水平受荷單樁計(jì)算的半經(jīng)驗(yàn)彈塑性解析解

黃朝煊

(浙江省水利水電勘測設(shè)計(jì)院，杭州 310002)

式中樁的特征值:

水平受荷單樁變形計(jì)算的地基反力法主要有:常數(shù)法［1］、樁基規(guī)范推薦的經(jīng)典 m 法［2］、龔曉南等［3］基于冪函數(shù)反力提出的彈塑性數(shù)值分析法、Matlock 等［4］等提出的 p－y曲線法以及吳恒立［5］提出的雙參數(shù)法等，均應(yīng)用于水平荷載樁的工程設(shè)計(jì)與計(jì)算中。由Matlock等提出p－y曲線法認(rèn)為土反力與水平位移之間呈明顯的非線性關(guān)系，尤其當(dāng)土體進(jìn)入塑性流動狀態(tài)時，土反力達(dá)到極限值并不再隨水平位移的增加而發(fā)生變化。龔曉南等基于Hsiung［6］等理論進(jìn)行了修正補(bǔ)充，考慮了頂層土的地基反力影響，并給出離散數(shù)值解。雙參數(shù)法比常數(shù)法和m法更能反映實(shí)際情況，但該法不僅未考慮地表處土反力的影響，且計(jì)算同樣復(fù)雜，只能用數(shù)值方法求解。以上方法除常數(shù)法外均無法得到解析解，如何尋找既考慮土體塑性屈服影響、又便于工程師手算且計(jì)算成果也比較接近于實(shí)測值的方法，基于此本文對經(jīng)典m法進(jìn)行彈塑性修正分析。

1 基于數(shù)學(xué)擬合簡化法下的經(jīng)典m法

1.1 對半剛性樁的經(jīng)典m法求解參數(shù)的數(shù)學(xué)擬合簡化

由于經(jīng)典的m法求解中基本參數(shù)需要通過查表法選取，經(jīng)常需要進(jìn)行直線內(nèi)插或平面內(nèi)插法，計(jì)算過程較繁瑣，基于此，本文采用“CurveExpert 1.3”軟件對其中主要參數(shù)進(jìn)行了數(shù)學(xué)擬合分析，該軟件能自動在幾十種不同類型函數(shù)(有理函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等)中選取相關(guān)系數(shù)最大的最優(yōu)擬合函數(shù)(當(dāng)然還有考慮到函數(shù)表達(dá)式的簡潔實(shí)用)，得到高精度的數(shù)學(xué)擬合計(jì)算公式。

樁身彈性區(qū)的平衡微分方程為

式中:EI為樁的抗彎剛度;y為樁身水平位移。依據(jù)經(jīng)典m法，地基反力系數(shù)取線性函數(shù)為k=mx。其中邊界條件即彎矩協(xié)調(diào)、剪力協(xié)調(diào)等，文獻(xiàn)［1－2］給出了查表計(jì)算法。

依據(jù)經(jīng)典m法，半剛性樁(換算樁長αh＞2.5，Kh=0)的樁頂水平位移與轉(zhuǎn)角為分別為樁頂水平剪力和彎矩;無量綱參數(shù) Af，Bf，Cf是換算樁長=αh∈(2.5，4)(入土)的函數(shù)，由文獻(xiàn)［1 －2］查表內(nèi)插選取，本文通過CurveExpert擬合軟件高精度擬合得到(相關(guān)系數(shù)＞0.99)，見圖1。

式中樁的特征值:

值得指出的是，擬合區(qū)間越大，對工程應(yīng)用越有利，但同時擬合精度便降低，綜合考慮擬合區(qū)間與擬合精度之間的矛盾后，本文選取了常用樁范圍內(nèi)的區(qū)間進(jìn)行了數(shù)值擬合處理。

圖1 半剛性樁樁頂變化參數(shù)擬合Fig.1 Fitting results of dimensionless parameters of semi-rigid pile head variation

1.2 對柔性長樁樁身位移、彎矩的簡化計(jì)算

依據(jù)經(jīng)典m法理論，地面以下任意一深度樁x處的樁身的位移與應(yīng)力為

式中H0，M0分別為樁頂水平剪力和彎矩;對于柔性長樁(αh ＞4)，可根據(jù)查文獻(xiàn)［1－2］得，當(dāng)換算樁深范圍αx∈(0，2)時，通過擬合軟件擬合規(guī)范數(shù)據(jù)，見圖2。

圖2 柔性長樁樁身變位、內(nèi)力參數(shù)擬合Fig.2 Fitting results of dimensionless parameters of pile deflection and internal forces of long flexible pile

后文計(jì)算塑性區(qū)深度時需用到樁身位移擬合公式;取換算樁深αx=0，即得柔性長樁的樁頂水平位移、轉(zhuǎn)角為:

同樣，通過軟件擬合得樁身彎矩最大處的無量綱深度為

相應(yīng)樁身最大彎矩為

當(dāng)樁頂水平位移小于土體的屈服位移y*時，則可采用經(jīng)典m法彈性理論分析，即滿足條件

依據(jù)無量綱公式(4)得柔性長樁樁身位移、彎矩隨深度、相對荷載量之間的關(guān)系曲面見圖3。

圖3 柔性長樁(αh ＞4)樁身位移、彎矩隨深度與相對偏心距的變化關(guān)系Fig.3 Variations of pile displacement and bending moment with depth and relative eccentricity for long flexible pile(αh ＞4)

由圖3可知，樁頂水平位移隨樁頂荷載的增加而線性增加，樁身水平位移隨深度的增加而快速減小，當(dāng)換算樁深αh=2時，樁身的位移仍小于樁頂水平位移的5%。樁深最大彎矩隨樁頂荷載的增加而線性增加，并且樁身最大彎矩位置隨樁頂彎矩荷載的增加而向樁頂近似線性關(guān)系移動。

1.3 算例驗(yàn)證

例1:為了驗(yàn)證本文簡化擬合理論的正確性，取文獻(xiàn)［1］中的例題(p202):某C20砼灌注樁單樁直徑Φ=1.0 m，入土深度為10 m，露出地面長度為0，作用于樁頂?shù)乃搅0=80 kN，彎矩M0=150 kN·m，樁側(cè)地基土的水平反力系數(shù)的比例系數(shù)m=2×104kN/m4，試計(jì)算樁頂?shù)奈灰?、轉(zhuǎn)角、樁身的最大彎矩。

依據(jù)樁的特性值 α =(mb0/EI)0.2=0.514 m－1，由于 αh=5.14 ＞4.0，該樁屬柔性樁，可取 Kh=0，采用本文擬合公式計(jì)算成果見表1。

通過算例1計(jì)算比較分析，可知本文擬合簡化法精度高，完全滿足工程實(shí)踐要求，且該擬合簡化法方便快捷，便于工程應(yīng)用。

2 對柔性長樁經(jīng)典m法的修正

龔曉南等［3］給出了土體水平受荷下的彈塑性屈服模型見圖4，在塑性階段土體的反力為常數(shù)，Hsiung［6］建議黏土的屈服位移取

式中 εc為應(yīng)變，可根據(jù)土的狀態(tài)取值，一般為0.005 ～0.02。

由于受較大水平荷載的單樁樁頂層土?xí)霈F(xiàn)塑性屈服變形，若仍采用經(jīng)典m法計(jì)算，則樁頂水平位移明顯偏小。本文首先以經(jīng)典m法近似求得樁身位移等于土體屈服位移的臨界深度，并近似認(rèn)為該臨界深度范圍內(nèi)的土體發(fā)生塑性屈服變形，即土體的屈服反力為my*，小于依據(jù)彈性理論選取的水平反力，因此，若仍只依據(jù)經(jīng)典彈性理論勢必過高估計(jì)表層屈服區(qū)土體的水平反力，而導(dǎo)致樁頂水平位移偏小，必須對其進(jìn)行補(bǔ)償修正，即在屈服區(qū)補(bǔ)償與水平位移同向的假想力p=k(y－y*)(即依據(jù)全彈性理論計(jì)算位移時相應(yīng)地基水平反力與塑性極限反力之差稱為假想反力)，見本文圖4所示。

圖4 土層水平反力塑性屈服模型Fig.4 Plastic yield model of horizontal reaction force

2.1 塑性區(qū)深度計(jì)算

對于柔性長樁，其樁身的位移、彎矩等可采用本文公式(4)計(jì)算，彈塑性分界區(qū)深度滿足屈服位移條件

解得樁體彈塑性邊界無量綱深度

2.2 考慮塑性屈服區(qū)影響的樁頂變位計(jì)算

由求解思路圖(5)、圖(6)，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)方法梁的變位計(jì)算公式及平衡微分方程(1)，得塑性區(qū)影響下的附加位移、轉(zhuǎn)角為

圖5 樁頂頂層土塑性區(qū)示意圖Fig.5 Plastic zone in the soil at pile head

表1 本文數(shù)學(xué)擬合簡化法與經(jīng)典查表法成果對比Table 1 Comparison of results from the simplified fitting method in this research and the traditional method of looking up tables

圖6 塑性屈服區(qū)影響的附加變形計(jì)算示意圖Fig.6 Schematic of the calculation of additional deformation in consideration of plastic zone effect

其中下標(biāo)“1”表示等效后的上部“懸臂梁”，下標(biāo)“2”表示等效后的下部“懸臂梁”。

將經(jīng)典彈性理論解與塑性附加變形解疊加，得樁頂?shù)乃轿灰?、轉(zhuǎn)角為:

式中:

(參數(shù) hp，a0，a1，a2見公式(12));

考慮到下部塑性區(qū)的擴(kuò)展，本次計(jì)算取無量綱延展長度 LΔ，其中可設(shè) LΔ=(3.5 － αhp)，即以樁的第一個位移為0的點(diǎn)為基準(zhǔn)。

值得指出的，本文半經(jīng)驗(yàn)彈塑性解析法僅適用于計(jì)算樁身變位，對于樁身內(nèi)力計(jì)算值得進(jìn)一步討論。

2.3 算例分析

例2:驗(yàn)證本文彈塑性解析解的正確性。Mohan等［6］于1971年報道了一系列水平荷載樁的現(xiàn)場試驗(yàn)的結(jié)果，其中﹟ IN1樁［6］為鋼管樁，入土深度為5.25 m，直徑為10 cm，抗彎剛度 EI=313.6 kN·m2，樁頂和樁底的約束條件均為自由。樁周土的特性:0～3.3 m為砂土，相對密實(shí)度為75%，孔隙比為48%，密度為2.05 g/cm3;3.3 ～6.0 m為黏土，液限為48%，塑限為27%，塑性指數(shù)為21%。土層的反力系數(shù)k=m(z0+x)n，土的地基反力參數(shù)取值m=3.85×104kN/m4;土的屈服位移y*=3.75 mm。水平力H0=4.7 kN，力矩 M0=0 kN·m。

本文通過對有效樁長 (4/α)內(nèi)的反力系數(shù)進(jìn)行線性擬合，轉(zhuǎn)化為直線反力法分析，并利用本文半經(jīng)驗(yàn)彈塑性解析解理論計(jì)算分析，計(jì)算成果見表2。

通過算例比較分析知，與經(jīng)典m法理論解相比，本文彈塑性理論解與實(shí)測數(shù)據(jù)基本一致，但仍稍偏小，基本滿足工程實(shí)踐要求。

3 結(jié)語

本文基于數(shù)值擬合理論及高效擬合軟件對經(jīng)典m法進(jìn)行了數(shù)學(xué)簡化分析，在考慮塑性區(qū)對水平位移的影響下，對水平荷載單樁水平位移進(jìn)行了深入研究分析，主要得出以下結(jié)論:

(1)基于高效數(shù)值擬合軟件對經(jīng)典m法(其中αh ＞2.5，Kh=0)中需查表內(nèi)插選取的計(jì)算參數(shù)進(jìn)行了高精度數(shù)值擬合，給出了樁頂水平位移、轉(zhuǎn)角的高精度擬合函數(shù)簡潔計(jì)算公式。

(2)對經(jīng)典柔性長樁(αh ＞4，Kh=0)樁身位移、彎矩?zé)o量綱系數(shù)進(jìn)行了高精度擬合，給出了樁頂水平位移、轉(zhuǎn)角、樁身最大彎矩及最大彎矩深度等的高精度擬合函數(shù)簡潔計(jì)算公式，并通過工程算例計(jì)算比較分析，認(rèn)為本文的擬合彈性解析解精度高、方法可靠。

表2 半經(jīng)驗(yàn)彈塑性解析解與彈塑性數(shù)值分析法成果對比Table 2 Comparison of results from the semi-empirical elastic-plastic analytical solution and the elastic-plastic numerical analysis method

(3)對經(jīng)典柔性長樁(αh＞4，Kh=0)樁身的水平位移、樁身彎矩?zé)o量綱化，給出了樁身位移、彎矩隨深度、水平無量綱荷載之間的關(guān)系式，并給出了曲面關(guān)系圖，得出:樁頂水平位移隨樁頂荷載的增加而線性增加，樁身水平位移隨深度的增加而快速減小;樁深最大彎矩隨樁頂荷載的增加而線性增加，并且樁身最大彎矩位置隨樁頂彎矩荷載的增加而向樁頂近似線性關(guān)系移動。

(4)基于土體水平屈服的理想彈塑性模型，通過推理計(jì)算給出了考慮樁頂塑性屈服區(qū)影響下的樁頂變位半經(jīng)驗(yàn)彈塑性解析解，最后通過算例計(jì)算比較分析，認(rèn)為本文彈塑性理論解與實(shí)測數(shù)據(jù)基本一致，但仍稍偏小，基本滿足工程實(shí)踐要求。

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