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    對(duì)函數(shù)極值定義的探討

    2013-11-11 01:59:50謝日新
    關(guān)鍵詞:第一版極小值科學(xué)出版社

    謝日新

    [摘要]舉例說(shuō)明對(duì)極值定義的看法 ,并給出了參考定義。

    [關(guān)鍵詞]極大(?。┲?,極大(?。┲迭c(diǎn)

    在教學(xué)過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)某些教材中關(guān)于極值的定義,均值得商榷,下面通過(guò)舉例說(shuō)明。

    一、普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材,《微積分》中的定義如下:

    定義1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)有定義,并且 ,有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值(或極小值),x0稱(chēng)為函數(shù)f(x0)的一個(gè)極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).

    例1 設(shè)

    函數(shù)f(x0)在x0=1的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,且對(duì)鄰域中任何點(diǎn)x恒有f(x)≤f(x0),按定義1,f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值,而x0=1為極大值點(diǎn)。這顯然是錯(cuò)誤的。

    二、21世紀(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)精品教材《高等數(shù)學(xué)》中的定義如下:

    定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)有定義,如果對(duì)于去心鄰域 內(nèi)的任一x,有f(x)f(x0)

    那么稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值或極小值。

    例2 設(shè)

    函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0=1的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,對(duì)其去心鄰域 內(nèi)的任一x,有f(x)

    例3 設(shè)

    函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0=1的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,對(duì)其去心鄰域 內(nèi)的任一x,有f(x)

    例4 設(shè)

    函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0=0處連續(xù),對(duì)某去心鄰域 內(nèi)的任一 x,有f(x)>f(x0),按定義2,f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值,而x0為極小值點(diǎn)。

    在以上例子中,例1,例3和例4中的極值點(diǎn),函數(shù)經(jīng)過(guò)極值點(diǎn)時(shí),其單調(diào)性沒(méi)改變;例2中,只要令f(1)=0,點(diǎn)x0=1又變?yōu)闃O小值點(diǎn),此時(shí)x0=1是否歸入極小值點(diǎn),值得探討。

    三、鑒于以上定義的不足,現(xiàn)給出如下參考定義:

    定義3 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有連續(xù),如果對(duì)于去心鄰域 內(nèi)的任一x,有f(x)f(x0)

    那么稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值或極小值。

    [參考文獻(xiàn)]

    [1]劉穎芳、肖運(yùn)鴻主編微積分,2011年第一版,科學(xué)出版社。

    [2]余勝春、張平芳主編高等數(shù)學(xué),2012年第一版,科學(xué)出版社。

    (作者單位:廣州航海學(xué)院 基礎(chǔ)部 廣東廣州)

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