一類(lèi)階段結(jié)構(gòu)和B-D功能性反應(yīng)的三種群順環(huán)捕食系統(tǒng)

晉金才，竇霽虹，楊建飛

（1.西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西西安 710121；2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，陜西西安 710127；3.西北大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，陜西西安 710127）

在生物數(shù)學(xué)中，具有階段結(jié)構(gòu)或者具有功能性反應(yīng)的生物數(shù)學(xué)模型被研究者所重視[1-9]，文獻(xiàn)[1]研究了具有Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的三維順環(huán)捕食系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)一致持續(xù)生存、存在唯一全局漸近穩(wěn)定正周期解與概周期解的充分條件，文獻(xiàn)[2,10]研究了食餌具有階段結(jié)構(gòu)和Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的兩種群食餌-捕食者模型的持久性和周期解的存在性。本文對(duì)一類(lèi)同時(shí)具有階段結(jié)構(gòu)和Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的非自治三種群順環(huán)捕食系統(tǒng)進(jìn)行研究①。

1 數(shù)學(xué)模型

本文研究了一類(lèi)具有階段結(jié)構(gòu)和Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的非自治三種群順環(huán)捕食系統(tǒng)②，即

其中 x11(t)，x12(t)，x2(t)，x3(t)分別表示種群 1 的幼年個(gè)體和成年個(gè)體及種群2,種群3在t時(shí)刻的種群密度，幼年個(gè)體x11(t)不能捕食x3(t)，成年個(gè)體 x12(t)捕食 x2(t)，x2(t)捕食 x3(t)，x3(t)捕食幼年個(gè)體x11(t)，ri(t),i=1,2,3,4為種群的死亡率，a(t)為成年個(gè)體對(duì)新生幼年個(gè)體的轉(zhuǎn)化系數(shù)，d(t)為幼年個(gè)體向成年個(gè)體的轉(zhuǎn)化系數(shù)，ei(t),i=1,2,3,4為密度制約系數(shù)。這里所有系數(shù)都是關(guān)于t函數(shù)，比如a=a(t))，且都是定義在[0,+∞]上連續(xù)的正周期函數(shù)，并記

定義1[1]對(duì)于系統(tǒng)的任意正解(x11(t),x12(t)，x2(t),x3(t)),若存在實(shí)數(shù)M≥m＞0滿足

引理1[5]若微分不等式滿足y(t)(p-qy(t))，y(t)=x(0),其中 p，q 是常數(shù)，則其解滿足不等式

引理2[11](Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理)假設(shè)中的有界閉凸集，T∈C(Ω,Ω)，則存在 X0∈Ω，使得TX0=X0。

引理3[12]設(shè)f（x）為定義在[0，+∞]上的非負(fù)可微函數(shù)，若有界，則為一常數(shù)，且有

2 定理及其證明

定理1如果系統(tǒng)(1)的解滿足初值條件xli(0)＞0，xj(0)＞0，i=1，2，j=2，3 那么系統(tǒng)(1)的所有滿足初值條件解最終都滿足xli（t）＞0，xj(t)＞0,i=1，2，j=2，3。

證明 因?yàn)?/p>

由比較定理知

由生物學(xué)意義知 x11(0)＞0，則 x11(t)＞0；同理知x12(t)＞0。

又由于

由生物學(xué)意義知 x2(0)＞0，則 x2(t)＞0；同理知x3(t)＞0，故定理 1 成立。

定理2 如果系統(tǒng)(1)滿足條件

那么系統(tǒng)(1)是一致持續(xù)生存的。

證明 取函數(shù)S(t)=x11(t)+x12(t)，則S(t)沿系統(tǒng)(1)的導(dǎo)函數(shù)是

則對(duì)于常數(shù)c，有

由系統(tǒng)的后兩個(gè)方程及xj(t)＞0,j=2，3則，取實(shí)數(shù)

對(duì)(1)，(2)兩式從 0 到 t積分得

同理可知存在 mj＞0，j=2,3，使得 xj(t)≥mj，j=2,3。

令 V(t)=min{x11(t),x12(t)}，當(dāng) x11(t)≤x12(t)時(shí)，則V(t)沿系統(tǒng)的右上導(dǎo)數(shù)為

當(dāng) x11(t)≥x12(t)時(shí)，

定理3 如果系統(tǒng)(1)滿足定理2的條件，并且滿足

那么系統(tǒng)(1)唯一存在全局漸近穩(wěn)定的周期正解。

如果X0∈Ω0，則由解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理知，T關(guān)于X0在Ω0上是連續(xù)的，并且X0∈Ω0一定有令 t=ω，則有 x(t+t0,t0X0)∈Ω0，也就是TΩ0∈Ω0由引理2知，映射T在Ω0中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)X0，即系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)周期解。設(shè)為Y(t)=(y11(t),y12(t),y2(t),y3(t),y1i(t)＞0，i=1，2，j=2，3）為系統(tǒng)(1)的周期解，X(t)為系統(tǒng)(1)滿足初值 x1i(0)＞0,xj(0)＞0,i=1,2,j=2，3 的任意解，構(gòu)造函數(shù)：

則W(t)沿系統(tǒng)(1)正解的右上導(dǎo)數(shù)是

取常數(shù)β使

則t≥T。

對(duì)(8)兩端從T到t積分得

故系統(tǒng)(2)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的周期正解。

注釋?zhuān)?/p>

① 本文在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上將階段結(jié)構(gòu)引入三種群順環(huán)捕食系統(tǒng)中，使系統(tǒng)更接近實(shí)際的生態(tài)意義，同時(shí)又將文獻(xiàn)[2]的研究推廣到三種群順環(huán)捕食系統(tǒng)使研究的難度進(jìn)一步加大。

② 系統(tǒng)(1)所具有的生態(tài)意義是：當(dāng)自然環(huán)境與人類(lèi)對(duì)環(huán)境干預(yù)的共同作用下，具有階段結(jié)構(gòu)和Beddington-De Angelis功能性反應(yīng)的三維順環(huán)捕食生態(tài)系統(tǒng)在一定條件下，會(huì)出現(xiàn)周期平衡震蕩，這對(duì)環(huán)境保護(hù)和生態(tài)平衡都具有一定的意義。

[1]李淑萍,靳 禎.具有Beddington-DeAngelis功能性反應(yīng)的三維順環(huán)捕食系統(tǒng)[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,29(3):195-200.

[2]Chen F D,You M S.Permance,extinction and periodic solution of the predator-prey system with Beddington-DeAngelis functional response and stage structure for prey[J].nonlinear Analysis:Real World Applications,2008,9:207-221.

[3]Song X Y,Chen L S.A predator-prey system with stage structure and harvesting for predator[J].Ann of Diff Eqs,2002,18(3):264-277.

[4]謝燕霞,魏鳳英.一類(lèi)具有階段結(jié)構(gòu)和HollingⅡ類(lèi)功能反應(yīng)的多種群捕食系統(tǒng)[J].福州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,38(1):1-5.

[5]劉會(huì)民,劉 兵.三種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的持久性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2001,16(1):46-53.

[6]姚志健.多種群階段競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的周期解與概周期解[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,23(1):116-124.

[7]陸忠華,陳蘭蓀.周期系數(shù)三種群Lotka-Volterra混合模型分析[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1995,11(2):38-45.

[8]童姍姍,竇霽虹,賈 玲.基于實(shí)例的基因分類(lèi)及確定基因標(biāo)簽?zāi)Ｐ蚚J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(4):515-522.

[9]馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996.

[10]晉金才,楊建飛.一類(lèi)捕食者具有自食現(xiàn)象生態(tài)系統(tǒng)的周期解[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào),2011,25(6):6-9.

[11]時(shí) 寶,張德存.微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2005.

[12]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001.