預(yù)應(yīng)力混凝土梁長期變形的隨機性分析

徐騰飛，向天宇，楊 成，2，趙人達

（1.西南交通大學(xué) 橋梁工程系，成都 610031；2.重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室，重慶 400045）

由于混凝土的收縮徐變效應(yīng)，預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁在運營階段出現(xiàn)梁體持續(xù)變形的現(xiàn)象。大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土梁橋運營數(shù)年后，70%以上均出現(xiàn)了不同程度的病害，其主要原因就包括混凝土收縮徐變大［1］。而在高速鐵路橋梁中，收縮徐變引起的線路不平順性，將影響列車運營的安全性與舒適性。因此正確的預(yù)測橋梁因收縮徐變引起的長期變形尤為重要。

目前采用確定性徐變計算方法，得到的跨中下?lián)现蹬c實際相差達30%以上，理論計算與橋梁實際受力狀態(tài)存在明顯差異［1］。Ba?ant等［2］指出，影響混凝土收縮徐變的因素眾多，變化規(guī)律復(fù)雜，具有時變性和隨機性。1983年 Madsen等［3］率先開展了BP模型的參數(shù)與模型隨機性研究，進而利用拉丁超立方抽樣方法研究收縮徐變效應(yīng)的均值與方差［2］。Yang［4］基于ACI209與MC90模型分析了預(yù)應(yīng)力構(gòu)件的收縮徐變的不確定性與敏感性。采用改進的拉丁超立方抽樣技術(shù)，熊學(xué)玉等［5］研究了超長預(yù)應(yīng)力混凝土框架結(jié)構(gòu)由徐變引起的時變位移和應(yīng)力的隨機性問題。

學(xué)者們提出了多種混凝土收縮徐變模型，代表性的有ACI209模型、CEB－FIP 90模型、B3模型和GL2000模型。已有研究表明，B3模型和GL2000模型對已知試驗數(shù)據(jù)描敘較好，表現(xiàn)出了相對較小的模型離散性［6］。鑒于B3模型的參數(shù)中所需要的混凝土配合比在橋梁設(shè)計時通常是未確定的，本文采用 GL2000模型［7－8］考慮混凝土的收縮徐變特性，并利用基于響應(yīng)面的蒙特卡洛抽樣技術(shù)，進行收縮徐變隨機分析。以鐵路40m簡支梁為例，研究了各個徐變參數(shù)對結(jié)構(gòu)長期變形的敏感特性，提出設(shè)計施工中控制收縮徐變效應(yīng)的建議。

1 混凝土長期應(yīng)變隨機分析

GL2000模型［6－8］定義由應(yīng)力產(chǎn)生的長期應(yīng)變?yōu)?/p>

式中：t和t0分別為計算齡期和加載齡期；Ec和Ec（t0）分別為28d和加載齡期時混凝土彈性模量；φ（t，t0）為徐變系數(shù)，表達形式為：

式中：V／S為混凝土構(gòu)件的體積表面積比；RH為環(huán)境濕度（用小數(shù)表示）。上式中右邊括弧內(nèi)前2項代表基本徐變，第3項代表干縮徐變。Φ（tc）為

式中：tc為干縮開始時間。當(dāng)只有基本徐變發(fā)生時，Φ（tc）值取1。

式（5）中，fcm為混凝土28d的抗壓強度平均值；K是跟水泥種類相關(guān)的系數(shù)。

根據(jù)Ba?ant等［2］的建議，混凝土長期應(yīng)變的隨機發(fā)展方程可以表達為：

式中J（t，t0）為徐變度，式（7）的物理意義為在t0時刻施加的單位應(yīng)力在t時刻產(chǎn)生的應(yīng)變總和，α1和α2分別為與混凝土徐變和收縮模型相關(guān)的模型不確定性變量。

隨機分析時還需考慮模型參數(shù)的隨機性。取fcm和RH為隨機變量，分別定義為α3fcm和α4RH。

以往的研究對混凝土彈性模量的隨機性考慮不足。一般而言，混凝土平均抗壓強度與彈性模量之間存在隨機相關(guān)性。GL2000模型中給出了2者的確定性關(guān)系模型，通過在該確定性模型前乘以一隨機變量的方式定義2者的隨機相關(guān)性，表達形式為：

其中，a和b為跟水泥種類有關(guān)的系數(shù)［7］。

綜合以上幾種隨機因素，假設(shè)各隨機因子之間相互獨立，混凝土長期應(yīng)變的隨機發(fā)展方程為：

同時，本文還考慮了自重荷載、二期恒載與張拉控制應(yīng)力的隨機性，隨機因子分別為α6、α7和α8。表1給出了各個隨機變量的統(tǒng)計特性。

表1 隨機變量的統(tǒng)計特性

2 基于響應(yīng)面的蒙特卡洛分析方法

響應(yīng)面法（Response Surface Method，RSM）通過少量的確定性試驗結(jié)果擬合一個曲面來近似代替真實的響應(yīng)值分布，從而建立隨機變量與結(jié)構(gòu)響應(yīng)值之間的顯式函數(shù)關(guān)系，避免了直接蒙特卡洛法（Monte Carlo，MC）反復(fù)求解有限元帶來的巨大計算開銷［12］。首先在均值點附近利用若干次的有限元計算，建立結(jié)構(gòu)長期變形的響應(yīng)面函數(shù)，再對其進行MC抽樣，進而直接獲取結(jié)構(gòu)響應(yīng)的分布信息。

為了提高響應(yīng)面擬合精度，取考慮交叉項的二次多項式構(gòu)造響應(yīng)面

式中：n為變量個數(shù)，a，bi，，ci，dij（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n）為待定因數(shù)，未知數(shù)數(shù)量為 （n＋1）（n＋2）／2。

敏感性分析是研究隨機變量對結(jié)構(gòu)響應(yīng)貢獻程度的有效方法。本文定義基于響應(yīng)面的敏感性系數(shù)為：

式中：G（X）為響應(yīng)面函數(shù)；σX（j＝1，2，…，n）為隨機因子均方差。通過引入均方差σX（j＝1，2，…，n），一方面使得敏感性系數(shù)為無量綱量，另一方面計入均方差可以考慮變量離散性對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的貢獻，具有更明確的概率意義［13］。

3 混凝土徐變的有限元分析方法

采用Trost和Bazant提出的按照齡期調(diào)整有效模量法進行混凝土徐變效應(yīng)分析。根據(jù)Trost－Bazant理論［14］，連續(xù)變化的應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系可表示為：

式中：τ0為加載齡期，t為計算應(yīng)變時的齡期，ρ（t，τ0）即為老化系數(shù)，Eφ即為按齡期調(diào)整的有效模量。

采用混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析軟件CSBNLA進行橋梁結(jié)構(gòu)的長期變形隨機分析［12］。該軟件采用退化梁單元，采用本文程序?qū)H材料和結(jié)構(gòu)實驗室聯(lián)合會（RILEM）的TC114／3委員會于1993年發(fā)布的混凝土結(jié)構(gòu)和材料的收縮與徐變行為的基準算例（Benchmark Examples）進行了驗證，取得了良好的數(shù)值結(jié)果［15－16］。

4 算例分析

圖1為鐵路40m簡支梁斷面圖，其中頂?shù)装搴穸确謩e為300、280mm，腹板厚度為500mm；混凝土強度等級為C50，預(yù)應(yīng)力鋼束采用13－7φ5，底板預(yù)應(yīng)力束保護層厚度110mm，腹板最下層預(yù)應(yīng)力束中心線距離底板300mm，腹板預(yù)應(yīng)力束沿豎向等間距布置，間距190mm。預(yù)應(yīng)力體系采用后張法施工，張拉控制應(yīng)力σcon＝1395MPa，張拉時混凝土齡期28d。長期作用荷載為：自重荷載236.195kN／m，二期恒載180kN／m；自重作用時混凝土齡期為28d，二期恒載作用時混凝土齡期為60d。環(huán)境濕度取70%。

圖1 40m預(yù)應(yīng)力混凝土梁跨中斷面

利用本文的方法，計算成橋10a中橋梁跨中位移，成橋后由于預(yù)應(yīng)力作用梁體跨中出現(xiàn)上撓，徐變效應(yīng)體現(xiàn)為上撓，二期恒載施加后，跨中上撓量減小，但隨著收縮徐變效應(yīng)發(fā)生，上撓量逐漸增大，至3a后逐漸穩(wěn)定，10a最終位移均值為25.29mm，方差為6.47mm，變異系數(shù)為26%。圖2給出了前3a的跨中位移均值及其變異發(fā)展曲線，由此可以得到具有一定保證率的位移分析結(jié)果，特別的當(dāng)位移近似正態(tài)分布時，此保證率為97.72%與2.28%。計算結(jié)果表明，收縮徐變效應(yīng)具有明顯的不確定性，采用確定性的分析結(jié)果有可能不恰當(dāng)?shù)脑O(shè)置橋梁預(yù)拱度，影響列車行車安全性與平穩(wěn)性。

圖2 梁體跨中撓度

利用敏感性分析方法，可以計算各個隨機變量對成橋10a后跨中位移的敏感性，圖3給出了計算結(jié)果?？梢钥闯?，敏感性最高的參數(shù)為徐變度的模型不確定性，其次為彈性模量模型的不確定性，因此在設(shè)計與計算過程中，合理的選擇計算模型將有利于提高收縮徐變效應(yīng)的預(yù)測精度。

圖3 跨中位移的敏感系數(shù)

對于模型參數(shù)的不確定性而言，最為敏感的是荷載的不確定性，其次為張拉控制應(yīng)力的不確定性。

值得指出的是，文獻［11］中張拉控制應(yīng)力變異系數(shù)為1.5%，而此項系數(shù)與施工水平緊密相關(guān)。圖4給出了張拉控制應(yīng)力變異系數(shù)為1.5%與10%的跨中位移時程對比，圖5給出了兩種變異系數(shù)下跨中3a后位移的概率密度曲線。由圖可以看出2者位移均值基本一致，但是隨著張拉控制應(yīng)力的變異性增大，導(dǎo)致跨中撓度的離散性顯著增大。為分析其原因，本文計算了張拉控制應(yīng)力變異系數(shù)為1.5%～10%時各個主要隨機變量的敏感性，圖6給出了計算結(jié)果。由圖中結(jié)果可以看出：隨著張拉控制應(yīng)力變異性的增大，張拉控制應(yīng)力的敏感性迅速增大，當(dāng)張拉控制應(yīng)力變異系數(shù)為10%時，張拉控制應(yīng)力的敏感性系數(shù)達到0.81，成為最敏感的隨機變量。因此在施工過程中應(yīng)較精確控制張拉應(yīng)力，以控制收縮徐變效應(yīng)的離散性。

圖4 跨中位移時程曲線

梁體預(yù)制后通常需存梁一段時間才進行架設(shè)，圖7給出了二期恒載加載時的混凝土齡期與其敏感系數(shù)的關(guān)系。由圖中可以看出存梁時間越短，二期恒載對于收縮徐變效應(yīng)影響越明顯。延長存梁時間有利于抑制二期恒載對收縮徐變效應(yīng)的影響，但存梁2個月后，此影響基本穩(wěn)定。

圖5 跨中位移概率密度函數(shù)

圖6 跨中撓度敏感系數(shù)與σcon的變異系數(shù)

圖7 跨中撓度敏感系數(shù)與二恒加載時間

5 結(jié) 論

采用GL2000模型計算混凝土的收縮徐變特性，并利用基于響應(yīng)面的蒙特卡洛抽樣技術(shù)，進行收縮徐變隨機分析。以鐵路40m簡支梁為例，分析表明：

1）應(yīng)考慮收縮徐變效應(yīng)具有明顯的不確定性，以避免不恰當(dāng)?shù)脑O(shè)置橋梁預(yù)拱度，影響列車行車安全性與平穩(wěn)性。

2）徐變度的模型不確定性對徐變效應(yīng)最為敏感，其次為彈性模量模型的不確定性，因此宜進一步開展徐變模型研究。

3）隨著張拉控制應(yīng)力變異性的增大，跨中長期變形的離散性顯著增加，同時張拉控制應(yīng)力的敏感性迅速增大，在施工過程中應(yīng)注意控制張拉應(yīng)力的精確性。延長存梁時間有利于抑制二期恒載對收縮徐變效應(yīng)的影響，但存梁2個月后，此影響基本穩(wěn)定。

［1］盧志芳.考慮時變性和不確定性的混凝土橋梁收縮徐變及預(yù)應(yīng)力損失計算方法［D］.武漢：武漢理工大學(xué)，2011.

［2］Ba?ant Z P，Li G H.Unbiased statistical comparison of creep and shrinkage prediction models ［J］. ACI Materials Journal，2008，105（6）：610－621.

［3］Madsen H，Ba?ant Z.Uncertainty analysis of creep and shrinkage effects in concrete structures ［J］.ACI Journal，1983，80：116－127.

［4］Yang I.Uncertainty and sensitivity analysis of timedependent effects in concrete structures ［J］.Engineering Structures，2007，29：1366－1374.

［5］熊學(xué)玉，顧煒.基于改進LHS方法的預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)長期性能概率分析［J］.工程力學(xué)，2010，27（4）：163－168.Xiong X Y， Gu W. Long－term performance probabilistic analysis of PC structure based on improved LHS method ［J］.Engineering Mechanics，2010，27（4）：163－168.

［6］Goel R，Kumar R，Paul D K.Comparative study of various creep and shrinkage prediction models for concrete［J］.Journal of Materials in Civil Engineering，ASCE，2007，19（3）：249－260.

［7］Gardner N J，Lockman M J.Design provisions for drying shrinkage and creep of normal－strength concrete［J］.ACI Material Journal，2001，98（2）：159－167.

［8］Keitel H， Dimmig－Osburg A. Uncertainty and sensitivity analysis of creep models for uncorrelated and correlated input parameters ［J］. Engineering Structures，2010，32（11）：3758－3767.

［9］Al－Harthy A S，F(xiàn)rangopol D M.Reliability－based design of prestressed concrete beams ［J］.Journal of Structural Engineering，1994，120（11）：3156－3177.

［10］Pascal L. Reliability－based deterioration model for deflection limit state girder bridges［D］.The University of Michigan，2006.

［11］徐騰飛.鋼管混凝土非線性穩(wěn)定承載能力與可靠度分析［D］.成都：西南交通大學(xué)，2010.

［12］徐騰飛，趙人達，向天宇，等.鋼管混凝土高墩非線性穩(wěn)定承載能力可靠度分析［J］.土木建筑與環(huán)境工程，2010，32（2）：60－63.Xu T F，Zhao R D，Xiang T Y，et al.Reliability analysis of ultimate bearing capacity of concrete－filled tube high piers［J］.Journal of Civil，Architectural ＆Environment Engineering，2010，32（2）：60－63.

［13］Liu P L，Der Kiureghian A.Finite element reliability of geometrical nonlinear uncertain structures［J］.Journal of Engineering Mechanics，1991，117（8）：1806－1825.

［14］Wen Q J.Long－term effect analysis of prestressedconcrete box－girder bridge widening ［J］.Construction and Building Materials，2011，25（4）：1580－1586.

［15］向天宇，童育強，趙人達.基于退化梁單元的混凝土結(jié)構(gòu)徐變分析［J］.工程力學(xué)，2006，23（4）：140－143.Xiang T Y，Tong Y Q，Zhao R D.Creep analysis of concrete structure by degenerated beam element［J］.Engineering Mechanics，2006，23（4）：140－143.

［16］占玉林，向天宇，趙人達.幾何非線性結(jié)構(gòu)的徐變效應(yīng)分析［J］.工程力學(xué)，2006，23（7）：45－48.Zhan Y L，Xiang T Y，Zhao R D.Creep effect analysis of geometric nonlinear structure ［J］.Engineering Mechanics，2006，23（7）：45－48.