交錯(cuò)多通道采樣信號的分析與重構(gòu)方法

李玉玲，翟盼盼

(河南大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南開封475004)

0 引言

近年來，對高帶寬信號或者大采樣率信號的處理通常需要使用時(shí)間交錯(cuò)數(shù)模轉(zhuǎn)換器［1］.如果采樣信號的帶寬很大，直接對模擬信號采樣會非常困難，因此，通常利用多個(gè)通道來對高帶寬信號進(jìn)行并行采樣.由于通道之間存在時(shí)間延遲，導(dǎo)致實(shí)際的采樣為均勻采樣或非均勻采樣［2-3］.在單通道或多通道A/D轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)中，對采樣信號的重構(gòu)必須考慮量化影響［4］.當(dāng)前，人們常采用過采樣的方法減輕量化影響［5］.

針對上述問題，筆者擬基于交錯(cuò)環(huán)境中的多通道測量值、量化影響以及過采樣的條件，設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)重構(gòu)濾波器.首先，對量化誤差使用加性噪聲進(jìn)行建模，針對多通道采樣，當(dāng)通道之間的量化步長不相等且通道之間的相對時(shí)間也不滿足均勻采樣時(shí)，通過增加SQNR對信號進(jìn)行最優(yōu)重構(gòu).其次，在通道之間的相對時(shí)間不匹配的情況下，對量化步長進(jìn)行合理的調(diào)整，來達(dá)到對信號進(jìn)行最優(yōu)重構(gòu).最后，對通道之間的量化步長以及相對時(shí)間進(jìn)行調(diào)整，以得到最優(yōu)補(bǔ)償濾波器.有限信號x(t)的Nyquist采樣率為1/TN，每個(gè)通道的采樣率1/T=1/LTN，過采率為ρ=M/L＞1.現(xiàn)將圖 1定義為理想模型，即 xm［n］=x(nT-τm)，通道M的時(shí)間延遲為τm.

圖1 多通道采樣圖Fig.1 Multi-channel sampling

多通道采樣系統(tǒng)的交錯(cuò)輸出采樣值如圖2所示.通過對時(shí)間延遲τm的選擇，可使得采樣為均勻采樣或周期性非均勻采樣［6］.這里特別指出，交錯(cuò)序列xM/L［n］是在 M/L倍 Nyquist采樣率下對x(t)進(jìn)行均勻采樣得到的輸出值，xM/L［n］是x(t)的周期性非均勻采樣值.

1 多通道采樣和重構(gòu)

本節(jié)對多通道采樣系統(tǒng)進(jìn)行描述，針對均勻采樣和周期性非均勻采樣設(shè)計(jì)完美重構(gòu)濾波器.

1.1 過采樣多通道系統(tǒng)

考慮多通道采樣系統(tǒng)如圖1所示.其中，帶寬

圖2 交錯(cuò)輸出采樣值Fig.2 Interleaving the output samp les

1.2 完美重構(gòu)

當(dāng)不存在量化誤差或多通道系統(tǒng)的采樣率不小于輸入信號的Nyquist采樣率時(shí)，采樣信號x(t)利用多通道輸出值x～m［n］=xm［n］可得到完美重構(gòu).例如，完美重構(gòu)可通過如圖3的濾波器處理來得到，其將序列x～m［n］集合到一個(gè)擴(kuò)展器組合中，對采樣信號x(t)在Nyquist采樣率下得到的統(tǒng)一樣本進(jìn)行sinc插值來重構(gòu)原始信號.

當(dāng)如圖1的多通道系統(tǒng)中的時(shí)間延遲滿足式(1)時(shí)，從圖3中選擇重構(gòu)濾波器為式(2).

此濾波器可對采樣信號x(t)進(jìn)行完美重構(gòu).通過選擇濾波器Gm(ejω)，對通道之間的時(shí)間延遲τm的空間非均勻性進(jìn)行補(bǔ)償，以得到x(t)的均勻采樣值 x～［n］.

圖3 多通道系統(tǒng)重構(gòu)圖Fig.3 Multichannel reconstruction

對于x(t)的完美重構(gòu)可以通過如圖3的系統(tǒng)得到，前提是:

由于每個(gè)通道的采樣率是輸入信號Nyquist采樣率的1/L倍，對式(3)進(jìn)行化簡，得到式(2)的約束條件如式(4)所示:

當(dāng)M=L時(shí)，式(4)可以唯一地確定重構(gòu)濾波器Gm(ejω).當(dāng)M＞L時(shí)，滿足過采樣，用剩余的M-L個(gè)自由度來設(shè)計(jì)重構(gòu)濾波器.這些情況均會在第2節(jié)中得到充分的討論.

2 存在量化誤差下多通道采樣和重構(gòu)

2.1 量化噪聲

針對量化后產(chǎn)生的量化誤差使用加性噪聲模型，多通道采樣系統(tǒng)的輸出采樣值表示為

假設(shè)qm［n］是一個(gè)白噪聲隨機(jī)過程，均勻分布在［-Δm/2，Δm/2］內(nèi);Δm是通道 M 的量化步長;qm［n］的方差為互不相關(guān)的，qm［n］和采樣值x(t)也不相關(guān).

Nm代表通道M中分配的位數(shù)，其與量化步長的關(guān)系是Δm=2X/2Nm，X代表數(shù)模轉(zhuǎn)換器的滿刻度.

將多通道輸出值 x～(t)的總噪聲表示為e(t)，e(t)是一個(gè)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，即

由于通道之間的量化噪聲是不相關(guān)的，則e(t)的總平均功率值是E(e2(t))，表示為

2.2 最優(yōu)重構(gòu)濾波器

設(shè)計(jì)重構(gòu)濾波器Gm(ejω)的方法有多種，其中一種就是通過利用所有的自由度來最小化噪聲重構(gòu)誤差以得到信號的重構(gòu)［7］.本小節(jié)假設(shè)已知信號的帶寬，在滿足式(4)的約束時(shí)，通過最小化來設(shè)計(jì)最優(yōu)重構(gòu)濾波器Gm(ejω).引用文獻(xiàn)［7］中相關(guān)公式，得到:

其中，用 Λ(i)(ejωm)代表有限長度序列{λ(i)k}L-1-ik=-i的離散時(shí)間Fourier轉(zhuǎn)換，即

此時(shí)，其頻率大小為

由于AM是一個(gè)共軛矩陣，即

另外，在將式(8)帶入式(7)的同時(shí)，也得到:

注意，由于AM在上式中大于零，將轉(zhuǎn)換為

當(dāng)M=L時(shí)，得到式(8)中的最優(yōu)的濾波器和通過滿足約束式(4)得到的唯一解是一致的.根據(jù)文獻(xiàn)［7］中第二章第二節(jié)的證明，則可得到:

因此，在不存在量化誤差的情況下，按照上式計(jì)算，將圖3中的輸出值x～(t)表示為

式(17)是對連續(xù)時(shí)間信號x(t)的完美重構(gòu).按照文獻(xiàn)［7］中的方法，輸出噪聲平均功率為

M ＞L時(shí)，利用Woodbury矩陣對式(16)進(jìn)行簡單遞推，將輸出平均噪聲功率更新為

2.3 多通道采樣系統(tǒng)中的最優(yōu)SQNR

以上分析了如圖1的多通道系統(tǒng)的中量化對重構(gòu)帶來的影響，同時(shí)也設(shè)計(jì)出了最優(yōu)重構(gòu)濾波器.在多通道采樣重構(gòu)系統(tǒng)中，有效的SQNR可以對采樣信號進(jìn)行完美重構(gòu)，但SQNR主要依賴于通道之間的量化步長、相對時(shí)間和過采樣率.接下來討論如何對這些參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以得到一個(gè)最優(yōu)的SQNR.分析式(13)，得

針對式(21)使用Cauchy-Schwartz不等式，可得

如果要使式(22)中的等號成立，當(dāng)且僅當(dāng):

當(dāng)如圖1的多通道系統(tǒng)中量化器使用的相同的量化步長，式(1)的τm可對采樣信號進(jìn)行最優(yōu)重構(gòu)，接下來會對此證明.此時(shí)，式(8)的最優(yōu)重構(gòu)濾波器退化為式(2)中的非整數(shù)時(shí)間延遲，即

這里σ2表示所有通道的量化噪聲方差的平均值.假設(shè)每個(gè)通道的量化噪聲的方差相等，則

當(dāng)重構(gòu)系統(tǒng)中通道之間的量化步長相同，平均量化噪聲功率為(L/M)·σ2，此時(shí)為均勻采樣，可對采樣信號達(dá)到最優(yōu)重構(gòu).關(guān)于時(shí)間延遲τm的其它選擇，因不滿足式(24)中的約束，易產(chǎn)生較差SQNR.

因?yàn)橥ǖ乐g的量化步長不同［8］，所以通道的量化噪聲qm［n］的方差σm2也不相同，接下來討論如何對方差σm2進(jìn)行選擇才能獲得較好的SQNR.為了便于比較，這里假設(shè)所有通道之間的總量化噪聲功率的平均值固定為σ2:

利用Cauchy-Schwartz不等式，式(26)轉(zhuǎn)換為

如果式(27)成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件:

通過上述分析采取如下措施:對量化器使用加性噪聲建模，并對通道間的量化器進(jìn)行不同精度的選擇，以降低平均量化噪聲功率;通過設(shè)計(jì)量化器以消除時(shí)間不匹配性帶來的量化影響;通過調(diào)整通道之間的量化步長得到均勻采樣，以便得到一個(gè)較好的SQNR對信號進(jìn)行最優(yōu)重構(gòu).

3 仿真分析

在本節(jié)中，考慮如圖1的多通道采樣系統(tǒng)，其中，M=3;L=2.通過以上分析，首先可得

假設(shè) τ0=0(ω0=0)，可得

第一種情況，將通道之間的量化補(bǔ)償固定為一個(gè)常量，在最優(yōu)重構(gòu)的約束下對時(shí)間延遲τm進(jìn)行選擇.圖4顯示比較因子，表示為在多通道采樣和重構(gòu)系統(tǒng)中輸出噪聲平均功率與最小噪聲功率的比值，其前提條件為最大的比較因子γ在τ1=-τ2= ±(2/3)·TN時(shí)得到，此時(shí)最小的平均噪聲功率為.在重構(gòu)系統(tǒng)中，令通道之間的量化步長相同，得到最小的平均噪聲功率為(L/M)·σ2，此時(shí)達(dá)到最優(yōu)重構(gòu).即通道之間的量化步長相同，如果要得到最優(yōu)的重構(gòu)濾波器，必須得到最小的平均噪聲功率，此平均噪聲功率為(L/M)·σ2.

圖4 均方誤差比較Fig.4 The com pare of reduction factor

第二種情況，通過適當(dāng)設(shè)計(jì)通道之間的量化步長來對時(shí)間延遲的空間不匹配性進(jìn)行調(diào)整，以達(dá)到信號的最優(yōu)重構(gòu).假設(shè)這3個(gè)通道分配相同的量化步長，每個(gè)通道都分配4位，當(dāng)τ0=0，τ1=TN/8，τ2=-(3/4)·TN時(shí)，輸出噪聲功率與在均勻采樣時(shí)相比增長了20%.但是，當(dāng)每個(gè)通道之間的量化步長不同時(shí)，相對于均勻采樣，重構(gòu)誤差的方差可得到一個(gè)更小的值.表1通過對通道之間分配不同位數(shù)的最小方差與分配位數(shù)固定的最小方差進(jìn)行比較，分析通道之間分配的位數(shù)的不同對最小方差的影響.令通道之間分配固定位數(shù)為4位，其余均是總分配位數(shù)不變，但各個(gè)通道之間的相對分配的位數(shù)發(fā)生變化，變化范圍為增大或減少一位，于此對最小方差進(jìn)行比較.從表1中得到當(dāng)通道之間的量化步長不同，均勻采樣已不能對信號進(jìn)行最優(yōu)重構(gòu).所以，當(dāng)通道之間量化步長不同時(shí)，相應(yīng)的均勻采樣已經(jīng)不能對信號進(jìn)行最優(yōu)重構(gòu)，對通道之間分配的位數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，以便對信號進(jìn)行最優(yōu)重構(gòu).

表1 分配不同位數(shù)的方差比較Tab.1 The performance gain for different bit allocations

第三種情況，利用均勻采樣下的量化噪聲的方差與其他情況相比較，其中通道之間的時(shí)間延遲范圍為［-TN，TN］，得到圖5中的仿真結(jié)果.結(jié)果表明，此種情況下的仿真結(jié)果相比于均勻采樣，提高了12.5%，滿足最優(yōu)重構(gòu)的時(shí)間延遲為τ1=-τ2= ±0.54TN.

圖5 相對性能比較Fig.5 The com pare of relative performance

由上述得到，由于多通道采樣重構(gòu)系統(tǒng)中時(shí)間延遲的空間非均勻性，導(dǎo)致交錯(cuò)多通道輸出等同于周期性非均勻采樣;此時(shí)通道間相同的量化步長已經(jīng)不能滿足最優(yōu)的重構(gòu).同時(shí)也證明了對通道間的量化器使用不同精度，以便減少噪聲方差.另外，當(dāng)固定通道之間的量化步長且不等，相同的通道間相對時(shí)間已不能滿足最優(yōu)重構(gòu);此時(shí)通過對相對時(shí)間進(jìn)行調(diào)整，得到一個(gè)更低的噪聲方差，對信號進(jìn)行最優(yōu)重構(gòu).

4 結(jié)論

首先考慮交錯(cuò)式多通道環(huán)境中量化對信號重構(gòu)的影響，并證明在多通道采樣環(huán)境中，當(dāng)通道之間的量化步長固定并且相同時(shí)，對信號進(jìn)行最優(yōu)重構(gòu)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)采樣是均勻采樣.其次對存在量化誤差的情況，基于將噪聲功率最小化的原則，對信號進(jìn)行最優(yōu)重構(gòu)，設(shè)計(jì)了最優(yōu)重構(gòu)濾波器.最后針對通道之間量化步長不同、時(shí)間延遲為非均勻采樣時(shí)，如何對量化步長、時(shí)間延遲進(jìn)行合理的調(diào)整以達(dá)到對信號的最優(yōu)重構(gòu)，并做了相應(yīng)的仿真驗(yàn)證.

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