三維正交多項式擬合去噪在疊后地震資料中的應(yīng)用

鄒 夢，馮民富，張 華，朱 瑞，羅 鯤，譚英誼

（1.成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院，四川成都610059；2.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610065；3.川慶鉆探工程有限公司地球物理勘探公司，四川成都610213）

提高信噪比是地震資料處理的一項重要任務(wù)［1］。因為偏移前地下連續(xù)構(gòu)造對應(yīng)的地震信號在橫向上是連續(xù)的［2－3］，所以可以利用多項式連續(xù)的性質(zhì)，構(gòu)建合適的多項式來擬合地震信號，以恢復(fù)反射同相軸的連續(xù)性，達(dá)到增強有效信號、提高地震資料信噪比的目的。

地震信號多項式擬合最先被應(yīng)用在二維疊后地震資料去噪中［4］，該方法能在提高二維疊后地震資料信噪比的同時，保證地震信號的分辨率。擬合時選取正交多項式可以減少計算量，提高計算效率［5］。但是，利用二維的擬合方式［6－7］處理三維地震資料時只能在x－line方向或in－line方向上單獨進(jìn)行擬合，在擬合的方向上能夠取得很好的去噪效果，在另一個方向上卻可能會引起能量突跳，進(jìn)行資料解釋時就有可能錯誤地將其判斷為斷點，從而得出錯誤的結(jié)論。

為了解決二維正交多項式擬合所產(chǎn)生的能量突跳問題，有人提出了一種全三維正交多項式擬合方法［8－9］，用正交多項式對空間選取的離散采樣點進(jìn)行三維擬合，得到去噪后的結(jié)果。但是，該方法需要大量的人機交互，增加了資料處理的復(fù)雜性，同時，擬合三維地震資料的運算量十分巨大，因此尋求一種能夠由計算機自動處理且計算迅速的全三維擬合方法顯得尤為重要。

我們提出一種隱式的正交多項式擬合方法，該方法將三維地震數(shù)據(jù)劃分為若干個三維窗口，不需要計算出正交多項式的表達(dá)式，只需要獲取窗口中心x－line方向和in－line方向的離散點時間位置，掃描窗口對角的兩個地震道數(shù)據(jù)。處理前一次性選擇傾角范圍，擬合過程中不再有人工參與，使地震數(shù)據(jù)的批量處理成為可能。由于優(yōu)化了掃描及擬合過程，極大地減少了窗口掃描運算的時間，實際資料處理取得了很好的效果。

1 Weierstrass第一定理

因為地下連續(xù)構(gòu)造對應(yīng)的地震信號在橫向上是連續(xù)的，即使地下反射面很小，與它相關(guān)的信號分布范圍也非常大［10］，所以，這些橫向上連續(xù)的信號可以看作為一個連續(xù)函數(shù)。有了這個前提，即可利用Weierstrass第一定理對地震信號進(jìn)行多項式擬合。

設(shè)f（x）∈C［a，b］，那么對任意給定的ε＞0，都存在這樣的多項式P（x），使得

成立。其中C［a，b］代表閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，ε代表任意給定的正實數(shù)。這就是Weierstrass第一定理，詳細(xì)證明參見文獻(xiàn)［11－12］。

上述定理表明，任意閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以找到一個多項式函數(shù)來逼近它。因此，連續(xù)的地震信號可以用多項式來逼近。然而，公式（1）中的原函數(shù)為一元函數(shù)，因此只能運用到二維地震資料的多項式擬合中。對于三維地震數(shù)據(jù)，需要用二元多項式來逼近。

設(shè)f（x1，…，xn）∈C［a1，b1］×…×C［an，bn］，那么，對任意給定的ε＞0，都存在這樣的多項式P（x1，x2，…，xn），使

成立。這是N維空間上的Weierstrass第一定理，詳細(xì)證明見文獻(xiàn)［13－14］。利用這一定理，可以對三維地震信號進(jìn)行擬合逼近。

2 多項式擬合

2.1 信號時間擬合［15］

進(jìn)行多項式擬合前，先將地震數(shù)據(jù)以三維數(shù)組形式存放，使用時對數(shù)組進(jìn)行抽??；在三維疊后地震資料上任取一個區(qū)域，將該區(qū)域沿時間軸劃分一系列的時窗。根據(jù)擬合前所劃分的窗口大?。▁line方向，in－line方向，時間方向）形成初始窗口，設(shè)某一時窗W 內(nèi)x－line方向有2 N＋1個地震道，in－line方向有2 M＋1個地震道，對該時窗沿inline，x－line方向建立如下離散坐標(biāo)系：

設(shè)時窗W 的時間長度為2L，采樣時間間隔為Δt，則相關(guān)樣點所在的空間為

在時窗W 內(nèi)，可用二元三次多項式來表示地震信號的到達(dá)時間（或窗口的中點時間）：

式中：x，y為某一空間位置的相對道序號；aij為時間多項式系數(shù)，i為x項的乘方次數(shù)與y項的乘方次數(shù)之和，j為y項的乘方次數(shù)。

對于時間多項式的計算，首先需要將窗口沿x－line方向和in－line方向分別剖分為2 N＋1和2 M＋1個二維剖面，再對這些剖面進(jìn)行逐點掃描確定信號時間方向，最后通過組合得到二元多項式。此方法的優(yōu)點是信號始終固定在時窗中心，不會造成時窗內(nèi)信號的整體上移或下移，但缺點也相當(dāng)明顯，即逐點掃描需要大量的計算時間。

2.2 信號振幅計算

在時窗W 內(nèi)，各點的輸出振幅可通過對原始道振幅取均方根，再通過最小二乘擬合得到。均方根振幅計算公式如下：

式中：A（Xn）表示坐標(biāo)為Xn的地震道的輸出振幅；L為時間方向上窗口移動的大小；S（Xn，Tn）為第n個地震道相對于窗口上下中心位置的樣點值。均方根振幅通過以下多項式來進(jìn)行擬合。

其中，多項式系數(shù)b0，b1，b2，…采用最小二乘法確定。

2.3 期望波形形成

得到信號的振幅后，將時間多項式確定的同一時窗內(nèi)2 N＋1道記錄波形沿擬合出的同相軸方向相加，并對相加結(jié)果進(jìn)行縮放，使其均方根振幅歸一。波形相加公式為

式中：Tn為第n道的時窗中點時間，由時間多項式確定。其歸一化公式為

確定了時間多項式和振幅多項式的系數(shù)后，即可形成期望波形。

2.4 混波

正交多項式擬合難免會模糊一些斷點，所以在形成期望波形以后一般要將其及原始數(shù)據(jù)進(jìn)行混波處理，以減小擬合對斷點的影響?；觳ū鹊倪x擇有很多種，在實際應(yīng)用中一般采用固定混波比或通過能量加權(quán)的方式自動計算混波比。

3 正交多項式擬合

3.1 構(gòu)建正交多項式

在［－M，M］與［－N，N］區(qū)間上分別構(gòu)建二次正交多項式：

容易證明對于任意0≤i，j≤2，有

令Fij（x，y）＝pi（x）qj（y），0≤i，j≤2，且F＝｛Fij｜0≤i，j≤2｝＝｛Gi｜0≤i≤8｝＝G，則可證：F（或G）為點集D上最高為4次的二元正交多項式系。其元素如下：

時窗W 上的窗口中點時間擬合多項式如下：

（14）式中G4，G5和G8含有常數(shù)項會導(dǎo)致擬合的信號偏離時窗中心。實際應(yīng)用中因為高次項正交多項式系數(shù)一般較小，所以信號時間偏離時窗中心的問題并不明顯。對于構(gòu)造比較簡單的剖面，可以去除帶常數(shù)項的正交多項式以保證擬合的信號時間固定在窗口中心而不影響擬合效果。最佳擬合系數(shù)根據(jù)多道互相關(guān)性最強的原則確定。對窗口內(nèi)數(shù)據(jù)S（x，y，t）可以計算歸一化多道互相關(guān)系數(shù)，即

其中，

3.2 系數(shù)掃描過程

以c1的掃描為例。選取初始窗口，以初始窗口邊界的樣點時間作為掃描范圍，通過不同的樣點時間得到c1的不同系數(shù)；由（16）式求出相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，選取最大相關(guān)系數(shù)，其對應(yīng)的c1系數(shù)即為最終系數(shù)。

由于G為二元正交多項式系，故可以用獨立掃描的方式求得擬合系數(shù)ci，從而簡化計算。具體過程是：①固定c0（在剖面上劃分窗口實際上是選定不同的c0），先掃描c1，此時c2至c8均為0，比較多道互相關(guān)值確定c1；②保持已確定的多道互相關(guān)系數(shù)，再掃描c2，依此類推。每次掃描后記錄下獲取窗口中心x－line方向和in－line方向的離散點時間位置，之后的振幅及波形計算完全依賴于上述離散點時間位置，不需要正交多項式參與計算，這樣可以極大地減少計算量。掃描過程中窗口的形狀隨多項式系數(shù)的變化而變化，求系數(shù)的過程就是搜索信號的過程，由掃描確定的窗口就是期望信號的窗口。

根據(jù)（14）式中多項式對稱的性質(zhì)，實際上只需要掃描窗口中對角的兩條棱即可歷遍窗口中所有的點，據(jù)此可以對正交多項式進(jìn)行快速掃描。不同掃描方式的掃描次數(shù)對比見表1。

選取窗口大小為M0＝9，N0＝31和L0＝61，對一列采樣點個數(shù)為2 501的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行時間測試，其運算窗口個數(shù)為84，運算時間見表2。通過對比可以看出，正交多項式擬合快速掃描方法比現(xiàn)有方法明顯提高了效率。

表1 標(biāo)準(zhǔn)窗口（M0×N0×L0）多項式擬合不同掃描方式的掃描次數(shù)

表2 84個窗口（9×31×61）多項式擬合不同掃描方式的用時（平均時間）

4 實際資料測試

4.1 測試1

首先選擇東部地區(qū)的三維疊后地震資料進(jìn)行測試，圖1是in－line測線方向的原始地震剖面，2 300～2 700及3 000～3 500ms部分信噪比均較低。應(yīng)用本文提出的三維多項式擬合方法去噪后（圖2），被隨機噪聲淹沒的有效信號被很好地擬合出來，有效信號同相軸變得更加清晰，連續(xù)性得到了增強。特別是在1 900～2 300及2 700～3 000ms處，隨機噪聲得到了很好的壓制，有效信號同相軸的連續(xù)性和信號能量都得到了增強。整體來看，雖然去噪后剖面的分辨率有所降低，但隨機噪聲得到了壓制，資料信噪比得到了明顯提高。

圖2 東部地區(qū)某三維疊后資料in－line測線方向多項式擬合去噪后的剖面

圖3和圖4為同一塊三維疊后資料x－line測線方向的原始剖面和多項式擬合去噪后的結(jié)果。由圖3與圖4對比可以明顯看到，應(yīng)用本文提出的三維多項式擬合方法去噪后，x－line方向地震資料中的噪聲同樣被有效去除，有效信號的能量得到了增強。

4.2 測試2

選擇西北地區(qū)的三維地震資料對比測試了二維與三維多項式擬合的效果。圖5是西北地區(qū)某三維疊后資料in－line測線方向的原始剖面；圖6和圖7分別是應(yīng)用二維多項式擬合方法和本文三維多項式擬合方法去噪后的結(jié)果。由圖6和圖7的粗略對比可以看到，在in－line測線方向，二維及三維多項式擬合方法都能很好地壓制隨機噪聲，提高反射同相軸的信噪比，擬合去噪效果看上去都比較理想。

圖8是從上述三維資料中截取470號x－line測線局部放大后的精細(xì)對比結(jié)果。由圖8可以看到，在x－line測線方向的二維多項式擬合結(jié)果（圖8b）中，部分同相軸出現(xiàn)了能量突跳現(xiàn)象，例如in－line方向390～400道的1 300～1 400ms部分和1 050～1 150ms部分；而應(yīng)用本文三維多項式擬合方法去噪的結(jié)果（圖8c）則沒有出現(xiàn)同相軸突跳，因此其保真性得到了保證。另外，由于二維多項式擬合只在in－line方向進(jìn)行，所以在x－line方向可能會出現(xiàn)能量和連續(xù)性較弱的線性同相軸被擬合成幾條分段曲線的情況，例如in－line方向350～380道的2 150～2 200ms部分；而三維多項式擬合方法則很好地保持了該部分同相軸的真實形態(tài)，并且使同相軸的連續(xù)性得到了增強?？偟膩砜?，三維多項式擬合方法應(yīng)用于三維地震資料處理較二維多項式擬合方法具有明顯的優(yōu)勢。

圖3 東部地區(qū)某三維疊后資料x－line測線方向的原始剖面

圖4 東部地區(qū)某三維疊后資料x－line測線方向多項式擬合去噪后的剖面

圖5 西北地區(qū)某三維疊后資料389號in－line測線的原始剖面

圖6 西北地區(qū)某三維疊后資料389號in－line測線二維多項式擬合去噪后的剖面

圖7 西北地區(qū)某三維疊后資料389號in－line測線三維多項式擬合去噪后的剖面

圖8 西北地區(qū)某三維疊后資料470號x－line測線原始數(shù)據(jù)（a）和二維多項式擬合（b）及三維多項式擬合（c）結(jié)果的局部放大顯示

5 結(jié)束語

本文三維多項式擬合去噪方法擬合三維疊后地震數(shù)據(jù)能很好地避免二維多項式擬合三維地震數(shù)據(jù)所產(chǎn)生的能量突跳現(xiàn)象。雖然兩種方法對隨機噪聲的壓制效果都較好，但三維多項式擬合方法的保真性更好。

值得指出的是，盡管正交多項式擬合較普通多項式擬合能極大地減少計算量，提高大數(shù)據(jù)量三維地震資料處理的生產(chǎn)效率，但由于其計算點受二次項的制約并不總是固定在時窗的中心，可能會影響其擬合的準(zhǔn)確性，因此，在實際應(yīng)用研究中應(yīng)盡可能使其影響減至最小。

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