交錯(cuò)級(jí)數(shù)Euler變換式的一個(gè)應(yīng)用

王念良，趙 銳

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，陜西商洛 726000）

1 引言和結(jié)論

由于中括號(hào)內(nèi)的級(jí)數(shù)仍然是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可以重復(fù)這個(gè)過(guò)程，得到

更一般地有

這里△0an=an，△kan=△k-1an-△k-1an+1=將收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)表示成(1)式是 Euler最早提出的[1]，1951年，K.Knopp[2]證明了當(dāng)k趨于無(wú)窮時(shí)，(1)式最后一項(xiàng)是無(wú)窮小量，即給出了(2)式被稱作交錯(cuò)級(jí)數(shù)Euler變換式。用ζ（s,a)=表示 Hurwitz 澤塔函數(shù)，根據(jù)積分判別法可知，Hurwitz澤塔函數(shù)當(dāng)s的實(shí)部大于 1 時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng) a=1 時(shí) ζ（s,1)=ζ（s）稱為黎曼澤塔函數(shù)。早在18世紀(jì)，Euler證明了當(dāng)s＞1時(shí)，黎曼澤塔函數(shù)有乘積表達(dá)式

即后人所稱謂的Euler乘積。1973年，C.Ryavec用Euler乘積討論了黎曼澤塔函數(shù)的解析連續(xù)性質(zhì)[3]。

對(duì)于正整數(shù) m,D.Goss[4]定義了函數(shù) Φm（s）=(1-m1-s)ζ（s）,(s＞1),并用伽瑪函數(shù)的性質(zhì)證明了函數(shù)Φm（s）的解析連續(xù)性質(zhì)。Hurwitz澤塔函數(shù)及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)歷來(lái)是解析數(shù)論研究的熱點(diǎn)之一，吸引著許多數(shù)學(xué)愛好者的研究興趣[1-7]。本文應(yīng)用交錯(cuò)級(jí)數(shù) Euler變換式(2)，討論了函數(shù) Φm（s）的解析連續(xù)性質(zhì)，即

定理 設(shè)m是給定的大于1的正整數(shù)，對(duì)所有s≠1的復(fù)數(shù)，函數(shù)Φm（s）=(1-m1-s)ζ（s）有表達(dá)式

因而Φm（s）在平面上的一個(gè)緊集上絕對(duì)收斂且一致收斂于某一個(gè)整函數(shù)。

2 結(jié)論的證明

首先應(yīng)用文[5]的方法，證明黎曼澤塔函數(shù)ζ（s）有表達(dá)式再利用優(yōu)級(jí)數(shù)判別法說(shuō)明Φm（s）在s平面的緊集上絕對(duì)收斂且一致收斂于一個(gè)整函數(shù)。

定理的證明

應(yīng)用萊布尼茲判別法知交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1-21-s)ζ（s）收斂，根據(jù)Euler級(jí)數(shù)變換式(2)，有

令 k≥0 是固定的整數(shù)，（s）k表示 s(s+1)·…·（s+k-1）。由于

[1]Sondow J.Analytic continuation of Riemann′s Zeta function and values at negative integers Visa Euler′s transfermation of series[J].Proc Amer Math Soc,1994,120(2):421-424.

[2]Knopp K.Theory and applycation of infinite series[M].Blackie&Sons,London,1951.

[3]Ryavec C. The analytic continuation of Euler Products with applications to Asymptotic formulae[J].Illinoio J Math,1973,17:608-618.

[4]Goss D. A simple approach to the analytic continuation and values at negative integers[J].Proc Amer Math Soc,1981,81(2):513-517.

[5]王念良,李復(fù)活.高階Apostol-Bernoulli函數(shù)的—些恒等式[J].2011,l25(6):1-3.

[6]Luo Q M,Srivastava H M.Some generalization of the Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler polynomials[J].J Math Anal Appl,2005,308:290-302.

[7]王念良.關(guān)于Bernoulli多項(xiàng)式與Euler多項(xiàng)式線性組合的積和式[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006,24(3):1-4.