波浪漫灘邊界對波浪數值計算的影響＊

楊家軒，朱首賢，李訓強，張文靜

（1.解放軍理工大學 氣象學院，江蘇 南京211101；2.河海大學 港口海岸與近海工程學院，江蘇 南京210098）

在海灘上，波浪向岸傳播時，水陸分界線隨波峰向岸推進、隨波谷向?；赝?，在一個波動周期中灘地出現被海水淹沒和露出水面的過程，這就是波浪漫灘或者稱為波浪爬高、波浪上爬，英文稱為“swash”［1-3］。波浪漫灘的時間尺度一般為幾秒至幾十秒，漫灘范圍為幾米至幾十米，它是一種小尺度運動。波浪漫灘對海岸工程和軍事活動都有影響，尤其是波浪漫灘區(qū)泥沙運動活躍，它是近岸泥沙侵蝕、搬運和地貌演變的重要機制［2-3］。目前對波浪漫灘區(qū)水動力及泥沙運動有很多研究［1-3］，而波浪漫灘對鄰近區(qū)域水動力和泥沙運動的影響研究不多。波浪漫灘數值計算對波浪數值模式采用的運動方程和數值方法有特殊要求，技術難度大。因此，在波浪數值計算中，大多數忽略了波浪漫灘現象。本文采用能夠模擬波浪漫灘過程的Bousinessq方程波浪模式，通過數值模擬試驗，分析波浪漫灘對波浪數值計算的影響。

1 模式介紹

本文采用的Bousinessq方程波浪模式是美國Delaware大學研制的Funwave模式［4］。Funwave模式采用完全非線性Bousinessq方程［5］：

式中，η是波面水位；h是靜止水深；u，v分別是z=zα=-0.531 h深度水平速度在x，y方向的分量；下標t是對時間的偏導。γ從1到0代表了完全非線性和弱非線性的情況。U，V，E，E2，F，F1，F2，G，G1，G2，Ft，Gt是η，u，v，ut，vt的函數，定義為

目前，對于岸線移動邊界的處理方法主要有干濕網格［6-8］和窄縫法［9-10］，Funwave模式采用后者。窄縫法把整個計算區(qū)域作為具有窄縫或可滲透邊界、可流入流出的活動型區(qū)域，將沒有水或只有薄層水覆蓋的固體底邊界替換成可滲透的海床，或把固體海底假設具有窄縫，使得溢出的水位不會超過海灘高程［11］。方程（6）的κ、Λ 描述窄逢法的波浪漫灘對波浪運動的影響：

式中，κ是單位寬度海灘上的窄縫寬；δ是最小縫寬；λ是窄縫的形狀參數，使窄縫寬從1到δ光滑變化；h0是窄縫起始的水深值。Λ 是考慮窄縫影響后的等效水深，也被稱為化引水深［12］。z＊如果取為當地陸地高程，Madsen等［10］對Carrier和Greenspan［13］的理論模型進行數值模擬，發(fā)現數值模擬的最大波浪爬高與理論解存在10%的誤差。Kennedy等［14］認為這是因為波浪上爬時首先要填滿窄縫，從而引起水體質量損失。波浪經過窄縫時，為了保持總的水體質量和沒有窄縫時的水體質量相等，Funwave模式的z＊表達式為

式中，zS定義為陸地高程。

在波浪數值計算中波浪漫灘邊界也經常被簡單處理為固壁邊界。Funwave模式提供了固壁邊界數值方法，其邊界條件為在固壁處法向流速為0。

2 波浪漫灘對波浪數值計算影響的波浪水槽實驗模擬檢驗

Mase和Kirby設計了一個隨機波在傾斜地形上傳播的波浪水槽實驗。圖1是波浪水槽實驗的地形設置，左邊水深為47cm，右邊是坡度為1∶20的斜坡，從造波區(qū)到斜坡底部的距離為10m。設置了12個測點，這些測點的水深分別為47，35，30，25，20，17.5，15，12.5，10，7.5，5，2.5cm，后11個測點位于斜坡上。

圖1 波浪水槽實驗示意圖Fig.1 A sketch map showing wave flume experiment

本文采用Funwave模式對Mase和Kirby的波浪水槽實驗進行數值模擬。數值模式的網格距離為0.025m，地形配置與波浪水槽實驗完全相同，波浪水槽的造波區(qū)設置為數值模式的波浪入射邊界，由造波數據提供入射邊界水位，在斜坡上設置了漫灘邊界。由靜止狀態(tài)開始計算波浪運動，模式運行20s后，波面呈現很有規(guī)律的變化，波高基本穩(wěn)定，將數值模式運行20～40s的波面水位模擬數據與觀測數據比較。圖2給出了斜坡上11個測點的波面水位模擬數據與觀測數據的比較情況。從圖2可以看出，數值模擬結果與觀測數據基本吻合。

圖2 漫灘邊界條件的波浪模擬結果與水槽實驗結果比較Fig.2 Comparison between the results simulated using the swashing boundary condition（dashed line）and the results from the flume experiments（solid line）

本文還將數值模式的漫灘邊界條件改為固壁邊界條件，對Mase和Kirby的波浪水槽實驗進行數值模擬。固壁邊界設置在0.01m 水深位置。水深比較大的測點，固壁邊界條件的波面水位模擬數據與觀測數據的比較情況與圖3類似，模擬結果與觀測數據基本吻合。但是水深很小的測點，固壁邊界條件的波面水位模擬數據與觀測數據的比較情況與圖2有明顯區(qū)別，圖3給出了水深為7.5，5，2.5cm 的3個測點的模擬數據與觀測數據。圖2中，水深為7.5，5，2.5cm 的3個測點，波面水位模擬數據與觀測數據的平均絕對誤差分別為0.009 4，0.008 3，0.007 3cm，平均絕對誤差與平均觀測波高之比分別為0.188 5，0.204 1，0.257 7。圖3中，水深為7.5，5，2.5cm 的3個測點，波面水位模擬數據與觀測數據的平均絕對誤差分別為0.010 5，0.009 5，0.008 1cm，平均絕對誤差與平均觀測波高之比分別為0.211 1，0.234 4，0.283 3。圖2中2.5cm水深測點，觀測數據的波數為21個，模擬數據的個別波峰波谷差異不明顯，波峰波谷差異明顯的波數為20個，兩者波數基本相符。圖3中2.5cm 水深測點，模擬數據比觀測數據多出一些小波，模擬數據的波數為30個，可能是固壁邊界條件的反射波導致波數增加。

圖3 固壁邊界條件的波浪模擬結果與水槽實驗比較Fig.3 Comparison between the results simulated using the wall boundary condition（dashed line）and the results from the flume experiments（solid line）

波浪漫灘和固壁邊界條件模擬的水質點運動也有明顯差異。在波浪漫灘邊界條件的模擬結果中取水槽中軸線的部分時測水質點速度，繪制矢量圖（圖4）。

從圖4a可以看出，在0m 水深附近存在明顯的波浪漫灘現象，斜坡上存在交替被水體淹沒和露出水面的波浪漫灘區(qū)，波浪漫灘區(qū)的寬度達0.375m。同樣，在固壁邊界條件的模擬結果中取水槽中軸線的部分時測水質點速度，繪制矢量圖（圖4b）。圖4b不存在波浪漫灘現象。進一步比較圖4a和圖4b，兩者不僅存在波浪漫灘的差異，在波浪漫灘的鄰近區(qū)域水質點速度也有差異。在漫灘邊界條件下，水質點運動很有規(guī)律，水位上漲時，水流基本上都向岸，被水體淹沒的斜坡范圍增大；水位下降時，水流基本上背離岸，露出水面的斜坡范圍增大。在固壁邊界條件下，水流方向比較雜亂。

綜合上面的分析，波浪漫灘和固壁邊界條件的波浪數值模擬結果有明顯差異，其差異不僅體現在波浪漫灘區(qū)，還體現在波浪漫灘的鄰近區(qū)域。兩者與觀測資料比較，波浪漫灘邊界條件的波浪數值模擬結果更接近于觀測資料。

圖4 不同邊界條件的水質點速度模擬結果Fig.4 The water particle velocities simulated under different conditions

3 不同地形坡度的波浪漫灘對波浪數值模擬的影響

一般而言，地形坡度對近岸波浪有很大影響，不同地形坡度的波浪漫灘也有差異。對于不同的地形坡度，波浪漫灘對波浪數值模擬的影響有何差異？這是實際波浪計算中需要考慮的問題。

上面波浪數值模擬的地形坡度為1∶20，本文將斜坡的地形坡度進一步取為1∶1，1∶5，1∶10，1∶30，1∶50，分別采用波浪漫灘和固壁邊界條件進行波浪數值模擬試驗。由于斜坡的地形坡度不同，水深分布有很大差異，為了討論方便，各個試驗的固壁邊界統(tǒng)一設置在水深為0.01m 的位置。

在不同地形坡度的情況下，采用波浪漫灘邊界條件模擬的波浪漫灘區(qū)寬度有很大差異。地形坡度為1∶1時，波浪漫灘區(qū)寬度不到一個網格。地形坡度為1∶5，1∶10，1∶20，1∶30，1∶50的情況下，模擬的波浪漫灘區(qū)寬度分別為0.1，0.225，0.375，0.5，0.725m。

取各個試驗水深為47，35，30，25，20，17.5，15，12.5，10，7.5，5，2.5cm 點的20～40s平均波面水位模擬數據，分析波浪漫灘和固壁邊界條件的數值模擬結果差異。在地形坡度為1∶1情況下，計算兩種邊界條件波面水位數值結果的絕對差值，其結果見圖5a，圖中網格起始位置為造波源位置，即地形斜坡起始點前2.5 m 處。圖5b～f對應的地形坡度分別為1∶5，1∶10，1∶20，1∶30，1∶50的情況下，其含義與圖5a類似。

由圖5a可以看出，當地形坡度為1∶1時，固壁和漫灘邊界條件模擬的波面水位差很小。當地形坡度達到1∶5時，圖5b中兩者模擬的波面水位差值在0.01cm 左右，有比較明顯的差異。從圖5c～f可以看出，地形坡度為1∶10，1∶20，1∶30，1∶50的數值模擬試驗，固壁和波浪漫灘邊界條件模擬的波面水位差都小于0.01cm，而且隨著地形坡度減小，兩者模擬的波面水位差也減小，當地形坡度為1∶50時，兩者模擬的波面水位差小于0.005cm。從圖5c～f還可以看出，固壁和波浪漫灘邊界條件模擬的波面水位差在邊界附近大，隨著離岸距離增大而減小。

圖5 不同地形坡度情況下固壁與漫灘邊界條件模擬的波面水位差Fig.5 The water level differences simulated using both the wall boundary and the swashing boundary conditions under the case of different terrain slopes

4 結 語

本文分別采用波浪漫灘和固壁邊界條件，對波浪水槽實驗的波浪數值模擬分析表明：波浪漫灘邊界條件不僅是波浪漫灘區(qū)水動力研究的需要，而且它對鄰近區(qū)域波浪數值計算也有明顯的影響，采用波浪漫灘邊界條件還可以提高鄰近區(qū)域波浪數值模擬精度。從本文對多種地形坡度的波浪數值模擬可以看出，波浪漫灘對鄰近區(qū)域波浪數值計算的影響在多種地形坡度下都存在。當地形坡度很大時，波浪漫灘現象不明顯，波浪漫灘對鄰近區(qū)域波浪數值計算的影響不大；當地形坡度很小時，波浪在比較長的斜坡上傳播，波動能量大幅衰減，波浪漫灘對鄰近區(qū)域波浪數值計算的影響減小。本文主要基于國外學者的波浪水槽實驗進行波浪數值模擬，所得到結論對實際海域波浪數值計算有參考價值。下一步擬針對實際海域更復雜的波浪情況進行模擬檢驗，更深入地定量分析波浪漫灘對波浪計算的影響。

：

［1］ PULEO J，BUTT T.The first international workshop on swash-zone processed［J］.Continental Shelf Research，2006，26：556-560.

［2］ VAN W E，BALDOCK T E，CHADWICK A J，et al.Longshore sediment transport in the swash zone［C］∥Proceedings of the 27th International Conference on Coastal Engineering，USA：ASCE，2000：3139-3150.

［3］ ELFRINK B，BALDOCK T E.Hydrodynamics and sediment transport in the swash zone：A review and perspectives［J］.Coastal Engineering，2002，45（3-4）：149-167.

［4］ KIRBY J T，WEN L，SHI F Y.FUNWAVE 2.0fully nonlinear Boussinesq wave model on curvilinear coordinates［M］.Delaware：Center for Applied Coastal Research Dept.of Civil &Environmental Engineering University of Delaware Press，2005.

［5］ MASE H，KIRBY J T.Hybrid frequency-domain KdV equation for random wave transformtion［C］∥Proceedings of the 23rd International Conference on Coastal Engineering.Venice：ASCE，1992，（23）：474-487.

［6］ ZHANG W J，ZHU S X，HUANG W G.Application of satellite remote sensing data to storm surge flooding calculation［J］.Journal of Pla University of Science and Technology：Natural Science Edition，2009，10（5）：97-102.張文靜，朱首賢，黃韋艮.衛(wèi)星遙感資料在湛江港風暴潮漫灘計算中的應用［J］.解放軍理工大學學報：自然科學版，2009，10（5）：97-102.

［7］ SHA R N，YIN B S，YANG D Z，et al.A numerical study on storm surge and inundation induced by hurricanes in the nearshore of Tianjin［J］.Marine Sciences，2007，31（7）：63-67.莎日娜，尹寶樹，楊德周，等.天津近岸臺風暴潮漫灘數值模式研究［J］.海洋科學，2007，31（7）：63-67.

［8］ Lü X G，QIAO F L，XIA C S，et al.Numerical simulation of tides and three-dimensional tidal currents in Jiaozhou Bay by a movable land-sea boundary model［J］.Acta Oceanologica Sinica，2008，30（4）：21-29.呂新剛，喬方利，夏長水，等.膠州灣潮汐潮流動邊界數值模擬［J］.海洋學報，2008，30（4）：21-29.

［9］ TAO J H.Numerical modelling of wave runup and breaking on the beach［J］.Acta Oceanologica Sinica，1984，6（5）：692-700.陶建華.波浪在岸灘上的爬高和破碎的數學模擬［J］.海洋學報，1984，6（5）：692-700.

［10］ MADSEN P A，S?RENSEN O R.Surf zone dynamics simulated by a Boussinesq-type model-PartⅡ.Surf beat and swash oscillations for wave groups and irregular waves［J］.Coast Engrg，1997，32（4）：289-319.

［11］ MA X Z，DONG G H，TENG B，et al.Numerical modeling of waves in surf zone［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2007，24（2）：203-208.馬小舟，董國海，滕斌，等.破碎帶波浪的數值模擬［J］.計算力學學報，2007，24（2）：203-208.

［12］ SUN Q，SUN X G，LI R J，et al.Application of the slot method in numerical modeling of suspended sediment transport in estuaries［J］.Oceanologia Et Limnologia Sinica，2001，32（3）：296-301.孫琪，孫效功，李瑞杰，等.窄縫法在河口區(qū)懸沙輸運數值計算中的應用［J］.海洋與湖沼，2001，32（3）：296-301.

［13］ CARRIER G F，GREENSPAN H P.Water waves of finite amplitude on a sloping beach［J］.Fluid Mech.，1958，（4）：97-109.

［14］ KENNEDY A B，CHEN Q，KIRBY J T，et al.Boussinesq modelling of wave transformation，breaking，and runup.I：1D［J］.Journal of Waterway，Port，Coastal，and Ocean Engineering，2000，126（1）：39-47.

［15］ WEI G，KIRBY J T，GRILL S T，et al.A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves.Part 1.Highly nonlinear unsteady waves［J］.J.Fluid Mech.，1995，294：71-92.