層狀非均質(zhì)各向異性地層中多分量感應(yīng)測(cè)井?dāng)?shù)值模擬與響應(yīng)特征

汪建勛

（吉林大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130012）

0 引 言

多分量感應(yīng)測(cè)井儀器是一種能夠同時(shí)提供地層縱橫向電阻率信息的新一代測(cè)井技術(shù)［1－3］，該儀器包含有3個(gè)相互正交的發(fā)射線圈（Tx、Ty和Tz）和接收線圈（Rx、Ry和Rz），利用不同方向發(fā)射源在地層中產(chǎn)生出的感應(yīng)電磁場(chǎng)，同時(shí)測(cè)量9個(gè)不同分量的感應(yīng)磁場(chǎng)，提取出地層縱橫向電阻率、井眼相對(duì)傾角等參數(shù)。

由于共面線圈系電磁場(chǎng)不再具有軸對(duì)稱性，需要借助電磁三維數(shù)值模擬技術(shù)［4－8］進(jìn)行多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)的研究，其運(yùn)算效率較低且計(jì)算機(jī)內(nèi)存占用量較大。所以，三維數(shù)值模擬往往采用較為簡(jiǎn)單的地層模型，且對(duì)電阻率反差較大及層數(shù)較多的復(fù)雜模型，三維測(cè)井響應(yīng)的準(zhǔn)確模擬仍然面臨諸多問題。針對(duì)感應(yīng)測(cè)井三維數(shù)值模擬中存在的問題，研究效率更高和精度更好的其他算法一直受到廣泛關(guān)注，例如，水平層狀和柱狀各向異性地層中測(cè)井響應(yīng)的解析算法［9－12］、層狀非均質(zhì)地層中的數(shù)值模式匹配算法等均具有精確高效的特點(diǎn)［13－14］，特別是數(shù)值模式匹配算法在側(cè)向、感應(yīng)等常規(guī)電測(cè)井?dāng)?shù)值模擬和反演方面已發(fā)揮了重要作用［15－19］。此外，數(shù)值模式匹配算法同時(shí)解決了不含井眼的水平層狀地層中多分量感應(yīng)響應(yīng)的快速模擬與反演問題，最近已經(jīng)被成功推廣應(yīng)用與含有井眼和侵入帶的水平層狀非均質(zhì)地層中多分量感應(yīng)測(cè)井的數(shù)值模擬與反演［20－22］。用數(shù)值模式匹配算法進(jìn)行含有井眼和侵入帶的層狀非均質(zhì)地層中多分量感應(yīng)測(cè)井?dāng)?shù)值模擬的主要困難是柱狀電導(dǎo)率界面上的積累面電荷。

本文利用文獻(xiàn)［20］至文獻(xiàn)［21］中的相關(guān)方法，針對(duì)柱狀分界面上的積累面電荷對(duì)電磁場(chǎng)的影響問題，通過傅氏級(jí)數(shù)展開與分離變量法以及電阻率徑向?qū)?shù)的奇異性，建立電磁場(chǎng)水平分量的2個(gè)奇異算子方程，用于描述柱狀分界面上積累面電荷的效應(yīng)。并利用模式匹配技術(shù)給出層狀非均質(zhì)各向異性地層中磁場(chǎng)并矢Green函數(shù)的半解析解以及多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)的計(jì)算方法，最后通過數(shù)值模擬結(jié)果考察不同井眼泥漿電阻率和侵入深度上多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)。

1 理 論

圖1是水平層狀各向異性非均質(zhì)地層模型的示意圖。模型中的地層總層數(shù)假定為N；σHT，n、σVT，n（σHx，n和σVx，n）、（n＝1，2，…，N）分別表示地層n中的原狀地層（侵入帶）橫向和縱向電導(dǎo)率；rxo，n（n＝1，2，…，N）、dn（n＝2，3，…，N）分別是侵入半徑和水平界面位置；井眼半徑和井眼泥漿電導(dǎo)率分別為a、σmd。圖1中還建立了相應(yīng)坐標(biāo)系xyz，其中z軸與井軸重合且垂直于地層層面，正交發(fā)射和接收線圈分別用（êx，êy，êz）、（Rx，Ry和Rz）表示，它們構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單的多分量感應(yīng)測(cè)井儀器。此外，從圖1可以看出地層中的縱橫向電導(dǎo)率的空間分布是分片常數(shù)的且具有軸對(duì)稱性，同時(shí)電導(dǎo)率函數(shù)在柱狀界面上出現(xiàn)間斷。

圖1 地層模型與陣列多分量感應(yīng)儀器結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 Fourier級(jí)數(shù)展開與奇異算子方程

多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)的數(shù)值模擬實(shí)質(zhì)上是求解Maxwell方程［13－14］

式中，Ep、Hp是發(fā)射線圈（p＝x，y，z）產(chǎn)生的電磁場(chǎng)＝dian（σH，σH，σV）是電導(dǎo)率張量；磁導(dǎo)率μ為常數(shù)；ρs假定為發(fā)射線圈的半徑；ω為發(fā)射信號(hào)的角頻率，且忽略位移電流影響。利用直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系ρ＝和θ＝arctan（x／y），柱坐標(biāo)系（ρ，θ，z）下，式（1）中的3個(gè)正交發(fā)射線圈可分別展開為如下形式傅氏級(jí)數(shù)

其中，l＝0。

由于電導(dǎo)率空間分布的軸對(duì)稱性的，式（1）中的電磁場(chǎng)水平分量＝（σH，）T和＝（，）T也具有類似的傅氏級(jí)數(shù)展開形式［20－21］

式中，

，l是2×2階微分算子。由于導(dǎo)電率的導(dǎo)數(shù)在徑向邊界上是奇異的，右端項(xiàng)中的第2算子是奇異算子，用于描述柱狀分層界面上積累面電荷影響。

磁場(chǎng)水平分量與電場(chǎng)水平分量間的關(guān)系方程為

式中，

是2×2階的微分算子且右端的第2算子也是奇異算子。

此外，磁場(chǎng)垂直分量與間的關(guān)系方程為

式（6）至式（10）中的各個(gè)變量均與極角θ無關(guān)，因此，式（1）中電磁場(chǎng)的三維數(shù)值模擬問題通過傅氏展開被轉(zhuǎn)化為3個(gè)軸對(duì)稱問題，簡(jiǎn)化了數(shù)值模擬過程，有效提高了模擬效率，特別是式（7）和式（9）中奇異算子的引入，有效描述了積累面電荷對(duì)電磁場(chǎng)的影響。

1.2 水平層狀非均質(zhì)地層中的電磁場(chǎng)

利用數(shù)值模式匹配算法并經(jīng)過一系列復(fù)雜推導(dǎo)，第n個(gè)非均質(zhì)地層中的電場(chǎng)水平分量可表示為半解析形式［20－21］

式（12）中的是模式匹配算法中第n個(gè)地層上的本征值組成的對(duì)角矩陣。進(jìn)一步將式（11）代入式（8）和（10）中，經(jīng)整理，得第n個(gè)地層中的磁場(chǎng)強(qiáng)度水平分量和垂直分量為

最后，利用柱坐標(biāo)到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系，將式（15）得到的3個(gè)正交磁偶極子磁場(chǎng)轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系中，得磁場(chǎng)張量為

對(duì)于給定的測(cè)量位置，利用磁場(chǎng)張量的3個(gè)主分量Hxx、Hyy和Hzz，可計(jì)算出多分量感應(yīng)測(cè)井儀器的3個(gè)主響應(yīng)［1，7］，為

式中，L是發(fā)射線圈和接收線圈間的距離。

2 數(shù)值模擬結(jié)果

首先利用完全柱狀各向異性地層中解析法（AM）［10］與本文中的數(shù)值模式匹配算法（NMM）得到的數(shù)值結(jié)果的對(duì)比，檢驗(yàn)數(shù)值模式匹配算法（NMM）的有效性；然后，進(jìn)一步考察泥漿電阻率和侵入半徑變化對(duì)多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)的影響。數(shù)值模擬中，多分量感應(yīng)測(cè)井儀器的源距假定為0.8m，發(fā)射線圈的工作頻率為20kHz，井眼半徑假定為a＝0.1m。由于垂直井眼中的2個(gè)共面線圈系主分量相等即＝，且所有交叉分量等于0，所以這里僅給出2個(gè)主分量和的數(shù)值結(jié)果。

圖2是完全柱狀各向異性地層中，分別由數(shù)值模式匹配（NMM）和解析法（AM）得到的主分量和的對(duì)比結(jié)果，模型中原狀地層縱橫向電阻率RV和RH分別是90Ω·m和20Ω·m。圖2（a）和圖2（b）分別對(duì)應(yīng)于泥漿電阻率為Rmud＝1Ω·m和Rmud＝1 000Ω·m情況下的結(jié)果，其中，實(shí)線和虛線是由解析法得到的，分散的三角形和五角星是數(shù)值模式匹配法的計(jì)算結(jié)果。結(jié)果清楚顯示，在收發(fā)距為0.1～20m的變化范圍內(nèi)NMM算法和AM所得的數(shù)值結(jié)果吻合得非常好，說明在大反差電阻率地層以及在大收發(fā)距變化范圍內(nèi)，NMM仍然能夠得到滿意的計(jì)算效果。此外，結(jié)果也清楚反映出在收發(fā)距較小的情況下，泥漿電阻率變化對(duì)多分量感應(yīng)響應(yīng)的影響往往很大。

為考察層狀非均質(zhì)地層中泥漿電阻率和侵入深度不同時(shí)多分量感應(yīng)測(cè)井的響應(yīng)特征，本文設(shè)計(jì)出一個(gè)9層非均質(zhì)模型。該模型包含4個(gè)高電阻率層和3個(gè)低電阻率層以及上下圍巖，且所有地層具有各向異性。高電阻率層和低電阻率層厚度均是3m，4個(gè)高電阻率層的侵入帶和原狀地層電阻率相同且分別是（Rhx，Rvx）＝（8，26）Ω·m 和（Rht，Rvt）＝（15，65）Ω·m，從上到下4個(gè)高電阻率地層的侵入半徑分別是0.1、0.3、0.5m和0.7m。低電阻率層與上下圍巖電阻率相等，其值為（Rht，Rvt）＝（2，5）Ω·m且沒有侵入。圖3是該模型在低電阻率泥漿和高電阻率泥漿2種不同情況下的由NNM算法得到的模擬結(jié)果，其中，粗實(shí)線和粗虛線分別代表Rmud＝1Ω·m和Rmud＝1 000Ω·m情況下的測(cè)井響應(yīng)。結(jié)果顯示，泥漿電阻率對(duì)視電導(dǎo)率的影響非常明顯，且高電阻率泥漿情況下的視電導(dǎo)率與地層電導(dǎo)率更接近。仔細(xì)對(duì)比不同侵入深度地層上的視電導(dǎo)率的大小，可以看出最上面的無侵高電阻率地層上的視電導(dǎo)率與下面各個(gè)有侵高電阻率層上的視電導(dǎo)率存在明顯差異，說明侵入對(duì)視電導(dǎo)率有明顯影響，但其他不同侵入深度的高電阻率地層上視電導(dǎo)率的值相差較小，說明共面線圈系視電導(dǎo)率的探測(cè)深度不大。此外，共軸線圈系的響應(yīng)與常規(guī)測(cè)井響應(yīng)相同，高電阻率泥漿上的視電導(dǎo)率小于低電阻率泥漿上的視電導(dǎo)率值，且在不同侵入深度的地層上，視電導(dǎo)率均存在一定差異，說明共軸線圈系比共面線圈系具有更大的探測(cè)深度。

圖2 完全柱狀各向異性地層中NMM與AM所得數(shù)值結(jié)果的對(duì)比

圖3 9層水平層狀非均質(zhì)各向異性地層上不同井眼泥漿和侵入深度情況下多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)

3 結(jié) 論

（1）針對(duì)柱狀分界面上積累面電荷對(duì)共軸線圈系電磁響應(yīng)的影響問題，通過傅氏級(jí)數(shù)展開與分離變量法以及電阻率徑向?qū)?shù)的奇異性，給出關(guān)于電磁場(chǎng)水平分量的2個(gè)奇異算子方程。

（2）利用模式匹配技術(shù)得到了層狀非均質(zhì)各向異性地層中磁場(chǎng)并矢Green函數(shù)的半解析表達(dá)式，能夠進(jìn)行層狀非均質(zhì)各向異性地層中多分量感應(yīng)測(cè)井響應(yīng)的數(shù)值模擬。

（3）數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示，共面線圈系與共軸線圈系的測(cè)井響應(yīng)和存在著較大差異，高電阻率泥漿上視電導(dǎo)率大于低電阻率泥漿上的值，且高電阻率泥漿情況下的視電導(dǎo)率與地層電導(dǎo)率更接近，因此，高電阻率泥漿更有利于共面線圈系資料的解釋。

（4）多分量感應(yīng)響應(yīng)中另一個(gè)現(xiàn)象是視電導(dǎo)率在水平界面附近出現(xiàn)明顯犄角以及負(fù)的響應(yīng)，這是由于水平界面上的積累面電荷產(chǎn)生的。此外，多分量感應(yīng)測(cè)井的響應(yīng)的復(fù)雜性給電測(cè)井資料處理和解釋帶來了一個(gè)全新的研究課題。

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