隨機(jī)間歇測量多變量連續(xù)系統(tǒng)的均方可檢測

沈志萍，鄔依林，蘇為洲

1)華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院，廣州510640;2)新鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南新鄉(xiāng)453000;3)廣東第二師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣州510310

可檢測性是線性控制理論的基本概念，與可鎮(zhèn)定性對偶.近些年，許多學(xué)者將線性系統(tǒng)理論的基本概念，例如，能控性、能觀性、可檢測性和可鎮(zhèn)定性等，擴(kuò)展到隨機(jī)系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)許多與確定性系統(tǒng)理論不同的新現(xiàn)象.這些現(xiàn)象揭示隨機(jī)性系統(tǒng)和確定性系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別［1-6］.Zhang 等［1-3，6］研究連續(xù)時(shí)間隨機(jī)系統(tǒng)的可檢測性、隨機(jī)H2H∞控制、可鎮(zhèn)定性和隨機(jī)能觀性等;Dragan等［4-5］研究隨機(jī)控制的有理矩陣方程、隨機(jī)小增益定理，從而將確定性系統(tǒng)相應(yīng)理論推廣至隨機(jī)性系統(tǒng)理論中.

具有乘性噪聲的隨機(jī)不確定性系統(tǒng)的控制問題在航天、機(jī)械、化學(xué)化工、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用［7］;其研究也成為熱點(diǎn)，Kleinman［8］和McLane［9］分別在概率1意義下及更強(qiáng)的漸近均方意義下穩(wěn)定，給出具有狀態(tài)乘性噪聲的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變隨機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件;Willems等［10］用頻域法給出連續(xù)和離散時(shí)間線性時(shí)不變單輸入單輸出隨機(jī)乘性不確定系統(tǒng)均方穩(wěn)定的充分必要條件;Hinrichsen等［11］討論具有所謂“塊對角”擾動(dòng)的連續(xù)和離散時(shí)間隨機(jī)不確定系統(tǒng)的魯棒均方穩(wěn)定和鎮(zhèn)定問題.Stephen等［12］利用線性矩陣不等式的可行性來刻畫隨機(jī)不確定系統(tǒng)的魯棒均方鎮(zhèn)定，通過求解一個(gè)廣義特征值問題獲得系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕量.Yaz等［13］討論具有隨機(jī)參數(shù)的連續(xù)和離散時(shí)間不確定系統(tǒng)的均方鎮(zhèn)定問題，給出各種均方可鎮(zhèn)定條件.

最近蓬勃發(fā)展的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中，乘性噪聲模型為描述信道特征，例如丟包［14-15］、量化誤差［16-17］、衰退［18］、具有信噪比和帶寬受限的約束［19］等方面提供了一種有效途徑.Elia［20］等基于無誤差數(shù)字信道，認(rèn)為鎮(zhèn)定網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定系統(tǒng)所需比特率的緊下界，可用系統(tǒng)的不穩(wěn)定度來表示;You等［21］基于有損信道，給出鎮(zhèn)定網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定系統(tǒng)的最小比特率與系統(tǒng)拓?fù)潇氐年P(guān)系;Elia等［16-17］給出單輸入線性時(shí)不變系統(tǒng)二次鎮(zhèn)定的最優(yōu)量化密度和穩(wěn)定度關(guān)系;Braslavsky等［19］基于信噪比約束信道，利用狀態(tài)反饋，給出鎮(zhèn)定單輸入單輸出網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的局限可用系統(tǒng)不穩(wěn)定度或拓?fù)潇乇硎?Elia［18］進(jìn)一步基于隨機(jī)衰減信道，認(rèn)為鎮(zhèn)定單輸入不穩(wěn)定系統(tǒng)的最小均方容量可用系統(tǒng)的米勒測度來表示;Gu等［22-23］考慮在平行輸入信道中具有扇形有界(衰減信道)時(shí)不變離散多輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋均方可鎮(zhèn)定問題，指出如果資源可以在平行信道中任意分配，則緊下界可用系統(tǒng)的拓?fù)潇乇硎?上述文獻(xiàn)的共同特點(diǎn)在于被控系統(tǒng)中的不穩(wěn)定度或拓?fù)潇厥且粋€(gè)基本的局限，而與網(wǎng)絡(luò)不確定模型沒有直接的關(guān)系.

受以上研究及網(wǎng)絡(luò)化多變量系統(tǒng)估計(jì)問題最新研究［24-25］啟發(fā)，本研究討論隨機(jī)間歇測量下多變量連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的均方可檢測問題，其中，將不可靠的隨機(jī)間歇測量通道建模成具有伯努利分布的平行乘性噪聲通道.當(dāng)整個(gè)隨機(jī)間歇測量通道的信噪比固定，且可以在各個(gè)隨機(jī)間歇測量通道中任意分配時(shí)，指出為達(dá)到隨機(jī)間歇測量多變量連續(xù)系統(tǒng)的均方可檢測，存在一個(gè)用系統(tǒng)不穩(wěn)定度表示的最小信噪比.

1 問題描述

考慮如下多變量線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)

其中，xt為系統(tǒng)狀態(tài);ut為控制輸入;yt為測量輸出，簡記此系統(tǒng)為 (A，C)，其不穩(wěn)定度可用矩陣A∈Rn×n的不穩(wěn)定度定義為

其中，λ1(A)，λ2(A)，…，λn(A)為A的特征值.圖1為系統(tǒng) (1)的結(jié)構(gòu)示意圖.

圖1 隨機(jī)間歇測量下多變量連續(xù)系統(tǒng)Fig.1 Multi-variable continuous systems with random intermittent measurement

假設(shè)A不穩(wěn)定，(A，C)可檢測，C=［C1'，C2'，…，C'm］'行滿秩.對于任意可檢測對 (A，C)，其 Wonham 分解［26］為

每對(Ai，Ci)是可檢測的，Wonham分解后的系統(tǒng)矩陣沒有固定形式.事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)形式(2)已展現(xiàn)出系統(tǒng)(1)中每個(gè)輸出通道的某些結(jié)構(gòu)性質(zhì).

本研究用到的另一個(gè)線性坐標(biāo)變換為

其中，T2為可逆的相似變換矩陣;As穩(wěn)定;Au的所有極點(diǎn)不穩(wěn)定;(Au，Cu)可檢測.

針對隨機(jī)間歇測量通道下的系統(tǒng) (1)，由于在t時(shí)刻估計(jì)器可以利用實(shí)際的測量信號γtyt和γt信息，故構(gòu)造估計(jì)器

由式(1)和式(4)，可得隨機(jī)間歇測量下誤差方程

在給出結(jié)論之前，先介紹如下定義和引理.

定義1［27］對于隨機(jī)間歇測量通道下的系統(tǒng)(1)，(A，C)稱為均方可檢測的，若

其中，隨機(jī)間歇測量下系統(tǒng) (1)下的測量為yt=γtCxt.

定義2［27］若存在L∈Rn×m使得隨機(jī)間歇測量下誤差方程(5)均方穩(wěn)定，則稱基于隨機(jī)間歇測量通道γt的多變量系統(tǒng) (A，C)是均方可檢測的.

隨機(jī)系統(tǒng)˙xt=h(xt，ξt)，h(0，·)=0

其中，ξt為隨機(jī)過程;h(·，·)=0為線性或非線性映射.該隨機(jī)系統(tǒng)均方穩(wěn)定的充分必要條件，為對任意給定的初始狀態(tài)x0及t≥0，狀態(tài)的二階距Mt=E［xtx't］適定，且

引理1［28］以下各陳述是正確的

①矩陣Y=M×N可寫成向量形式

vec(Y)=(N'? M)vec(X).

②若A和B均為方陣，則tr(AB)=tr(BA).

問題:當(dāng)測量信號為隨機(jī)間歇測量，且系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間，有必要建立與文獻(xiàn)［25］平行且對偶的結(jié)果，即隨機(jī)間歇測量下多變量連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的均方可檢測問題.

2 基于隨機(jī)間歇測量的系統(tǒng)均方可檢測性

研究線性系統(tǒng)測量信號具有隨機(jī)間歇情況下的系統(tǒng)均方可檢測性，對系統(tǒng)測量通道作如下假設(shè).

假設(shè)1 在m個(gè)平行測量通道中，測量噪聲γt為隨機(jī)間歇乘性噪聲，該噪聲是具有伯努利分布的白噪聲過程，γt結(jié)構(gòu)為

其均值和方差分別為

記第i個(gè)隨機(jī)間歇測量通道的信噪比 (signalto-noise，SNR)為gi= γ2i/σ2i，整個(gè)隨機(jī)測量通道信噪比

假設(shè)2 通道信噪比{g1，g2，…，gm}可任意調(diào)整.

由于第i個(gè)通道的信噪比gi與其通道性質(zhì)及所分配的資源相關(guān)，我們關(guān)心的是如何調(diào)整各個(gè)測量通道的信噪比，以保證系統(tǒng)是均方可檢測的.

因推導(dǎo)需要，以下給出誤差方程 (5)的兩種不同表示形式.

在假設(shè)1前提下，誤差方程 (5)可轉(zhuǎn)換成伊藤隨機(jī)微分方程形式［29］

其中，ωi(t)為標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)量維納過程，i=1，2，…，m;Cγ= ［γ1C'1，γ2C'2，…，γmC'm］'.

另外，誤差方程 (5)的均方穩(wěn)定可等價(jià)于如下系統(tǒng)的輸出反饋均方可鎮(zhèn)定

該系統(tǒng)等價(jià)于圖2所描述的系統(tǒng).

圖2 誤差方程的等價(jià)系統(tǒng)描述Fig.2 Equivalent description of the error

圖2中，Δ(t)=diag{Δ1(t)，Δ2(t)，…，Δm(t)}，Δi(t)≡ (γi(t)- γi)/σi，Π =diag{γ1，γ2， …， γm}， Φ = diag{σ1/γ1， σ2/γ2， …，σm/γm}.從圖2可看出，若不考慮不穩(wěn)定塊Δ(t)，wt到zt的傳遞函數(shù)為

給出本研究定理之前，先證明引理2.

引理2 在假設(shè)1和假設(shè)2的前提下，下面各條件等價(jià)

1)基于式(6)中γt的隨機(jī)間歇測量通道下系統(tǒng) (A，C)是均方可檢測的.

2)存在對角加權(quán)矩陣Θ∈Rm×m，使得

其中，T(s)的均方范數(shù)定義為

3)存在一個(gè)輸出反饋增益矩陣L=［L1，L2，…，Lm］使得ψ是Hurwitz矩陣，即maxiRe{λi(ψ)}＜0，其中，

4)存在正定矩陣P＞0和反饋增益矩陣L=［L1，L2，…，Lm］使得

5)存在正定矩陣P＞0，則

此時(shí)，可取輸出反饋增益為L=LM=J-1cCγP.

6)基于式(6)中γt的隨機(jī)間歇測量通道下系統(tǒng)(Au，Cu)是均方可檢測的，Au和Cu定義見式(3).

【證】1)?2)可由文獻(xiàn)［18］中定理6.4相應(yīng)的連續(xù)時(shí)間結(jié)論得到.

1)?3)由定義2及式(7)伊藤公式可得

4)?1)引入線性李亞普諾夫函數(shù)，V(Mt)≡tr{MtP}，則

鑒于式(10)和文獻(xiàn)［31］中不等式(2.1b)關(guān)于跡的性質(zhì)，有(Mt)＜0，從而

3)?4)maxiRe{λi(ψ)} ＜ 0，等價(jià)于 maxiRe{λi(ψT)}＜0，初始條件Ω0＞0，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定，

且當(dāng)t→∞，vec(Ωt)指數(shù)趨于零.此時(shí)，對任意的適定且存在極限值P＞0.對下式兩邊取極限t→+∞，可得P滿足式(10).

其他證明類似文獻(xiàn)［23］中引理2.證畢.

基于引理2，下面定理給出隨機(jī)間歇測量下，系統(tǒng)(1)均方可檢測時(shí)，整個(gè)隨機(jī)間歇測量通道信噪比和系統(tǒng)矩陣不穩(wěn)定度所需滿足的關(guān)系.

定理1 在假設(shè)1和假設(shè)2的前提下，存在一個(gè)測量資源分配{g1，g2，…，gm}，使得基于式(6)中γt的隨機(jī)間歇測量通道下，系統(tǒng)(1)均方可檢測的充分必要條件是

【證】 鑒于引理2中條件①和⑥等價(jià)，不失一般性，假設(shè)A的所有特征值均位于復(fù)數(shù)域中右半平面.

必要性證明.式(11)等價(jià)于

對式(13)兩邊同時(shí)取跡，有

因此，可得g＞2 DⅠ(A).

采用構(gòu)造性思想證明其充分性.

與文獻(xiàn)［22］類似，根據(jù)式(2)，用相同的T1，可得(A，Cγ)的Wonham分解

可得

結(jié) 語

本研究探討具有伯努利分布的白噪聲過程的平行隨機(jī)間歇測量通道多變量連續(xù)系統(tǒng)的均方可檢測問題.當(dāng)整個(gè)平行隨機(jī)間歇測量通道信噪比可以在各個(gè)平行隨機(jī)間歇測量通道中任意分配時(shí)，給出隨機(jī)間歇測量多變量系統(tǒng)均方可檢測的充要條件，該條件可用系統(tǒng)不穩(wěn)定度來表示.

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