考慮數(shù)量折扣的易逝品兩階段價格機(jī)制

張玲紅，尤建新，薛奕曦，邱國華

（同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092）

隨著技術(shù)進(jìn)步和市場競爭的加劇，產(chǎn)品更新?lián)Q代速度加快，越來越多的產(chǎn)品呈現(xiàn)出易逝品的特征．如各類電子產(chǎn)品和信息產(chǎn)品都具有易逝品的特征，易逝品在商場、超市的貨架上所占的比例也越來越大［1］．易逝品根據(jù)價格隨銷售時間的變化主要分為兩大類［2］：一類是隨銷售時間的推遲，價格越來越高，例如航空機(jī)票；另一類是隨著銷售時間的縮短，價格不斷減小，例如電子商品．本文的研究對象為第二類，考慮隨銷售時間的縮短，價格不斷減小的產(chǎn)品，并且明顯具有生產(chǎn)提前期長，銷售時間短，期末殘值低，受價格影響需求波動明顯的產(chǎn)品，例如衣服、電子產(chǎn)品；由于在銷售時間內(nèi)未被銷售出去的剩余產(chǎn)品，零售商將會以低于成本的價格進(jìn)行清倉處理，因此零售商在銷售時間內(nèi)需要根據(jù)市場需求的波動性來動態(tài)調(diào)整價格，降低剩余庫存．近年來動態(tài)定價已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)，在易逝品的銷售中得到廣泛應(yīng)用，如航空公司的機(jī)票，時裝以及生鮮食品等．因此研究易逝品的動態(tài)定價策略，有很強(qiáng)的理論與現(xiàn)實(shí)意義．

1992年Weatherford 和Bodyily［3］從收益管理的角度系統(tǒng)闡述了易逝品的動態(tài)定價問題．近年來關(guān)于易逝品的動態(tài)定價研究在收益管理中得到廣泛應(yīng)用，比如航空機(jī)票、報紙、蔬菜、衣服的價格設(shè)置等．Gallego和van Ryzin［4］研究了單產(chǎn)品動態(tài)定價問題，假設(shè)顧客到達(dá)服從泊松過程，構(gòu)造了連續(xù)時間隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃模型，證明了最優(yōu)值函數(shù)是庫存水平和時間的嚴(yán)格凹函數(shù)，并且得到隨著銷售數(shù)量的增加最多改變一次價格的策略是漸近最優(yōu)的．基于此，F(xiàn)eng和Gallego［5］把價格改變的次數(shù)設(shè)定為1，并預(yù)先設(shè)定價格改變前后的價格大小，得到了價格改變的最佳時刻．Chatwin［6］考慮了需求依賴于庫存水平下的動態(tài)定價策略，假定易逝商品的市場需求服從泊松分布且到達(dá)強(qiáng)度僅依賴商品的價格，在此基礎(chǔ)上分析了連續(xù)時間函數(shù)下易逝商品的最優(yōu)定價方法．Aviv和Pazgal［7］考慮了消費(fèi)者在隨機(jī)到達(dá)的情形下，保留價格隨時間變化，給出固定折扣與臨時打折兩種策略，最后比較分析了這兩種定價策略．我國學(xué)者也在動態(tài)定價方面做了大量的工作．楊慧和周晶［8－9］構(gòu)建了兩種競爭性產(chǎn)品降價時點(diǎn)設(shè)定問題的博弈模型，根據(jù)競爭對手決策時間的先后，分別研究了Cournot博弈與Stackelberg 博弈．劉曉峰和黃沛［10］討論了面對策略消費(fèi)者時，廠商如何在確定性和不確定性需求情形下，決定相應(yīng)的庫存和價格．李根道等［11］研究了隨機(jī)情況下庫存和價格影響需求的價格決策問題，給出了最優(yōu)價格策略唯一的充分條件并分析了解的結(jié)構(gòu)．然而上述文獻(xiàn)的大部分研究在實(shí)施最優(yōu)定價策略后直接對剩余的庫存以低于產(chǎn)品成本價的清倉價進(jìn)行拋售，并沒有考慮其他策略進(jìn)一步減少剩余庫存．

由于銷售時期內(nèi)沒有售出的產(chǎn)品，廠商將以低于成本的價格拋售產(chǎn)品，因此本文考慮在產(chǎn)品銷售的低谷期引入數(shù)量折扣策略來增加銷售量，降低剩余庫存．?dāng)?shù)量折扣在供應(yīng)商與零售商的訂貨模型中非常常見，為了激勵零售商增加訂貨量，供應(yīng)商通常會采用數(shù)量折扣策略從而達(dá)到供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)．Chiang，James，Huang等［12］利用博弈論分析了賣方的數(shù)量折扣問題，并用數(shù)值算例驗(yàn)證了數(shù)量折扣策略能有效提高交易雙方利潤；Li等［13］研究了市場需求服從正態(tài)分布時，供應(yīng)商與零售商組成的兩級供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題，證明了數(shù)量折扣策略可以改進(jìn)供應(yīng)鏈整體績效；然而在現(xiàn)實(shí)生活中有很多零售商對終端消費(fèi)者采取數(shù)量折扣，商場中經(jīng)常會看到購買一件產(chǎn)品全價，購買兩件享受九折優(yōu)惠，超市中食品的此類促銷也很常見．Weng［14］假設(shè)市場需求是商品價格的函數(shù)得出數(shù)量折扣可以有效刺激市場需求．

基于上述文獻(xiàn)研究，本文重點(diǎn)在于將數(shù)量折扣應(yīng)用到動態(tài)定價中，考慮在有限庫存的情況下，易逝品的最優(yōu)動態(tài)定價策略與數(shù)量折扣策略．本文首先從兩階段定價的基本模型出發(fā)，確定廠商的最優(yōu)兩階段價格策略；其次，利用數(shù)量折扣與由此增加的需求量的關(guān)系，得到擴(kuò)展模型的最優(yōu)數(shù)量折扣策略；最后，利用Matlab進(jìn)行數(shù)值分析，給出了相應(yīng)的管理實(shí)踐方面的應(yīng)用．

1 基本模型

壟斷廠商初始庫存為K，產(chǎn)品成本為c．產(chǎn)品銷售期T分為兩個階段：第一階段，銷售高峰期［0，H］；第二階段，銷售低谷期［H，T］．兩階段價格分別為p1，p2，且p1≥p2；模型不考慮由于顧客到達(dá)時間的不同引起的異質(zhì)性，假設(shè)顧客在銷售初期就已到達(dá)并且數(shù)量為N［15］，每個顧客對產(chǎn)品都存在一個保留價格V，如果產(chǎn)品的價格不大于顧客的保留價格，顧客就會購買產(chǎn)品．顧客對產(chǎn)品的保留價格V是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并且只有消費(fèi)者自身知道自己的保留價格，廠商和其他的消費(fèi)者都無法知道．假設(shè)顧客保留價格的分布函數(shù)R（V）服從［VL，VH］上的均勻分布，其中VL為顧客保留價格的最小值且VL≥c，VH為顧客保留價格的最大值．第二階段價格滿足p2≥VL，因?yàn)楫?dāng)廠商在第二階段的價格為最小保留價格VL時，降低價格并不會增加銷售量，反而會減少廠商收入；利用x（t）表示t階段結(jié)束時廠商的剩余庫存．在第二階段銷售結(jié)束時，如果廠商剩余庫存不為零，則廠商將采用低于成本的價格δ拋售產(chǎn)品，此時大量顧客進(jìn)入市場，剩余庫存全部售罄．廠商根據(jù)銷售期內(nèi)顧客的數(shù)量及保留價格，決定兩階段價格p1，p2．

由于在銷售結(jié)束時廠商庫存不會小于零，即x（2）≥0，此時第二階段銷售價格p2需滿足p2≥VH－（VH－VL）K／N．

由上述分析可得廠商的利潤函數(shù)如下：

由于目標(biāo)函數(shù)是嚴(yán)格二次凸函數(shù)，可行域是非空閉凸集，所以解存在且唯一．下述定理給出了上述二次規(guī)劃的解析解．

定理1 如果第二階段結(jié)束時廠商剩余庫存x（2）＝0，則 廠 商 的 最 優(yōu) 定 價

證明 如果x（2）＝0，則

由x（2）＝0可得K≤N，從而p2≥VL，因此最優(yōu)第二階段價格

定理2 如果第二階段結(jié)束時廠商剩余庫存x（2）＞0，則最優(yōu)價格為

證明 若x（2）＞0，即可得則廠商利潤函數(shù)Π（p1，其中

對p1，p2求偏導(dǎo)數(shù)，有

結(jié)論1 如果廠商的初始庫存為K，在確定了顧客的最高保留價格與最低保留價格后，廠商的最優(yōu)價格

廠商在利潤最大化過程中存在著價格與剩余庫存的博弈：高的價格對應(yīng)著高的剩余庫存，低的價格與低剩余庫存相對應(yīng)；廠商在何種情況下寧愿選擇高的剩余庫存也要維持高的價格，在何種情況下寧愿降低價格來減少剩余庫存，定理1，2給出了相對應(yīng)的條件．

2 擴(kuò)展模型

考慮到廠商在采取最優(yōu)價格策略后，第二階段剩余庫存不為零，則剩余產(chǎn)品將以低于成本的價格δ銷售．為了提高利潤，增加季節(jié)性產(chǎn)品在淡季時的需求，在銷售的第二階段廠商采取全量數(shù)量折扣策略，不計采取折扣策略增加的廠商成本．假設(shè)第二階段顧客的購買數(shù)量為1個或者2個單位，如果顧客購買產(chǎn)品的數(shù)量為2個單位時，顧客可享受折扣價格θp2，θ∈［c／p2，1］，其中，1－θ稱為第二階段廠商采取的價格折扣．假設(shè)α為采取數(shù)量折扣策略吸引的購買2個單位產(chǎn)品的顧客數(shù)量比例，則α為θ的單調(diào)減函數(shù)．由于單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上必存在反函數(shù)，記θ＝f（α），其中α∈［0，f－1（c／p2）］；廠商根據(jù)第一階段的剩余庫存，確定第二階段產(chǎn)品的價格折扣以期利潤最大化．

廠商利潤函數(shù)如公式（2）所示．

α≤因 此α∈［0，

定理3 如果第二階段剩余庫存x（2）＞0，假設(shè)θ＝f（α）為一次函數(shù)，廠商采取最優(yōu)價格1，2，則第二階段廠商采取的最優(yōu)價格折扣為θ（α＊）．

證明 對公式（2）求α的偏導(dǎo)數(shù)得

因?yàn)棣龋絝（α）為一次函數(shù)，易知Π1（p1，p2，α）為α的二次函數(shù)，因此，如果g（b）≥0，則在區(qū)間［0，b］上必存在唯一的最優(yōu)折扣θ（b）；如果g（b）＜0，則在區(qū)間［0，b］上必存在唯一的最優(yōu)折扣θ（α＊），其中α＊滿足g（α＊）＝0．

結(jié)論2 采取數(shù)量折扣策略后廠商的利潤增加值如公式3所示．

3 數(shù)值分析

3．1 數(shù)值實(shí)例

假設(shè)α＝1－θ，δ＝0．2VL，c＝1，K＝50，VL＝1，VH＝3，ΔΠ／Π表示廠商利潤的增加率，用來反映數(shù)量折扣策略的有效性．

由表1可知，廠商采取兩階段動態(tài)定價策略，當(dāng)54≤N≤60時，廠商選擇適當(dāng)?shù)膬呻A段價格，清除庫存使得利潤最大化．當(dāng)50≤N≤53時，廠商有機(jī)會出售掉所有產(chǎn)品，但是廠商選擇了制定較高的價格來彌補(bǔ)剩余庫存所帶來的損失，最大化利潤．N≤53時，產(chǎn)品價格的確定與顧客數(shù)量無關(guān)，因此兩階段價格并沒有任何變化．此時廠商采取數(shù)量折扣策略，有效降低了第二階段庫存并且使得廠商利潤增加；隨著N的減小，第二階段價格折扣不斷降低；由于折扣價格不小于成本，最終折扣趨于0．88．采取數(shù)量折扣策略后，廠商的利潤明顯增大，但利潤增加率隨著N的減小先增加后減?。?/p>

3．2 靈敏度分析

由于信息的不對稱性，廠商對消費(fèi)者的最低保留價格與最高保留價格的估計可能會產(chǎn)生波動，在此假設(shè)最低保留價格在0．8～1．2之間波動，最高保留價格在2．6～3．5之間波動，應(yīng)用給出的算法可以得到圖1，圖2．

表1 顧客數(shù)量N 的變化對價格及利潤的影響Tab．1 Optimal price，discount factor and profit as a function of N

當(dāng)c＝1，K＝N＝50，VL＝1，δ＝0．2，α＝1－θ時，由圖1可以得出，隨著VH的增大，最優(yōu)的兩階段價格及廠商利潤不斷增加，第二階段購買產(chǎn)品的價格折扣力度1－θ不斷增加；采取數(shù)量折扣后廠商利潤的增加率隨著VH的增大先增加后減?。?/p>

當(dāng)c＝1，K＝N＝50，VH＝3，δ＝0．2，α＝1－θ時，從圖2可得到，隨著VL的增大，1，2和廠商利潤不斷增大；第二階段購買產(chǎn)品的價格折扣力度1－θ不斷減?。徊扇?shù)量折扣后的廠商利潤增加率隨VL的增大不斷減?。?/p>

通過圖1，2可以得出，VH－VL值越大，采取數(shù)量折扣策略廠商利潤增加越明顯．

圖1 最高保留價格VH 的變化對價格及利潤的影響Fig．1 The optimal pricing policy，price discount factor and profit as a function of VH

圖2 最低保留價格VL 的變化對價格及利潤的影響Fig．2 The optimal pricing policy，price discount factor and profit as a function of VL

4 結(jié)論

討論了庫存有限情況下，廠商采取兩階段定價策略，并且當(dāng)?shù)诙A段剩余庫存大于零時，在第二階段引入全量數(shù)量折扣策略的易逝品的動態(tài)定價問題．假設(shè)顧客享有的價格折扣與購買2個單位的顧客數(shù)量比例為一次函數(shù)關(guān)系的情況下給出了算例，得出的結(jié)論為：①采取數(shù)量折扣策略后，廠商利潤增加；隨著潛在顧客數(shù)量的減少，第二階段采取的價格折扣力度不斷變大，最終趨于常數(shù)．②第二階段采取的價格折扣，隨著顧客最低保留價格增大而增大；隨著最高保留價格的增大而減小．③隨著顧客最低保留價格的增大，廠商利潤增加率不斷越小；隨著最高保留價格的增大，廠商利潤的增長率先減少后增加．④當(dāng)顧客之間的保留價格有較大差異時，廠商采取數(shù)量折扣策略后利潤增加明顯．

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