地球外部空間擾動引力并行計算*

李紅偉

(江蘇自動化研究所，江蘇 連云港 222061)

射程達數千千米以上的遠程導彈在沿著地球上空飛行時，時刻受到地球引力場的影響。彈道導彈高速飛行時，彈載計算機處理導彈飛行參數的時間非常有限。因此計算地球擾動引力時除了要滿足一定的計算精度外，還要盡可能的簡便，以減少模型的計算量，提高其計算速度［1］。計算地球外部空間的擾動引力一般采用司托克斯積分方法或點質量法來滿足彈道導彈制導和導航的精度，但是這兩種方法都具有模型計算量大，不能滿足擾動引力實時計算的缺點。

在滿足彈道導彈射擊精度要求的前提下，為了實現地球外部空間擾動引力的實時計算，本文在傳統(tǒng)司托克斯積分方法的基礎上，提出了司托克斯快速計算模型，并運用并行計算技術，建立了司托克斯并行計算模型，提高地球擾動引力的計算速度，降低其計算時間，并通過仿真驗證了司托克斯并行計算模型的有效性。

1 司托克斯積分法簡介

采用司托克斯積分法來計算地球擾動引力，就是采用將司托克斯積分公式表示的地球擾動引力位對任一方向求偏導數，以求地球擾動引力在該方向上的分量。用司托克斯積分公式表示的地球擾動引力位公式如下:

式中，ρ為球面上面積圓dσ到P點的距離，φ*s、λ*s為面積圓dσ的地心緯度和經度，ψ為面積圓dσ與P點間對應的地心極角，函數S(r，ψ)為廣義司托克斯函數，φs、λs為 P點的地心緯度和經度，Δgσ為球面重力異常值［2］。

地球表面重力異常Δgσ已知時，可推導出地球外部空間上任一點P(r，φs，λs)的擾動引力在北東坐標系各軸方向上的分量為［3］

其中:

2 司托克斯快速計算模型

原則上講，只要已知地面重力異常值Δgσ及其對應的地心經緯度和其他參數，便可按式(2)計算出地球外部空間擾動引力分量。存在的主要問題是，上述球面積分計算比較復雜，如果按上述公式解析計算則難度較大且計算工作量較大。本文提出一種快速計算方法，具體做法是，首先將地球以適當的經緯度差(根據實際探測的地面重力異常值區(qū)域)進行劃分，假設將地球經緯度區(qū)域劃分為M個經緯度差區(qū)域，則將傳統(tǒng)的司托克斯積分法計算外部空間擾動引力積分方程離散為

球面上的經緯度差區(qū)域的面積為

其中，φ*si、λ*si取自第i經緯度區(qū)域，每一個經緯度差區(qū)域四邊的經緯度差分別為Δλ、Δφ。由于在大地測量中所給出的只是地球表面上的平均重力異常值 Δgˉij，這里可近似認為 Δg(σi，j)=Δgˉij。則地球外部空間上的任一點P(r，φs，λs)的擾動引力在北東坐標系各軸方向上的分量可以簡化為如下模型:

其中，

3 并行計算技術

并行計算是指在并行計算機上，將一個應用分解成多個子任務，分配給不同的處理器，各個處理器之間相互協(xié)同，并行執(zhí)行子任務，從而達到加快求解速度，提高求解應用問題規(guī)模的目的。性能評價和優(yōu)化時設計高效率并行程序必不可少，常用的并行程序性能評價標準有并行程序執(zhí)行時間和并行加速比和并行效率。

MPI(Message Passing Interface)是目前最重要的一種并行編程工具和環(huán)境，它能運行在所有的并行平臺上，將功能、高效和移植性這3個重要而又相互矛盾的方面很好地融為一體。MPI是一個消息傳遞接口的標準，用于開發(fā)基于消息傳遞的并行程序，為用戶提供了一個實際可用的、可移植的、高效的和靈活的消息傳遞接口庫。MPI以語言獨立的形式來定義消息傳遞接口庫，并提供了與C語言和FORTRAN語言的綁定。目前已經在PC/Windows、所有主要的UNIX工作站以及并行機上得到實現［4］。它具有以下特點:1)它只是一個支持并行計算的程序庫，并不是一個并行操作系統(tǒng);2)通信效率很高，可靠性很好;3)沒有嚴格要求底層的通信協(xié)議，消息傳遞接口標準只是對于應用程序的通信程序庫而言，至于下層的硬件、協(xié)議完全由用戶自己決定;4)提供了點對點通信和全局通信的方式。

主從模式是一種比較常用的并行計算架構模式，由一組相互緊密關聯(lián)的進程組成，用來執(zhí)行相同的程序，其中一個為控制進程，成為主進程，其余的進程稱為從進程，在整個并行計算過程中，由主進程負責進程的生成、初始化、收集并顯示計算結果并適當地參與運算，其余的從進程負責執(zhí)行各自的局部計算和計算結點間的通信，待計算完成后將計算結果回送給主進程，子進程的負載或者由主進程分配(靜態(tài)分配與動態(tài)分配兩種)，或者由進程本身分配［5-6］。其基本架構模式如圖1所示。

圖1 主從模式并行機體系結構

在三個CPU中利用司托克斯積分方法計算地球外部空間擾動引力的程序設計結構框圖如圖2所示。

圖2 擾動引力并行計算程序設計結構框圖

4 仿真計算

本文以某典型彈道導彈為仿真對象，射擊條件如下:發(fā)射點天文經度100°，發(fā)射點天文緯度30°，瞄準方位角210°，關機時間270s，計算導彈附近點的擾動引力。在本文中，采用10°×5°的經緯度差劃分方法，將整個地球表面劃分成(360/10)×(180/5)塊經緯度差區(qū)域，各個經緯度差區(qū)域在地球表面上的平均重力異Matlab仿真得到，司托克斯積分法的快速計算模型與傳統(tǒng)的計算過程(其中傳統(tǒng)的司托克斯法計算過程也需經過簡化處理)相比，計算逼近效果如圖3所示，平均計算時間統(tǒng)計結果如表1所示。

本文提出的司托克斯快速計算模型與傳統(tǒng)方法計算相比所產生的落點偏差大小為:縱向偏差－2.503m，橫向偏差－1.645m，而平均計算時間降低了30.78%。在確保較高射擊精度的前提下，大大提升了地球外部空間擾動引力的計算速度，證明了司托克斯快速計算模型計算擾動引力的有效性。

并行程序設計是在四核服務器的Linux仿真環(huán)境中進行的，本文采用的是在輸入相同數據的情況下，比較司托克斯快速計算模型并行計算與串行計算的執(zhí)行時間，并計算并行計算的加速比和效率。表2是采用主從架構模式的Linux工作站中計算得到的并行加速比和效率。

圖3 擾動引力逼近效果圖

表2 串行計算與并行計算結果比較

仿真結果表明:與串行計算方法相比，司托克斯快速計算模型的并行計算方法能夠獲得較高的并行計算加速比和效率，具有比較好的實時性和快速計算效果。

5 結束語

地球外部空間擾動引力在彈道導彈武器系統(tǒng)控制中發(fā)揮著非常重要的作用，在計算擾動引力的各種方法中，司托克斯積分方法具有計算精度高，適合彈道導彈全程地球擾動引力計算的特點，同時也有算法計算量大、模型復雜的缺點，本文提出了司托克斯計算地球外部空間擾動引力的快速計算模型，通過仿真可知快速計算模型可以大幅度提高計算速度，并在此基礎上提出運用并行計算技術，在Linux環(huán)境下應用MPI技術實現了司托克斯積分法的并行計算，通過仿真驗證并行效果明顯，能得到較好的加速比和并行效率，從而有效減少擾動引力的計算時間，提高計算的效率。

［1］ 王慶賓，周世昌，王世忠，等．彈道主動段全射向擾動引力快速逼近方法［J］．測繪科學技術學報，2010，4(3):79-81．

［2］ DIFRANCESCO D，MEYER T，CHRISTENSEN A，et al．Gravity Gradiometry:Today and Tomorrow［C］．SAGA Biennial Technical Meeting and Exhibition．Swaziland:2009:80-83．

［3］ 張赤軍，駱鳴津，王新勝，等．地球內外擾動物質引起高程異常的分析［J］．大地測量與地球動力學，2010，12(2):42-45．

［4］ 韋祥文．MPI平臺下二維歐拉方程數值解法［D］．西安:西北工業(yè)大學碩士論文，2003:35-44．

［5］ 李昆，焦宗夏．基于Linux的多機電系統(tǒng)的并行仿真研究［J］．北京航空航天大學自動化學報，2002，3(2):3-6．

［6］ 都志輝．高性能計算并行編程技術，MPI并行編程設計［M］．北京:清華大學出版社，2001:33-37．