基于B樣條函數(shù)的精密衛(wèi)星鐘差插值

華 亮

(湛江市測(cè)繪大隊(duì)，廣東 湛江 524002)

1 引言

在GPS的精密單點(diǎn)定位以及相對(duì)定位中，都需要根據(jù)衛(wèi)星星歷、鐘差文件計(jì)算每一時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)，不同情況下對(duì)衛(wèi)星星歷及鐘差的采樣間隔要求不同。導(dǎo)航衛(wèi)星通常采用的原子鐘為銣鐘或者銫鐘，其存在頻移、頻漂、頻漂率等物理性質(zhì)，衛(wèi)星鐘頻率漂移引起的衛(wèi)星鐘時(shí)間與GPS標(biāo)準(zhǔn)時(shí)之間的差值稱為衛(wèi)星鐘差。GPS通過地面監(jiān)控站對(duì)衛(wèi)星監(jiān)側(cè)，確定衛(wèi)星鐘的偏差。衛(wèi)星鐘差對(duì)于定位的影響分為兩項(xiàng)，一項(xiàng)是會(huì)引起衛(wèi)星坐標(biāo)計(jì)算的誤差，另一項(xiàng)是引起衛(wèi)星與接收機(jī)距離的誤差，如果定位精度需要厘米級(jí)時(shí)，則衛(wèi)星鐘差精度需要達(dá)到納秒級(jí)，因此鐘差對(duì)定位精度影響非常重要。在實(shí)際定位中，接收機(jī)的數(shù)據(jù)采樣間隔為30S、15S甚至更高的1S等高頻采樣，為了計(jì)算每個(gè)采樣時(shí)刻的位置，則必須對(duì)IGS提供的精密鐘差產(chǎn)品進(jìn)行插值或者擬合獲取適應(yīng)于接收機(jī)采樣率的鐘差數(shù)據(jù)。

在數(shù)據(jù)處理中，常用的插值方法較多，如Lagrange插值、Newton多項(xiàng)式插值、Hermite插值、樣條函數(shù)插值、切比雪夫多項(xiàng)式插值、三角函數(shù)插值等。在GPS數(shù)據(jù)處理中，常用的則為L(zhǎng)agrange多項(xiàng)式插值。

B樣條函數(shù)作為一類基本的樣條函數(shù)，其方法通用、逼近性能好，所以在數(shù)據(jù)處理中廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)［3］將B樣條函數(shù)用于了局部重力場(chǎng)的逼近。文獻(xiàn)［4］將B樣條函數(shù)平滑用于航空矢量重力測(cè)量中，對(duì)GPS相位差分直接計(jì)算的加速度進(jìn)行了處理。本文將B樣條函數(shù)應(yīng)用于GPS精密鐘差的插值計(jì)算并給出了具體的計(jì)算方案，且對(duì)IGS公布的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，與CODE公布的5S間隔數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較，最后對(duì)插值的精度進(jìn)行了分析。

2 B樣條函數(shù)插值的基本原理

本文處理的數(shù)據(jù)是鐘差數(shù)據(jù)的時(shí)間序列( ti，yi)(i=1，2，....，n)。對(duì) 歷 元 ti作 分 劃，其 中 c=min(ti)，d=max(ti)則分劃△:c=t0＜t1＜....＜tN=d。

加入新節(jié)點(diǎn)將分劃△擴(kuò)展為:

通常，m次B樣條函數(shù)能夠由遞推公式計(jì)算得到:

而且m次樣條函數(shù)S可以通過B樣條基函數(shù)表示為:

它包含有{N+m}個(gè)待定系數(shù) a－m，a－m+1，....，aN－1。

選擇m次樣條函數(shù)S()x作為擬合函數(shù)，根據(jù)最小二乘原理，可以利用下式求解待定系數(shù)。

得到正規(guī)方程組:

根據(jù)上文求出(2)式中的N+m個(gè)系數(shù)，則即可得到插值的多項(xiàng)式。

從上述推導(dǎo)過程可知，B樣條函數(shù)的階次m以及分劃長(zhǎng)度N將可以產(chǎn)生不同的插值效果，本文將結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行討論與分析。

3 衛(wèi)星鐘差插值算例分析

目前，IGS相關(guān)機(jī)構(gòu)提供的精密鐘差數(shù)據(jù)間隔為5min、30S，每個(gè)文件從當(dāng)天0點(diǎn)0分0秒開始至23時(shí)55分0秒結(jié)束，文件提供了所有衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)，并給出了用于計(jì)算衛(wèi)星鐘差的地面接收機(jī)的鐘差數(shù)據(jù)。在數(shù)據(jù)處理時(shí)，本文的策略是首先是選定某一顆衛(wèi)星一天的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，討論B樣條函數(shù)的參數(shù)變化對(duì)插值精度的影響，之后則隨機(jī)選取較長(zhǎng)時(shí)間段的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值，驗(yàn)證該方法的普遍性。

本文采用的精密鐘差數(shù)據(jù)來自AIUB(AstronomicalInstituteoftheUniversityofBern)的CODE數(shù)據(jù)中心，時(shí)間為2013年03月28日PRN3衛(wèi)星的5min、30SGPS鐘差數(shù)據(jù)，利用Maltab編寫了B樣條函數(shù)插值方法的計(jì)算程序插值得到了5s間隔的數(shù)據(jù)，分別分析B樣條函數(shù)的次m、劃分長(zhǎng)度N這兩個(gè)參數(shù)的取值方式，并與CODE提供的5s鐘差結(jié)果進(jìn)行了比較，精度比較結(jié)果見圖1。

圖1 不同參數(shù)下30s和5min數(shù)據(jù)內(nèi)插鐘差精度圖

由圖1可知，在選取不同參數(shù)計(jì)算鐘差的插值時(shí)，兩組數(shù)據(jù)內(nèi)插的5s鐘差，其精度的變化趨勢(shì)是一致的，30s數(shù)據(jù)的精度優(yōu)于5min的結(jié)果，在選用的參數(shù)范圍內(nèi)，其精度均優(yōu)于1ns。

為了便于分析，表1給出了B樣條插值結(jié)果與精密衛(wèi)星鐘差比較的統(tǒng)計(jì)表，從表中可以看出，當(dāng)階次采用3或4時(shí)，精度最高，可達(dá)到0.16ns的精度，這時(shí)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)分劃長(zhǎng)度則是數(shù)據(jù)長(zhǎng)度減去階數(shù)，從結(jié)果來看，采用30s間隔的數(shù)據(jù)獲取的插值結(jié)果普遍優(yōu)于5min間隔的數(shù)據(jù)。

表1 B樣條內(nèi)插與精密星歷比較(單位:ns)

30s間隔 5min間隔參數(shù)階中誤差最大值 平均值 中誤差 最大值 平均值9 0.2788 0.1027 0.2237 0.3796 0.1694 0.2565 10 0.2810 0.1038 0.2983 0.3904 0.1788 0.2874 11 0.2840 0.1571 0.5610 0.4129 0.1739 0.2938 12 0.2859 0.1638 0.7649 0.4177 0.1890 0.2986

上述的分析僅是針對(duì)PRN3衛(wèi)星的一天的結(jié)果進(jìn)行了分析，為了驗(yàn)證B樣條方法的普遍有效性，本文采用3階B樣條函數(shù)，隨機(jī)選取了2013年03月15日到2013年03月24日的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，將其內(nèi)插得到了30s、5s的鐘差數(shù)據(jù)，并與相關(guān)機(jī)構(gòu)提供的結(jié)果進(jìn)行了比較。表2給出了內(nèi)插得到的30s、5s數(shù)據(jù)的精度統(tǒng)計(jì)表。從表2可知，采用B樣條方法計(jì)算的結(jié)果精度穩(wěn)定，均為0.16ns左右，可以滿足目前定位的需要。

表2 B樣條方法內(nèi)插精度統(tǒng)計(jì)(單位:ns)

4 結(jié)束語

本文采用B樣條函數(shù)插值法內(nèi)插了CODE提供PRN3衛(wèi)星的5min，30s的精密鐘差數(shù)據(jù)，插值得到了5s間隔的鐘差數(shù)據(jù)并與其提供的結(jié)果進(jìn)行了比對(duì)和分析，得出以下結(jié)論:

(1)在階數(shù)較小時(shí)，插值誤差較大，隨著參數(shù)值的增大，插值的精度得到了提高，但是隨著階數(shù)的提高，插值的精度反而不斷降低，通常選擇3或者4階即可滿足要求。

(2)通過對(duì)隨機(jī)選擇的多天數(shù)據(jù)的比較可以看出，利用B樣條函數(shù)插值法，在選取適當(dāng)?shù)膮?shù)值時(shí)，衛(wèi)星鐘差的插值精度可以0.15ns，完全滿足精密單點(diǎn)定位、定軌坐標(biāo)計(jì)算對(duì)衛(wèi)星鐘差的精度需求，該插值方法在精密衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)插值中具有一定的應(yīng)用前景。

［1］張志涌.精通MATLABR2011a［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2011.

［2］劉大杰，陶本藻.實(shí)用測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法［M］.北京，測(cè)繪出版社，2000，39 ～48.

［3］郭建鋒，歸慶明，楊元喜.局部重力場(chǎng)的非均勻B樣條最小二乘逼近［J］，測(cè)繪學(xué)報(bào)，2000，29(3)，189 ～202.