基于微分對(duì)策的潛艇魚雷攻擊占位問(wèn)題研究*

張 會(huì)，吳 鵬，孫華春

(海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266071)

1 潛艇魚雷攻擊可占位條件分析的微分對(duì)策模型

成功占領(lǐng)攻擊陣位是潛艇對(duì)目標(biāo)實(shí)施魚雷攻擊的前提條件。假設(shè)潛艇P預(yù)對(duì)定速定向機(jī)動(dòng)的目標(biāo)E進(jìn)行魚雷攻擊占位，ve為目標(biāo)E的速度，vp為P的速度，vy為魚雷速度。攻擊陣位域?yàn)橐阅繕?biāo)前方距離ved/vy的點(diǎn)O為圓心的圓形區(qū)域［1-5］，稱為攻擊陣位圓，稱點(diǎn)O為命中點(diǎn)。為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，將潛艇魚雷攻擊占位問(wèn)題看成針對(duì)命中點(diǎn)O的追逃問(wèn)題，并稱O為影子目標(biāo)。以O(shè)為原點(diǎn)，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤軸正向，x軸正向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°為y軸正向，建立坐標(biāo)系，潛艇相對(duì)于影子目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程為

其中，函數(shù)u(t)為x軸到潛艇運(yùn)動(dòng)方向角，順時(shí)針為正。占位成功條件，即目標(biāo)集合表示為

根據(jù)定性微分對(duì)策理論和方法［5，6］，可推導(dǎo)潛艇能成功占位的條件。構(gòu)造漢密爾頓函數(shù):

其中，γ→=(γ1，γ2)T。

令

同時(shí)，讓

得到潛艇的最優(yōu)策略:

對(duì)應(yīng)的漢密爾頓函數(shù)值為

將目標(biāo)集邊界x2+y2=d2表示成參數(shù)形式:

其中，s為與x軸正向夾角，~t為發(fā)現(xiàn)目標(biāo)時(shí)刻。目標(biāo)集邊界指向決策空間的單位法向量為

將式(5)代入式(3)，得到E的最優(yōu)策略在目標(biāo)集邊界上的值為

對(duì)應(yīng)的漢密爾頓函數(shù)值為

由式(7)可知，當(dāng)vp≥ve時(shí)，H(x*，y*，u*，γ)恒大于零，故整個(gè)決策空間都是可占位區(qū)域。當(dāng)vp＜ve時(shí)，存在不可占位區(qū)域。首先考慮上半平面，即0≤s≤π對(duì)應(yīng)部分。記s0=arccos(-vp/ve)，則目標(biāo)集邊界上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于0≤s≤s0的所有點(diǎn)為UP，而對(duì)應(yīng)于s0的點(diǎn)為BUP。以s0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為起點(diǎn)構(gòu)造界柵，伴隨方程和初始條件為

得

倒向狀態(tài)方程及其初始條件為

得

其中，τ=~t-t。

對(duì)式(10)消元可得界柵表達(dá)式:

再考慮下半平面，記s0=-arccos(-ve/vp)，可得以s0對(duì)應(yīng)點(diǎn)為起點(diǎn)的界柵表達(dá)式

根據(jù)式(11)和式(12)可繪制出潛艇可占位區(qū)域如圖1所示。圖1中α=arcsin(vp/ve)，直線QAM、直線QBN的方向角分別為 ±α，故|QO|=ved/vp。射線AM、射線BN和沿逆時(shí)針的圓弧AB，所圍成的圓外非封閉區(qū)域?yàn)榭烧嘉粎^(qū)域。

由前述分析可知，給定占位速度條件下，潛艇最佳占位機(jī)動(dòng)方案為勻速定向機(jī)動(dòng)。后面用目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向到潛艇占位機(jī)動(dòng)方向角(順時(shí)針為正)q表示占位方案，并稱其為占位方向角。

圖1 魚雷攻擊可占位區(qū)域圖

2 可占位情形下的占位方案優(yōu)化

當(dāng)潛艇可成功占位時(shí)，為盡快實(shí)施攻擊，應(yīng)盡量縮短占位時(shí)間。以式(1)為約束條件，式(2)為目標(biāo)集，取目標(biāo)函數(shù)為

建立占位方案優(yōu)化微分對(duì)策模型，稱所求得的最優(yōu)方案為最短時(shí)間占位方案。其中，tf為占位過(guò)程結(jié)束時(shí)間。根據(jù)定量微分對(duì)策和最優(yōu)控制理論對(duì)最優(yōu)占位方案進(jìn)行分析［6，7］，可得潛艇最優(yōu)策略 u*為

可知，最短時(shí)間占位方案的機(jī)動(dòng)方向與潛艇到達(dá)攻擊陣位圓時(shí)潛艇位置點(diǎn)到命中點(diǎn)的向量方向一致。潛艇最優(yōu)占位方向和相對(duì)于影子目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)如圖2所示。圖2中，O為命中點(diǎn)，M為潛艇開(kāi)始占位時(shí)的位置點(diǎn);D為影子目標(biāo)距離(潛艇到命中點(diǎn)的距離);φ為影最短時(shí)間占位方案速度向量。|TP|=vp，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)由ΔSON相似于ΔPTM，可依次得到:

式中，vx和Dx分別表示最佳占位方案對(duì)應(yīng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度和相對(duì)運(yùn)動(dòng)航程。

圖2 最短時(shí)間占位方案計(jì)算方法示意圖

3 仿真驗(yàn)證

取 D=10nmle，φ =arctan(d/D)+ π/10，Vp=10節(jié)，Ve=18 節(jié)，Vy=45kn，d=5nmle。由前述可占位條件可判定，潛艇可以實(shí)現(xiàn)成功占位。取一個(gè)足夠長(zhǎng)時(shí)間tmax，對(duì)潛艇采用不同占位方向角q進(jìn)行機(jī)動(dòng)的過(guò)程分別進(jìn)行仿真，仿真結(jié)束當(dāng)且僅當(dāng)潛艇占領(lǐng)攻擊陣位或仿真時(shí)間到達(dá)tmax，即仿真結(jié)束時(shí)間:

繪制出q和tend關(guān)系曲線如圖3所示。圖3中，橫坐標(biāo)為q，縱坐標(biāo)為tend，“*”號(hào)表示的點(diǎn)為用式(17)和式(18)計(jì)算出的點(diǎn)(q，tf)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文使用微分對(duì)策理論對(duì)潛艇魚雷攻擊占位問(wèn)題進(jìn)行研究。與初等數(shù)學(xué)方法相比，使用微分對(duì)策理論對(duì)魚雷攻擊占位問(wèn)題進(jìn)行研究的意義主要有兩點(diǎn):1)沒(méi)有首先將潛艇的規(guī)避機(jī)動(dòng)限定為直線運(yùn)動(dòng)，而是假設(shè)潛艇可以以任意方式機(jī)動(dòng)，通過(guò)理論分析證明在給定規(guī)避速度大小的條件下，潛艇的最佳規(guī)避策略為直線運(yùn)動(dòng);2)給出了給定占位速度大小條件下潛艇最短時(shí)間占位方案的解析計(jì)算公式，在進(jìn)行此公式推導(dǎo)時(shí)使用了潛艇最佳機(jī)動(dòng)策略的有關(guān)結(jié)論，目前還未見(jiàn)到使用初等數(shù)學(xué)方法完成此公式推導(dǎo)的文獻(xiàn)。

圖3 不同占位方案仿真結(jié)束時(shí)間計(jì)算結(jié)果

除了文中所列結(jié)論，利用所給出的可占位條件還可以給出最小占位速度以及相應(yīng)占位方案計(jì)算公式，本文不再贅述。

［1］ 趙正業(yè)．潛艇火控原理［M］．北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2003:169-181．

［2］ 張靜遠(yuǎn)．魚雷作戰(zhàn)使用與作戰(zhàn)能力分析［M］．北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2005，215-219．

［3］ 張亦楠，陳志鵬，孔燕子．魚雷攻擊中“潛艇占位可行域”分析［J］．艦船電子工程，2010(5):55-58．

［4］ 嚴(yán)代彪，王樹宗，李俊年．潛艇魚雷攻擊時(shí)占位機(jī)動(dòng)參數(shù)的確定［J］．武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005(3):339-341．

［5］ 溫洪，魏石川，陳志鵬，等．魚雷攻擊占位相關(guān)參數(shù)計(jì)算［J］．指揮控制與仿真，2008(3):58-60．

［6］ 李登峰．微分對(duì)策及其應(yīng)用［M］．北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2000:245-250．

［7］ 李國(guó)勇，等．最優(yōu)控制理論及參數(shù)優(yōu)化［M］．北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2006:54-57．