混凝土板帶平裂段曲母線沖切錐組合模型

任 達(dá)，周朝陽，賀學(xué)軍，王超峰

（1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410075；2.廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣州 510006）

受集中荷載作用的混凝土板常有沖切破壞之患，為合理把握其抗沖切能力，各國學(xué)者開展了大量試驗(yàn)，并且引入了很多理論方法或模型，如極限平衡法、彈性理論法、塑性理論法及有限元分析法等等［1－8］。有的模型所做假定缺乏試驗(yàn)依據(jù)，有的不能反映沖切發(fā)生時(shí)材料的真實(shí)狀態(tài)，而數(shù)值模型則無法獲得解析解。相對(duì)而言，塑性極限分析法由于物理概念明確、數(shù)學(xué)推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)、能在一定程度上反映材料的非線性特征等特點(diǎn)較多被采用。倘若材料屈服準(zhǔn)則、破壞機(jī)構(gòu)等設(shè)取得當(dāng)，塑性理論模型在符合其假定的適用范圍內(nèi)應(yīng)可得到合理解答。所設(shè)機(jī)構(gòu)按構(gòu)件破壞類型的不同大致分為錯(cuò)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩類。前者一般用于描述普通樓板因混凝土剪壓破壞引起的沖切，后者用來描述沿沖切錐面混凝土應(yīng)力為拉的基礎(chǔ)類板斜拉破壞類型。塑性理論最初被用于分析混凝土構(gòu)件的抗剪問題，Braestrup［6］將其應(yīng)用于軸對(duì)稱板的沖切分析，他按照錯(cuò)動(dòng)機(jī)構(gòu)假設(shè)，采用修正的莫爾庫侖材料破壞準(zhǔn)則，從虛功方程導(dǎo)出一個(gè)形式復(fù)雜的上限解；Jiang等［7］基于二次拋物線屈服準(zhǔn)則得到了一個(gè)形式更為簡單的解答；文獻(xiàn)［8］另按平衡條件直接推得任意拋物線屈服準(zhǔn)則上限解；分析并指出了錯(cuò)動(dòng)機(jī)構(gòu)僅適用描述沖切斜錐面剪壓區(qū)混凝土達(dá)到復(fù)合受壓極限狀態(tài)。然而，據(jù)試驗(yàn)觀測［3］，沖切破壞板沿縱筋平面的混凝土常存在水平受拉劈裂的情況，這是以往的錯(cuò)動(dòng)機(jī)構(gòu)所沒有考慮的。筆者曾將回轉(zhuǎn)破壞斜錐面母線簡化為［9］，起自柱邊止于縱筋水平劈裂面的斜直線（實(shí)際多為類拋物曲線），同時(shí)考慮沖切斜錐面混凝土受壓和縱筋平面內(nèi)混凝土受拉極限并存的臨界狀態(tài)，建立了源于縱筋面劈裂的直母線沖切破壞斜錐面帶水平劈裂段模型，它對(duì)工程中配筋率較大，厚度較薄的板具有良好適用性，但對(duì)于更一般的情形離散性仍偏大。作為新嘗試，以下基于更符合實(shí)際的曲母線破壞斜錐面假定，提出曲母線斜錐面帶水平劈裂段（或平裂段）組合錯(cuò)動(dòng)沖切模型。

1 沖切破壞的機(jī)構(gòu)特征與建模

可靠度理論將破壞機(jī)構(gòu)分為串聯(lián)和并聯(lián)兩類。沖切破壞截錐面本質(zhì)上屬并聯(lián)機(jī)構(gòu)，但帶有一定的串聯(lián)特征。沖切斜錐面上的剪壓區(qū)混凝土、骨料咬合、縱筋銷栓三者中，任何部分失效后都會(huì)瞬即卸荷給其它部分，這些部分則因不堪重負(fù)而在瞬間相繼破壞，使破壞錐從母體沖出。故構(gòu)建沖切模型應(yīng)將連鎖破壞起始時(shí)刻的狀態(tài)視為臨界狀態(tài)；塑性分析中，錯(cuò)動(dòng)機(jī)構(gòu)假定破壞斜錐面分割的兩個(gè)剛性體部分沿豎向平移錯(cuò)動(dòng)。其破壞面上的正應(yīng)力恒不為拉［8］，描述的是混凝土剪壓（非剪拉）破壞引起的沖切，本質(zhì)是剪壓區(qū)的混凝土達(dá)到復(fù)合受力極限狀態(tài)，這等于認(rèn)為：試件的破壞源于剪壓區(qū)未裂混凝土部分的失效。然而，由試驗(yàn)現(xiàn)象來看，從距柱周約2h0（h0為有效板厚）的沖切破壞錐擴(kuò)底起，向外沿縱于外部剛域產(chǎn)生豎向位移；3）材料屈服準(zhǔn)則：巖土力學(xué)中對(duì)混凝土一般采用莫爾庫侖準(zhǔn)則，它是由關(guān)于σ軸對(duì)稱的兩條直線構(gòu)成，即τ＝c－σtanφ，其中φ為內(nèi)摩角，c與φ相關(guān)，表示粘聚力，二者均為常數(shù)。由于臨近破壞時(shí)（即臨界狀態(tài)）破壞界面上的應(yīng)力分布較復(fù)雜，各點(diǎn)應(yīng)力并非處處屈服，最可能情形是，有的點(diǎn)尚未屈服，有的恰好達(dá)到極限狀態(tài)，還有的則已進(jìn)入軟化階段，為更好的反映沖切面上的實(shí)際應(yīng)力分布，從莫爾－庫侖準(zhǔn)則出發(fā)，不妨假定屈服包絡(luò)線可用如下單根曲線（圖2）表示。筋平面常存在水平劈裂段ae（圖1），文獻(xiàn)［3］對(duì)此做了細(xì)致的報(bào)道。由此推斷，上部縱筋平面某環(huán)向區(qū)域內(nèi)，混凝土因達(dá)到極限抗拉強(qiáng)度而被水平劈裂，可能致使縱筋銷栓失效而引起連鎖破壞，破壞源并不一定是剪壓區(qū)混凝土的開裂軟化，建模必須同時(shí)考慮縱筋平面內(nèi)，混凝土即將開裂而未裂時(shí)的受拉極限狀態(tài)。鑒于實(shí)際破壞斜錐面母線通常不是直線，現(xiàn)提出曲母線帶平裂段組合模型，假定如下：1）破壞面幾何構(gòu)成：沖切破壞面是由與柱邊相連的曲母線帶水平段（即圖1中oa帶ae段）以柱邊為流動(dòng)準(zhǔn)線（圖1點(diǎn)o的軌跡）回轉(zhuǎn)而成的周界面；2）運(yùn)動(dòng)特征：以此破壞面為界，將板分成沖切破壞錐和外部剛域兩部分，錯(cuò)動(dòng)發(fā)生時(shí)，破壞錐沿與板面垂直方向相對(duì)

圖1 帶水平劈裂段組合錯(cuò)動(dòng)模型

圖2 屈服包絡(luò)線

式中：φ為變量；c隨φ變化，稱似粘聚力［8］。

2 沖切抗力上限解

圖3（a）破壞面oa段上的應(yīng)力狀態(tài)隨各處對(duì)豎軸的夾角而改變，由式（1），其應(yīng)力可以等效成圖3（b）中相應(yīng)段的切向剪應(yīng)力和徑向應(yīng)力，根據(jù)構(gòu)件在豎向內(nèi)外力相互平衡這一條件，可建立平衡方程得極限破壞荷載如下：

式中：u0為柱周長，ft′為混凝土塑性抗拉強(qiáng)度（＝ftνt，νt抗拉強(qiáng)度折減系數(shù)），b為水平劈裂段寬度，x1為構(gòu)件有效厚度，y1＝y(tǒng)（x1），為沖切錐面與縱筋面相交處（即點(diǎn)a）到柱邊的距離。從與屈服條件相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則可知，圖3中σ、τ及似粘聚力c應(yīng)按照角度φ和圖2中屈服包絡(luò)線上各點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即

由式（1）知c＝c（y′）＝τ（y′）＋σ（y′）y′，于是沖切抗力成為一個(gè)關(guān)于沖切破壞錐母線的帶終端函數(shù)的泛函。因?qū)嶋H破壞錐面一端通過柱周邊，相當(dāng)于圖中破壞錐母線左端固定于坐標(biāo)原點(diǎn)，即有本質(zhì)邊界條件

同時(shí)，u0、ft′、b均為常量，原泛函最小上限解的確定實(shí)際可轉(zhuǎn)化為求解如下新目標(biāo)泛函極值問題

式中，F(xiàn)（y，y′）＝（u0＋2πy）（τ＋σy′）＋2πbft′y′。

對(duì)p′求一階變分并注意到δx1＝0（∵右端點(diǎn)（x1，y1）僅僅在直線x＝x1上可動(dòng)），可得到如下自然邊界條件：

由不顯含x的歐拉方程F－y′Fy′＝A（常數(shù)），得如下極值條件：

圖3 破壞面上的應(yīng)力等效

3 二次拋物線屈服準(zhǔn)則相關(guān)解

二次拋物線屈服準(zhǔn)則方程可以表示為

把式（10）代入式（7），并由邊界條件式（4）和式（6）求得極值錐母線方程為：

式中r0＝u0／2π，即周長為u0的柱等效半徑。當(dāng)x＝x1時(shí)，y1可由下式求得

當(dāng)y1≤ya時(shí)，由式（13），上式還可寫為

4 n（n＞1）次拋物線準(zhǔn)則統(tǒng)一解

類似地，基于任意n次拋物線準(zhǔn)則，可以推得在任意非二次拋物線屈服準(zhǔn)則

下的沖切承載力上限解為，

顯然，對(duì)照式（14）知（即n＝2情形），與n（n＞1）次拋物線屈服準(zhǔn)則相關(guān)的塑性上限解可以統(tǒng)一寫成式（18）的形式，即包含二次拋物線準(zhǔn)則在內(nèi)的沖切抗力統(tǒng)一解。關(guān)于n的取值，實(shí)際應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選取，通過次數(shù)的變化得到不同的計(jì)算模型，為有關(guān)應(yīng)用提供多種選擇。

5 沖切公式的實(shí)用簡化

考察式（15），其中包含y1、b、νt等3個(gè)待定參量，其中，y1＝y(tǒng)（x1）是有效板厚的函數(shù)，b也與有效板厚有關(guān)［10］，由此可知，p／（πr20f′t）最終可表為以（h0／r0）為“唯一”變量的函數(shù)。因此在找到更好的簡化方法之前，不妨直接以（h0／r0，p／（πr20ft））描點(diǎn)作二次擬合，考慮到縱筋平面某環(huán)域（即圖1ae段）內(nèi)的混凝土已達(dá)抗拉強(qiáng)度極限，νt反映的是單軸抗拉強(qiáng)度的折減程度，取ft′＝ft，并經(jīng)可靠度分析（過程略，方法詳文獻(xiàn)［10－11］），得到實(shí)用計(jì)算式如下

式中u0（柱周長）當(dāng)為矩形柱支承時(shí)取4 c′（c′為柱邊長）?？梢?，式（20）與現(xiàn)行規(guī)范GB沖切公式形式相似，僅公式前的系數(shù)和控制截面位置有所區(qū)別，這說明規(guī)范公式所采取的形式在理論上有其合理性。將所掌握的國內(nèi)外大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明（見表1），實(shí)用公式變異系數(shù)為0.201，其離散性較直母線錐面帶平裂段組合模型（變異系數(shù)為0.250）［9］更小，并略優(yōu)于規(guī)范公式（0.202）；其均值為0.940則明顯優(yōu)于規(guī)范（0.799）；表2列出了可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果，顯見各種情形均能滿足可靠度要求。應(yīng)予指出，上述做法是以二次拋物線準(zhǔn)則沖切模型為例的，其它任意次拋物線準(zhǔn)則亦可作類似處理。

表1 理論值與試驗(yàn)值的比較

表2 簡化式可靠指標(biāo)值

6 結(jié) 論

在直母線沖切破壞斜錐面帶水平劈裂段模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，建立了帶平裂段曲母線破壞錐組合錯(cuò)動(dòng)沖切模型。

1）回轉(zhuǎn)破壞面母線按曲線考慮，以沖切斜錐面受壓混凝土極限和縱筋面受拉混凝土同時(shí)達(dá)到臨界極限狀態(tài)，基于二次拋物線屈服準(zhǔn)則，推得沖切承載力上限解。

2）基于n次（n＞2）拋物線準(zhǔn)則，推導(dǎo)得到了包含二次拋物線準(zhǔn)則在內(nèi)的沖切抗力統(tǒng)一解，通過次數(shù)的變化可得到不同計(jì)算模型，為有關(guān)應(yīng)用提供了多種選擇。

3）以二次拋物線準(zhǔn)則沖切模型為例，通過對(duì)模型中待定參數(shù)的分析，利用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)公式作了簡化，并經(jīng)可靠度分析得到一個(gè)新的實(shí)用公式，其形式與規(guī)范公式相近，從而為規(guī)范提供了理論支持。

4）根據(jù)231個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，按本文公式與規(guī)范公式，分別計(jì)算了沖切承載力值和試驗(yàn)觀測值之比：實(shí)用公式的變異系數(shù)為0.201，離散性較直母線錐面帶平裂段組合模型（0.250）更小，并略優(yōu)于規(guī)范公式（0.202），其均值為0.940則明顯優(yōu)于規(guī)范（0.799）。

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