基于信息熵的河床演變分析

徐國賓，趙麗娜

(天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072)

自克勞修斯 1854年提出熵這一概念以來，它已被廣泛應(yīng)用于社會、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等領(lǐng)域．作為一個狀態(tài)函數(shù)，熵的含義非常豐富：在熱力學(xué)中，它是不可用能量的量度；在統(tǒng)計物理學(xué)中，它是系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)目多少的量度；在信息論中，它是隨機(jī)事件不確定性的量度[1]．

根據(jù)系統(tǒng)與外界相互作用程度，可將系統(tǒng)分為孤立系統(tǒng)、封閉系統(tǒng)和開放系統(tǒng)．隨著熱力學(xué)理論的發(fā)展，熱力學(xué)分為經(jīng)典熱力學(xué)和非平衡態(tài)熱力學(xué)．經(jīng)典熱力學(xué)主要研究孤立系統(tǒng)和封閉系統(tǒng)，1865年德國物理學(xué)家克勞修斯提出最大熵原理，即在孤立系統(tǒng)中，系統(tǒng)的熵服從最大熵原理．非平衡態(tài)熱力學(xué)主要研究開放系統(tǒng)，對于河流系統(tǒng)這樣的開放系統(tǒng)，系統(tǒng)應(yīng)該服從最小熵產(chǎn)生原理．早期，經(jīng)典熱力學(xué)中孤立系統(tǒng)的熵在河流動力學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，Leopold等[2]根據(jù)孤立系統(tǒng)的熵，提出河流能量沿程均勻分布的最大統(tǒng)計熵理論；Yang[3]將河流系統(tǒng)與熱力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行對比，推導(dǎo)出最小能耗率理論；黃萬里[4]根據(jù)熱力學(xué)第二定律，提出最大能量耗散率理論；陳緒堅等[5]從能量和或然率的角度研究河流能量耗散和分配的規(guī)律，提出河流熵理論．徐國賓等[6]指出，上述學(xué)者采用最大熵原理在此領(lǐng)域中應(yīng)用存在的具體問題，但是他們做出的貢獻(xiàn)仍然不可磨滅．徐國賓等[7-8]在前人研究的基礎(chǔ)上，基于非平衡態(tài)熱力學(xué)的基本理論，推導(dǎo)出最小熵產(chǎn)生等價于最小能耗率．迄今為止，基于熵理論的河床演變研究多限于對現(xiàn)象的定性描述，較少提出定量的計算．本文對影響河床演變的各個因素進(jìn)行分析，得出各個因素的客觀權(quán)重，定量計算河段年份信息熵，并結(jié)合實際情況對計算結(jié)果進(jìn)行驗證．

1 信息熵的基本概念

熵是熱力學(xué)中的一個基本概念[9]，用來表示系統(tǒng)的一個狀態(tài)函數(shù)，一般用符號S表示．1948年，Shannon首次將熵的概念引入信息論，稱其為信息熵，用以表示系統(tǒng)的不確定性、穩(wěn)定程度和信息量．信息是系統(tǒng)有序程度的一個度量，信息熵是系統(tǒng)無序程度的一個度量，二者絕對值相等，符號相反．對于一個不確定性系統(tǒng)，若用隨機(jī)變量X表示其狀態(tài)特征，對于離散型隨機(jī)變量，設(shè)x的取值為，每一取值對應(yīng)的概率，且有

本文將信息熵分為兩類：一類是指標(biāo)信息熵，另一類是年份信息熵．指標(biāo)信息熵是指同一個影響因素在若干年內(nèi)對系統(tǒng)的效用值，效用值越高，其重要性越大；年份信息熵是表示系統(tǒng)在一年中所有影響因素產(chǎn)生的子熵加權(quán)和．

2 用熵值法確定影響因素的權(quán)重

影響沖積河流河床演變的外界因素主要有來水來沙條件和河床邊界條件[10-11]．本文主要研究來水來沙條件(包括流量、含沙量、沉速)和河床邊界條件，如比降、糙率、寬深比等影響因素對系統(tǒng)引起的子熵及其權(quán)重．

由于各個影響因素對河床演變的影響程度有一定差別，因此有必要對各個影響因素對河床演變的權(quán)重做定量計算．在信息論中，信息熵反映了信息無序化程度，信息熵越小，系統(tǒng)無序度越小，信息的效用值越大；信息熵越大，系統(tǒng)的無序度越高，其信息的效用值越?。畬τ趎年m個影響因素的初始矩陣，可以利用熵值法計算各影響因素的權(quán)重[12-13]．其計算步驟如下所述．

(1) 構(gòu)建n年m個影響因素的初始矩陣Xi×j=

(2) 影響因素的歸一化處理．

由于各個因素所表征對象的量綱和數(shù)量級大小都不相同，因此為了排除由于量綱及數(shù)量級大小不同造成的影響，需要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理．將河段的影響因素進(jìn)行歸一化，歸一化計算式為

式中：xi?j為經(jīng)過歸一化后的值；xij為第i年第j個影響因子的實測值；xj,max和xj,min分別為第j個影響因子所有年中的最大值和最小值．

(3) 計算指標(biāo)信息熵S．j

式中：Sj為第j個影響因素的信息熵；xj為第j個影響因素所有年之和．

(4) 計算影響因素的熵權(quán)重jλ．

式中jλ為第j個影響因素引起的子熵權(quán)重．

3 年份信息熵計算

由于各個影響因素對河床演變的影響程度有一定差別，因此河流系統(tǒng)的年份信息熵是系統(tǒng)在一年中所有影響因素產(chǎn)生的子熵的加權(quán)和，其計算式為

式中：S為河流系統(tǒng)的年份信息熵；Sij為第i年第 j個影響因素引起的河流年份信息子熵；xi為第i年所有影響因素之和．

4 應(yīng)用實例

根據(jù)黃河下游花園口、夾河灘、高村、孫口、艾山、濼口和利津7個水文站的1972年、1973年、1975年、1976年、1978—1980年、1982年、1985年、1987年、1988年、1991—1996年和 1998—2000年水文年鑒及黃河水利委員會實測資料[14]，選取流量、含沙量、沉速、比降、糙率和寬深比 6個影響因素表示河流的狀態(tài)特征，如表 1～表 6所示，用來計算各個影響因素對河床演變影響的權(quán)重和各個河段的年份信息熵．

表1 花—夾河段影響因素的實測值Tab.1 Values of influencing factors of Hua—Jia reach

表2 夾—高河段影響因素的實測值Tab.2 Values of influencing factors of Jia—Gao reach

表3 高—孫河段影響因素的實測值Tab.3 Values of influencing factors of Gao—Sun reach

表4 孫—艾河段影響因素的實測值Tab.4 Values of influencing factors of Sun—Ai reach

表5 艾—濼河段影響因素的實測值Tab.5 Values of influencing factors of Ai—Luo reach

表6 濼—利河段影響因素的實測值Tab.6 Values of influencing factors of Luo—Li reach

用熵值法計算各個影響因素對河床演變影響的權(quán)重，根據(jù)式(1)和式(2)計算得出流量、含沙量、沉速、比降、糙率和寬深比各影響因素的指標(biāo)信息熵，指標(biāo)信息熵的大小代表了 1個影響因素在若干年內(nèi)對系統(tǒng)的效用值，指標(biāo)信息熵越小，影響因素效用值越高，則其重要性越大；反之，指標(biāo)信息熵越大，影響因素效用值越低，則其重要性越?。鶕?jù)式(3)計算得出流量、含沙量、沉速、比降、糙率和寬深比的權(quán)重jλ=(0.135，0.104，0.188，0.184，0.060，0.329)．根據(jù)式(4)和式(5)計算河流系統(tǒng)的年份信息熵，即影響因素引起的河流年份信息子熵加權(quán)和，6個河段 20年的河流年份信息熵如圖1所示．

由權(quán)重jλ的值可以看出，反映組成河岸與河床物質(zhì)的相對可動性的寬深比對河床演變的權(quán)重最大，代表河床邊界條件的比降、糙率和寬深比的權(quán)重總和為 0.573，代表來水來沙條件的流量、含沙量和沉速的權(quán)重總和為 0.427，因此可以認(rèn)為河床邊界條件對河床演變的影響大于來水來沙條件．

20世紀(jì) 70年代眾多學(xué)者重點研究了不同地區(qū)來水來沙對黃河下游河道沖淤的影響，取得了突破性進(jìn)展，明確了粗泥沙來源區(qū)的泥沙對黃河下游河道的危害最為嚴(yán)重，對黃河治理起到了重大指導(dǎo)作用[15].本文通過定量計算河床邊界條件和來水來沙對河床演變的影響程度，得出了河床邊界的控導(dǎo)工程對黃河河道治理更加重要的結(jié)論．

圖1 6個河段20年信息熵變化Fig.1 Information entropy of 6 reaches in the range of 20 years

由圖1可以看出，6個河段的年份信息熵的大小依次是花—夾河段、夾—高河段、高—孫河段、孫—艾河段、艾—濼河段和濼—利河段．信息熵是系統(tǒng)無序程度的一個度量，因此可以得出6個河段的無序程度大小依次是花—夾河段、夾—高河段、高—孫河段、孫—艾河段、艾—濼河段和濼—利河段，該計算結(jié)果與實際情況相符，花—夾河段和夾—高河段是典型的游蕩河段，其特點是散亂；艾—濼河段和濼—利河段是典型的彎曲河段，其特點是有序穩(wěn)定；高—孫河段和孫—艾河段是介于游蕩河段與彎曲河段之間的過渡河段，其特點也是介于兩者之間．

20世紀(jì)70年代以來，由于河道整治工程的建設(shè)，使陶城鋪以下河段(艾—濼河段和濼—利河段)已經(jīng)形成控制較好的彎曲型河道，高村至陶城鋪過渡型河段(高—孫河段和孫—艾河段)的河勢也基本得到控制，高村以上游蕩型河段(花—夾河段和夾—高河段)布設(shè)了一部分控導(dǎo)護(hù)灘工程[16]．總體看來，河防工程的建設(shè)使河段的信息熵不會再有增大趨勢．另外，通過修建一些控導(dǎo)護(hù)灘工程，游蕩型河段的寬、淺、亂狀態(tài)有所改善，主流趨于單一，擺動范圍減小，致使花—夾河段和夾—高河段的信息熵具有減少趨勢．

5 結(jié) 論

(1) 采用熵值法確定了不同影響因素對河床演變的影響權(quán)重，由權(quán)重值的大小可以看出能夠反映組成河岸與河床物質(zhì)的相對可動性的寬深比對河床演變的權(quán)重最大，河床邊界條件對河床演變的影響大于來水來沙條件．

(2) 計算了6個河段各 20年的年份信息熵，通過對比得出 6個河段的年份信息熵的大小，依次是花—夾河段、夾—高河段、高—孫河段、孫—艾河段、艾—濼河段和濼—利河段，定量驗證了信息熵越大系統(tǒng)越混亂、信息熵越小系統(tǒng)越有序的結(jié)論．

(3) 花—夾河段和夾—高河段游蕩型河段的信息熵具有減少趨勢，說明該游蕩河段的游蕩程度有所下降．

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