-P準(zhǔn)則，1952年，D.C.Drucker和W.Prager在von Misses強(qiáng)度準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上考慮了靜水壓力而推廣提出，D-P準(zhǔn)則在巖土工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，D-P準(zhǔn)則的屈服函數(shù)F可以表示為

式中:σ =(σxxσyyσzzσxyσxzσyz)T表示巖石的應(yīng)力向量;β和M是與巖石材料物理性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，C和φ為圍巖的黏聚力和內(nèi)摩擦角;I1為第一應(yīng)力不變量，I2為第二偏應(yīng)力不變量，即

由于本文所討論的是軸對稱條件下的圍巖應(yīng)力分布情況，所以，壓力不變量I1和I2為

式(1)表示的屈服面在主應(yīng)力空間是一個正圓錐，若不考慮屈服面的硬化，當(dāng)F(σ)≤0時，表示巖石屈服失效，若β=0，則(1)式可退化為von Misses屈服準(zhǔn)則。

3 巖石材料的損傷本構(gòu)模型

巖體內(nèi)部存在微裂紋，其發(fā)生、擴(kuò)展、并合，決定了巖石材料的宏觀力學(xué)性能。因此巷道圍巖應(yīng)力場的計算應(yīng)該考慮巖石材料的損傷特性。如圖1所示，巷道半徑為r0，地應(yīng)力為γH，支護(hù)反力為 P0，塑性損傷區(qū)半徑為r1。

假設(shè)巷道巖石材料為均質(zhì)的和各向同性。彈性模量為E，泊松比為μ。采用Bui彈塑性損傷模型［10］，單軸壓縮下其應(yīng)力－應(yīng)變曲線可簡化為雙線性。如圖2所示，OA段為彈性階段，忽略峰值強(qiáng)度前巖石的初始損傷;AB段為塑性損傷軟化階段，超過峰值強(qiáng)度后為線性各向同性損傷演化。巖石峰值強(qiáng)度和對應(yīng)的應(yīng)變分別為σc和 εc，降模量為 λ 。

一維損傷演化方程為

在三維損傷的情況下，設(shè)主應(yīng)變 ε1，ε2，ε3，則等效應(yīng)變?yōu)?/p>

用等效應(yīng)變εi代替單軸情況下的應(yīng)變ε，從而能夠得到三維情況下的損傷演化方程，即

式中:λ為降模量;E為彈性模量;εc為最大彈性應(yīng)變;εi為等效應(yīng)變。

圖1 巷道圍巖力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of the roadway’s surrounding rock

圖2 巖石材料的應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.2 Stress-strain curve of the rock material

4 巷道圍巖塑性區(qū)應(yīng)力分布

基本假設(shè):①巖體是連續(xù)、均質(zhì)和各向同性的彈塑性材料;②圍巖屈服前變形是微小的;③忽略自重對屈服的影響;④巷道為圓形，且側(cè)壓系數(shù)為1。因而該問題可以簡化為軸對稱下的平面應(yīng)變圓孔問題，其力學(xué)模型如前述圖1所示。

在巷道開挖過程中，原巖應(yīng)力會重新分布，巷道邊緣會出現(xiàn)集中應(yīng)力，當(dāng)集中應(yīng)力大于巖體的抗壓強(qiáng)度時，邊緣附近的巖體會遭到不同程度的破壞，使得向深部轉(zhuǎn)移，只有當(dāng)巖體承載能力與支承壓力達(dá)到平衡時，圍巖處于穩(wěn)定狀態(tài)［11－13］。

塑性區(qū)的平衡條件:

由于此力學(xué)模型為軸對稱模型，所以在極坐標(biāo)平面應(yīng)力分量僅為r的函數(shù)，不隨θ而變，其切應(yīng)力為零。因此得到的微分方程為

按照巖土塑性力學(xué)推導(dǎo)德魯克－普拉格準(zhǔn)則時對應(yīng)力符號的規(guī)定，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)，由此可寫出作用在單元體上的最大和最小主應(yīng)力，即 σ1= － σr，σ3= － σθ。

由于中間主應(yīng)力發(fā)生在沿巷道的縱向，所以可以求得中間主應(yīng)力，將 σ1，σ2，σ3代入 I1(σ)，I2(σ)中，得到:。聯(lián)立式(1)，可以得到

假設(shè)圍巖為各向同性損傷，則

D為損傷參數(shù)，可根據(jù)式(5)得出。

將式(10)代入式(9)得

假設(shè)巷道圍巖塑性損傷區(qū)的巖石骨架具有不可壓縮性，以及彈性區(qū)和塑性損傷區(qū)交界處的應(yīng)變邊界條件，并由式(4)和式(7)可得出等效應(yīng)變 εi［14］為

聯(lián)立式(5)和式(12)可得

將式(11)代入式(8)可得

將式(13)代入式(14)，結(jié)合邊界條件σr(r0)=P0，得出塑性損傷區(qū)的應(yīng)力［15－17］為

5 滲透系數(shù)的計算

滲透系數(shù)的定義是從滲流的Darcy定律中得出的，在以往計算滲透系數(shù)時，大部分采用路易斯(Louis，1974)［9］在試驗的基礎(chǔ)上提出來的計算公式，即

式中:K0為初始滲透系數(shù);α為系數(shù);σ為有效應(yīng)力。

但是由于該公式中存在著2點不足，第1，它表示一維應(yīng)力狀態(tài);第2，該有效應(yīng)力僅適用于土體一類的多孔介質(zhì)材料。另外該公式是通過大規(guī)模的工業(yè)性試驗給出的，對于具體的巖層，其系數(shù)難于確定。所以，本文中我們采用趙陽升［8］提出的滲透系數(shù)計算公式

式中:a，b，c均為擬合常數(shù);K為滲透系數(shù)(cm/s);p為孔隙水壓力(MPa);Θ=σ1+σ2+σ3為體積應(yīng)力(MPa)。

趙陽升公式反映了巖體介質(zhì)的孔隙、裂隙流，同時還反映了外力對滲透性的影響，并且克服了Louis公式的2個缺點。

由于塑性區(qū)既是巷道圍巖穩(wěn)定的關(guān)鍵區(qū)域，也是巷道支護(hù)設(shè)計的理論基礎(chǔ)。所以將塑性區(qū)應(yīng)力作為研究圍巖滲透系數(shù)的體積應(yīng)力，即

將式(15)、式(18)代入式(17)中得

6 算例分析

具體參數(shù)取值如下［7－8］:巷道半徑 r0=2 m，支護(hù)反力P0=1 MPa，距巷道中心的距離r2=3 m，彈性模量E=750 MPa，降模量λ=1 500 MPa，擬合常數(shù) a=1.942 6，b=0.199 0，c=0.550 8，巖石材料的內(nèi)摩擦角 φ =30°，黏聚力 C=5.74 MPa，從而可得出 β =0.160 1，M=4.776。

將上述參數(shù)代入式(19)可得

圖3 塑性區(qū)域r與滲透系數(shù)K的關(guān)系Fig.3 Relationship between permeability coefficient K and radius r of plastic area

圖4 孔隙水壓力p與滲透系數(shù)K的關(guān)系Fig.4 Relationship between pore water pressure p and permeability coefficient K

由上式可以給出孔隙水壓力 p=1，2，3，4 MPa的情況下，滲透系數(shù)K與r之間的關(guān)系(如圖3所示)。圖4 給出了 r=2.0，2.3，2.5，2.8，3.0 m 的情況下，滲透系數(shù)K與孔隙水壓力p之間的關(guān)系。

從圖3中可以看出，在損傷區(qū)域范圍內(nèi)，滲透系數(shù)K隨著r的變化呈現(xiàn)非線性變化，距離巷道中心越遠(yuǎn)，滲透系數(shù)越小;當(dāng)r約等于2.4 m時，滲透系數(shù)K的值發(fā)生突變，從無窮大突變到接近于0，表明r約等于2.4 m為塑性損傷區(qū)的半徑，這與文獻(xiàn)［7］和［13］中的塑性區(qū)范圍相吻合。

從圖4可以看出，滲透系數(shù)K隨著孔隙水壓力p的變化呈現(xiàn)指數(shù)變化，其隨著p的增加，滲透系數(shù)不斷地增加，且增加的幅度很大。綜合圖3和圖4可以看出r在塑性區(qū)范圍時，滲透系數(shù)K變化顯著，在距巷道中心r=2 m和r=3 m，保持孔隙水壓力不變，其滲透系數(shù)變化極大，甚至達(dá)到相差好幾個數(shù)量級。

7 結(jié)語

(1)基于德魯克－普拉格(Drucker-Prager)準(zhǔn)則，應(yīng)用彈塑性損傷力學(xué)理論，考慮中間主應(yīng)力作用，建立了彈塑性力學(xué)模型，推導(dǎo)出了深埋圓形巷道圍巖塑性損傷區(qū)應(yīng)力場。

(2)在得出塑性損傷區(qū)應(yīng)力場的基礎(chǔ)上，給出了滲透系數(shù)的計算式，并通過具體算例分析了在損傷區(qū)域范圍內(nèi)，滲透系數(shù)K與孔隙水壓力p和距巷道中心距離r之間的關(guān)系。

(3)通過對圓形巷道圍巖損傷區(qū)滲透系數(shù)的研究，可為巷道在滲流作用下變形破壞計算及穩(wěn)定性分析提供理論依據(jù)。

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