橋梁結(jié)構(gòu)基于高維模型擬合響應(yīng)面的參數(shù)識(shí)別

官 華，陳德偉，白植舟

（同濟(jì)大學(xué) 橋梁工程系，上海200092）

橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)（如材料特性等）的實(shí)際值與規(guī)范值往往存在偏差，因此，在橋梁施工控制中尤其需要對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別.目前結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別最常用的方法為最小二乘法，該方法通常先根據(jù)有限元分析建立結(jié)構(gòu)響應(yīng)增量（如位移）關(guān)于待識(shí)別參數(shù)增量的影響矩陣，再基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)實(shí)測(cè)值，通過最小二乘優(yōu)化得到結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別值［1］.由于影響矩陣與待識(shí)別參數(shù)增量相關(guān)，參數(shù)識(shí)別結(jié)果的精度則取決于待識(shí)別參數(shù)增量的取值.因此，該方法存在計(jì)算精度不易控制的缺點(diǎn)，而要得到較為理想的結(jié)果則通常需要在有限元基礎(chǔ)上進(jìn)行多次試算或迭代計(jì)算［2］.

采用響應(yīng)面法［3－6］（response surface method，RSM）將結(jié)構(gòu)響應(yīng)與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的復(fù)雜隱式函數(shù)關(guān)系通過顯式函數(shù)近似表達(dá)出來(lái)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)識(shí)別則可以克服上述缺點(diǎn)［2］.該方法已在結(jié)構(gòu)可靠度分析中得以廣泛應(yīng)用，近年來(lái)也逐步應(yīng)用于結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別中.郭勤濤等［2］對(duì)基于RSM 法的結(jié)構(gòu)動(dòng)力有限元模型修正進(jìn)行了分析研究，并將其應(yīng)用于“H”型梁及GARTEUR 飛機(jī)有限元模型修正中.鄧苗毅等［7］則利用結(jié)構(gòu)靜力測(cè)試結(jié)果，對(duì)基于靜力響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)有限元模型修正進(jìn)行了分析研究.周林仁與歐進(jìn)萍［8］則基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，采用RSM 法對(duì)大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別.然而，傳統(tǒng)RSM法通常采用形式簡(jiǎn)單的二次多項(xiàng)式為響應(yīng)面函數(shù)，其擬合精度往往不能滿足參數(shù)識(shí)別的精度要求［9］，而基于高階多項(xiàng)式的響應(yīng)面函數(shù)存在階數(shù)不易確定及容易導(dǎo)致病態(tài)回歸方程的缺點(diǎn)［10］.如何獲得形式簡(jiǎn)單且精度高的響應(yīng)面函數(shù)是該方法的研究重點(diǎn).

高維模型擬合 （high dimensional model represe－ntation，HDMR）方法是Rabitz及其團(tuán)隊(duì)［11］提出的一種獲取高維復(fù)雜系統(tǒng)“輸入－輸出”函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法.該方法因形式簡(jiǎn)單、響應(yīng)面擬合精度高的特點(diǎn)得以廣泛發(fā)展，至今已成功應(yīng)用于大氣化學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)模擬及結(jié)構(gòu)可靠度分析等［12－14］領(lǐng)域.因此，本文提出采用HDMR 方法擬合結(jié)構(gòu)響應(yīng)面（簡(jiǎn)稱HDMR 響應(yīng)面法），并基于該響應(yīng)面實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)的識(shí)別.結(jié)合算例分析，討論了本文方法的計(jì)算精度及計(jì)算效率.

1 響應(yīng)面模型的建立

1.1 基于二階多項(xiàng)式的RSM 法

傳統(tǒng)RSM 法采用的響應(yīng)面函數(shù)多為不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式

式中：xi（i＝1，2，…，N）為第i個(gè)待識(shí)別參數(shù)，α0，αi與αii則為待確定未知系數(shù)，其個(gè)數(shù)為2N＋1.上述未知系數(shù)可通過有限元抽樣分析并結(jié)合回歸分析予以確定，具體方法可參閱文獻(xiàn)［3］，本文不做詳細(xì)闡述.

1.2 HDMR 響應(yīng)面法

1.2.1 HDMR 擴(kuò)展

假定N維輸入變量為x＝（x1，x2，…，xN），系統(tǒng)響應(yīng)變量則為g（x），根據(jù)HDMR 方法，g（x）可表達(dá)為

式中：g0為常數(shù)項(xiàng)；gi（xi）為一階項(xiàng)，表示變量xi獨(dú)立作用時(shí)對(duì)響應(yīng)變量的影響量；gi1i2（xi1，xi2）為二階項(xiàng)，表示變量xi1與xi2對(duì)于響應(yīng)變量的耦合影響量；更高階項(xiàng)表示m個(gè)輸入變量耦合作用對(duì)響應(yīng)變量的影響量；g12…N（x1，x2，…，xN）則表示所有輸入變量耦合作用的殘余影響量.對(duì)于實(shí)際工程，通常取前二階擴(kuò)展式即可滿足精度要求，即

引入cut－HDMR［15］表達(dá)式，即利用g（x）在穿過輸入變量空間內(nèi)某參考點(diǎn)r＝（r1，r2，…，rN）的線、面及超平面上的樣本值來(lái)表達(dá)響應(yīng)面函數(shù)g～（x），參考點(diǎn)r一般取為樣本中心點(diǎn).式（3）中的各分項(xiàng)函數(shù)可表示為

其中

式（7），（8）中：gi（xi）與gi1i2（xi1，xi2）可采用移動(dòng)最小二乘法（moving least－squares，MLS）［16］進(jìn)行確定.

將式（4）～（8）代入式（3）則有

1.2.2 MLS法擬合HDMR 響應(yīng)面函數(shù)

為方便表示，將xi及（xi1，xi2）統(tǒng)一記為xK（K＝1或2，分別表示一維或二維變量），分項(xiàng)函數(shù)gi（xi）與gi1i2（xi1，xi2）則統(tǒng)一記為g′（xK），根據(jù)MLS法，有g(shù)′（xK）的近似表達(dá)式為式中：pT（xK）＝｛p1（xK），p2（xK），…，pS（xK）｝由S個(gè)多項(xiàng)式的基本分項(xiàng)構(gòu)成，通常取二次多項(xiàng)式.

a（xK）＝｛a1（xK），a2（xK），…，aS（xK）｝T則為待確定的關(guān)于xi的未知系數(shù)表達(dá)式向量.

寫成矩陣形式為

其中，

W為加權(quán)函數(shù)對(duì)角陣

本文采用四次樣條（quartic spline）加權(quán)函數(shù)［17］，有

式中：A（xK）＝PTWP，B（xK）＝PTW.

將式（20）代入式（10）便得到各分項(xiàng)函數(shù)近似表達(dá)式為

再將所得的各分項(xiàng)函數(shù)表達(dá)式代入式（9）進(jìn)行組合便可確定HDMR 響應(yīng)面函數(shù)g～（x）.

1.3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有D 優(yōu)化設(shè)計(jì)、Box－Behnken設(shè)計(jì)、中心復(fù)合設(shè)計(jì)以及全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)等.其中，全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)是全部因子水平的完全組合，相較于其他試驗(yàn)設(shè)計(jì)，通?？色@得更高的擬合精度［18］.本文采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本點(diǎn)的確定.

全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)其計(jì)算效率及精度與因子水平數(shù)n相關(guān)，n過小可能導(dǎo)致精度不足，n過大則會(huì)增加大量樣本點(diǎn)和抽樣分析次數(shù).依據(jù)文獻(xiàn)［14］，對(duì)于HDMR 響應(yīng)面法，n取3～7較為合理，本文主要對(duì)因子水平數(shù)n＝3，5和7進(jìn)行探討.假設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)xi

的取值范圍為［xil，xiu］，取為xi的基本水平為樣本點(diǎn)步長(zhǎng)，則有：

（1）對(duì)于分項(xiàng)函數(shù)gi（xi），由于只包含單因子xi的n個(gè)水平，樣本點(diǎn)則為xi坐標(biāo)軸上的n個(gè)點(diǎn)，，如圖1a，為n＝7時(shí)的樣本點(diǎn)布置.

（2）對(duì)于分項(xiàng)函數(shù)gi1i2（xi1，xi2），由于包含了兩個(gè)因子的n個(gè)水平，因此在變量空間內(nèi)將兩個(gè)因子的n水平進(jìn)行完全組合，便得到n2個(gè)樣本點(diǎn)，如圖1b，為n＝7時(shí)的樣本點(diǎn)布置，樣本中心點(diǎn)μ的坐標(biāo)為（μi1，μi2）.

根據(jù)式（9）可知，對(duì)于HDMR 響應(yīng)面法，采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)生成的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)t為

傳統(tǒng)RSM 法采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)生成的樣本點(diǎn)數(shù)為：t＝nN.

圖1 全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)的樣本點(diǎn)布置（n＝7）Fig.1 Sample points of the full factorial design（n＝7）

1.4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的精度檢驗(yàn)

對(duì)于結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的擬合精度，可采用復(fù)相關(guān)系數(shù)R2進(jìn)行檢驗(yàn)

式中：m為用于精度檢驗(yàn)的樣本數(shù)量；yi為樣本的真

2 基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的參數(shù)識(shí)別

在獲取結(jié)構(gòu)的響應(yīng)面函數(shù)后，即可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)識(shí)別.假設(shè)N個(gè)待識(shí)別參數(shù)為x＝（x1，x2，…，xN），有M個(gè)實(shí)測(cè)響應(yīng)值為y＝（y1，y2，…，yM），相應(yīng)的響應(yīng)面函數(shù)為，基于誤差平方和最小原則，可構(gòu)造問題的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

已知xi∈［xil，xiu］，參數(shù)識(shí)別問題即轉(zhuǎn)化為有約束的最小二乘優(yōu)化問題.

3 算例分析

3.1 算例1

某三跨混凝土連續(xù)梁，跨徑布置為30m＋32m＋32m，見圖2.主梁材料為C50混凝土，記彈性模量設(shè)計(jì)值為E0.假定各跨主梁實(shí)際彈性模量為待識(shí)別參數(shù)，分別為：E1＝x1E0，E2＝x2E0及E3＝x3E0.在中跨跨中位置作用一豎直向下集中力F＝5 000 kN，得到三跨跨中撓度分別為z1＝5.6 mm，z2＝－13.5mm及z3＝5.6mm，依據(jù)該撓度值對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)E1，E2及E3進(jìn)行識(shí)別.

圖2 連續(xù)梁結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2 Analysis model of continuous beam structure

（1）響應(yīng)面擬合.給定x1，x2及x3的兩組取值范圍分別為［0.7，1.3］及［0.85，1.15］，并分別采用本文方法及傳統(tǒng)RSM 法構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)，得到了各跨中點(diǎn)撓度基于不同參數(shù)取值范圍及不同因子水平數(shù)下關(guān)于參數(shù)E1，E2及E3的響應(yīng)面函數(shù).在參數(shù)取值范圍內(nèi)采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)并取因子水平數(shù)n＝6生成216組樣本數(shù)據(jù)，依此計(jì)算響應(yīng)面的復(fù)相關(guān)系數(shù)R2，結(jié)果見表1.

表1 復(fù)相關(guān)系數(shù)R2 結(jié)果比較Tab.1 Comparison of multiple correlation coefficients（R2）

由表1可知，取n＝3時(shí)，傳統(tǒng)RSM 法的計(jì)算效率略有優(yōu)勢(shì)，當(dāng)n＞3時(shí)，本文方法的計(jì)算效率則更高.比較各響應(yīng)面的復(fù)相關(guān)系數(shù)R2值則不難發(fā)現(xiàn)，在同一取值范圍下取相同因子水平數(shù)時(shí)，本文方法所得的R2值相較于傳統(tǒng)RSM 法所得的R2值更接近于1；在相同因子水平數(shù)下，基于取值范圍［0.85，1.15］所得的R2值比基于取值范圍［0.7，1.3］所得的R2值更接近于1；同一取值范圍下，取更大的因子水平數(shù)時(shí)，本文方法所得響應(yīng)面的精度明顯提高.

（2）參數(shù)識(shí)別.以各響應(yīng)面模型為基礎(chǔ)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，所得結(jié)果見表2.查看基于取值范圍［0.7，1.3］所得結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)：相同水平數(shù)下，本文方法所得結(jié)果的精度比傳統(tǒng)RSM 法所得結(jié)果的精度要高；增加因子水平數(shù)后本文方法進(jìn)一步提高了結(jié)果的精度，傳統(tǒng)RSM 法在增加因子水平數(shù)時(shí)，其精度沒有明顯提升.在基于取值范圍［0.85，1.15］所得結(jié)果中不難發(fā)現(xiàn)，x1的識(shí)別結(jié)果均為0.85，這是由于x1的真實(shí)值落在參數(shù)取值范圍之外，在進(jìn)行有約束最小二乘優(yōu)化時(shí)，對(duì)最優(yōu)解的搜索會(huì)停止于取值范圍的上限或下限值.這種情況下，應(yīng)調(diào)整參數(shù)取值范圍，重新計(jì)算.

表2 算例1分析結(jié)果比較Tab.2 Comparison of analysis results of Example 1

3.2 算例2

（1）基本概況.如圖3所示，某獨(dú)塔斜拉橋跨徑布置為142m＋110m＋2×45m.全橋共38對(duì)斜拉索（塔根部往兩側(cè)依次為1～19號(hào)索）.主梁、主塔為C50混凝土，橋墩為C30混凝土，斜拉索為Φ7 mm鍍鋅平行鋼絲.在斜拉橋施工中，影響橋梁線形和受力的參數(shù)較多，主要包括結(jié)構(gòu)剛度、材料重度、溫度以及施工臨時(shí)荷載等.為減少參數(shù)識(shí)別工作量，本文僅選取主梁彈性模量Eb、主梁重度γb和斜拉索彈性模量Ec作為待識(shí)別參數(shù).

圖3 總體布置圖（單位：m）Fig.3 Elevation view of the bridge（Unit：m）

（2）待識(shí)別參數(shù)取值范圍及響應(yīng)變量.因參數(shù)選點(diǎn)范圍不同會(huì)得到不同的響應(yīng)面，從而得到不同的參數(shù)識(shí)別結(jié)果.所以本文選取了兩組不同的參數(shù)取值范圍，以討論其對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.

令Eb0，γb0和Ec0為主梁彈性模量、主梁重度和斜拉索彈性模量設(shè)計(jì)值，ΔEb，Δγb及ΔEc則分別為相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，ΔEb＝x1Eb0，Δγb＝x2γb0及ΔEc＝x3Ec0.假定兩組參數(shù)誤差取值范圍如表3 所示［19］.

表3 參數(shù)取值范圍Tab.3 Value range of parameters

考慮該橋北岸主跨（142m）在合攏施工階段，根據(jù)斜拉橋線形與索力雙控原則，選取北岸主跨第N1，N10及N19斜拉索下的主梁標(biāo)高誤差y1，y10，y19及索力誤差t1，t10，t19為響應(yīng)變量.本文取3組基于有限元計(jì)算的響應(yīng)變量值為樣本數(shù)據(jù)來(lái)模擬結(jié)構(gòu)參數(shù)的識(shí)別，見表4.

表4 算例2響應(yīng)變量樣本數(shù)據(jù)Tab.4 Sample data of structural responses of Example 2

（3）參數(shù)識(shí)別.采用ANSYS程序建立有限元模型進(jìn)行抽樣分析，如圖4所示，再分別采用本文方法及傳統(tǒng)RSM 進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，得到了基于兩組參數(shù)取值范圍及不同因子水平數(shù)的參數(shù)識(shí)別結(jié)果，見表5.

表5 參數(shù)識(shí)別結(jié)果比較Tab.5 Comparison of parameter identification results

對(duì)比本文方法及傳統(tǒng)RSM 法基于參數(shù)取值范圍1所得的結(jié)果，n＝3時(shí)，傳統(tǒng)RSM 法與本文方法所得結(jié)果較接近，但與真實(shí)值相比其精度均較低；n＞3時(shí)，兩種方法所得結(jié)果的精度均有提升，而本文方法的結(jié)果則精度更高；n＝5時(shí)，本文方法的結(jié)果已十分接近真實(shí)值，取n＝7時(shí)，計(jì)算精度有略微提升.

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model of the bridge

查看基于參數(shù)取值范圍2所得的結(jié)果則發(fā)現(xiàn)，對(duì)于樣本1及樣本2，本文方法所得結(jié)果的精度相比基于參數(shù)取值范圍1所得結(jié)果的精度有較大提升，而傳統(tǒng)RSM 法所得結(jié)果的精度沒有明顯提升.對(duì)于樣本3，由于x2的真實(shí)值落于參數(shù)取值范圍之外，當(dāng)x2＝－0.05時(shí)便結(jié)束了對(duì)最優(yōu)解的搜索.很明顯，此時(shí)所得結(jié)果為不合理結(jié)果，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整相應(yīng)參數(shù)取值范圍并重新計(jì)算.

4 結(jié)論

基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)面的參數(shù)識(shí)別方法的核心在于如何獲得形式簡(jiǎn)單且精度更高的響應(yīng)面模型，因此，本文研究了基于HDMR 響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別方法.以一個(gè)三跨連續(xù)梁及一座獨(dú)塔斜拉橋?yàn)樗憷M(jìn)行分析，比較了該方法與傳統(tǒng)RSM 法的計(jì)算效率及計(jì)算精度，并討論了用于構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)的不同參數(shù)取值范圍對(duì)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的影響，得到以下結(jié)論：

（1）采用全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)并當(dāng)n＞3時(shí)，本文方法的計(jì)算效率較傳統(tǒng)RSM 法更高.

（2）取相同參數(shù)取值范圍及相同因子水平數(shù)時(shí)，本文方法的計(jì)算精度相較傳統(tǒng)RSM 法更高.

（3）采用本文方法計(jì)算時(shí)，在同一取值范圍內(nèi)若增加因子水平數(shù)可提高計(jì)算精度，但同時(shí)也降低了計(jì)算效率.

（4）不同的參數(shù)取值范圍會(huì)得到不同的參數(shù)識(shí)別結(jié)果，選取較大的參數(shù)取值范圍可避免獲得不合理結(jié)果，若適當(dāng)縮小參數(shù)取值范圍并采用本文方法計(jì)算通?？色@更精確的結(jié)果.

［1］ 向中富.橋梁施工控制技術(shù)［M］.北京：人民交通出版社，2001.XIANG Zhongfu.Construction control techniques of bridge［M］.Beijing：China Communications Press，2001.

［2］ Guo Q T，Zhang L M.Finite element model updating based on response surface methodology ［C］／／Proceedings of the 22th International Modal Analysis Conference. Dearborn：Transportation Technology Publications，2004：536－543.

［3］ Box G E P，Wilson K B.On the experimental attainment optimum conditions［J］.Journal of the Royal Statistical Society，Series B，1951（13）：1.

［4］ Wong F S.Slope reliability and response surface method［J］.Journal of Geotechnical Engineering，1985，111（1）：32.

［5］ Faravelli L.Responese－surface approach for reliability analysis［J］.Journal of Engineering Mechanics，1989，115（12）：2763.

［6］ Bucher C G，Bourgund U.A fast and efficient response surface approach for structural reliability problems ［J］.Structural Safety，1990，7（1）：57.

［7］ 鄧苗毅，任偉新，王復(fù)明.基于靜力響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法［J］.實(shí)驗(yàn)力學(xué)，2008，23（2）：103.DENG Miaoyi，REN Weixin，WANG Fuming.Structure finitie element model（FEM）updating based on staieload response surface methodology［J］.Journal of Experinental Mechanics，2008，23（2）：103.

［8］ 周林仁，歐進(jìn)萍.大跨橋梁參數(shù)識(shí)別響應(yīng)面法中的近似函數(shù)及樣本選取［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2012，29（3）：306.ZHOU Linren，OU Jinping.Study on approximate functions and sample selection of response surface method for parameters identification of long－span bridges ［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2012，29（3）：306.

［9］ 鄧苗毅，任偉新.基于響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)有限元模型修正研究進(jìn)展［J］.鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2008，5（3）：42.DENG Miaoyi，REN Weixin.Study on structure finite element model updating based on response surface methodology ［J］.Journal of Railway Science and Engineering，2008，5（3）：42.

［10］ Gavin H P，Yau S C.High order limit state functions in the response surface method for structural reliability analysis［J］.Structural Safety，2008，30：162.

［11］ Rabitz H，Alis O F.General foundations of high dimensional model representations［J］.Journal of Mathematical Chemistry，1999，25：197.

［12］ Zhao Z L，Chen Z，Chen S Y.Correlations for the igniteion delay of hydrogen／air mixtures［J］.Chinese Science Bulletin，2011，56（2）：215.

［13］ Xu H，Rahman S.Decomposition methods for structural reliability analysis［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2005，20：239.

［14］ Chowdhury R，Rao B N，Meher P A.High dimentional model representation for reliability analysis ［J］.Communication in Numerical Method in Engineering，2009，25：301.

［15］ Li Gengyuan，Wang Shengwei，Rosenthal C，et al.High dimensional model representations generated from low dimensional data samples.I.mp－Cut－HDMR ［J］.Journal of Mathematical Chemistry，2001，30（1）：1.

［16］ Lancaster P，Salkauskas K.Surfaces generated by moving least squares methods ［J］.Mathematics of Computation，1981，37（155）：141.

［17］ Belytschko T，Krongauz Y，Organ D.Meshless methods：an overview and recent developments［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1996，139：3.

［18］ Cheng J，Li Q S.Application of the response surface methods to solve inverse reliability problems with implicit response functions［J］.Computer Mechanics，2009，43：451.

［19］ GUAN Hua，CHEN Dewei.Stochastic analysis of prestressed concrete cable－stayed bridges considering construction errors［C］／／Proceedings of the 2011 International Conference on Civil Engineering and Building Mateials.Kunming：Transportation Technology Publications，2011：1023－1028.