一道最值問題引起的思考

楊鳳蓮

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到這樣一類題型，求一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)距離之差的最大值，和求一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)距離之和的最小值。筆者認(rèn)為，要做好這道題需對這道題的意思進(jìn)行深刻地體會(huì)之后再解答便易如反掌了。

例：在直線l：3x-y-1=0上求一點(diǎn)P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差最大。

（2）P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小。

通過數(shù)軸上求距離的知識(shí)可知，P點(diǎn)在A、B點(diǎn)同側(cè)，且P、A、B三點(diǎn)一定要在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)P到兩點(diǎn)的距離之差有最大值。

同樣的道理，當(dāng)點(diǎn)P位于A、B兩點(diǎn)之間，且P、A、B三點(diǎn)也要在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和有最小值。

搞清楚了這兩個(gè)問題，在看題目中的條件（1）求點(diǎn)P，使得P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差最大。通過畫圖不難發(fā)現(xiàn)A、B兩點(diǎn)位于直線L的兩側(cè)，但是點(diǎn)P必須要位于兩點(diǎn)的同側(cè)才有距離之差的最大值，而我們知道直線的位置是固定不變的，所以，這時(shí)候要考慮做兩點(diǎn)中任意一點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，比如作A點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A1，連接BA1并延長與直線L相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是我們所求的P點(diǎn)，因?yàn)樗葷M足了與A、B兩點(diǎn)在同一側(cè)，又滿足了與A、B在同一條直線上兩個(gè)條件，所以，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可。

再看題目中的條件（2），求點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和的最小值，同樣由上述分析可知，所求P點(diǎn)要位于A、B兩點(diǎn)之間，且P、A、B三點(diǎn)須在同一條直線上，但通過畫圖可知直線L上的所有點(diǎn)都不在A、B之間，怎么辦呢？還是老辦法，做兩點(diǎn)中任一點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，通過計(jì)算可求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。下面我們完整地解出該題。

解答：（1）如圖1，在平邊直角坐標(biāo)系中求出B點(diǎn)關(guān)于直線L

的對稱點(diǎn)B1（3，3）還可求出直線AB1的方程為：2x+y-9=0，與直線3x-y-1=0聯(lián)立可求得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5），所以P（2，5）就是所求的點(diǎn)。

■

（2）如圖2在平面直角坐標(biāo)系中求出A點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A1（-2，3），還可求出直線的方程為：x-5y+17=0，與直線L聯(lián)立，可求得交點(diǎn)坐標(biāo)P（11/7，26/7）。

■

（作者單位 青海省大通縣第七中學(xué)）