半離散組合KdV-mKdV方程的全局吸引子研究

劉太濤 (西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715)

半離散組合KdV-mKdV方程的全局吸引子研究

劉太濤 (西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715)

引入Crank-Nicolson格式研究了在R1上具有周期邊界條件的半離散組合KdV-mKdV方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為，證明了該方程在H3上緊的全局吸引子的存在。

組合KdV-mKdV方程；Crank-Nicolson格式；全局吸引子

筆者主要研究了在R1具有周期邊界條件的組合KdV-mKdV方程：

ut+uux+u2ux+uxxx+λu=f

(1)

u(x,0)=u0(x)u(x+T)=u(x)

(2)

解的長(zhǎng)時(shí)間行為。其中，λ>0是耗散參數(shù)，f∈L2(R)，是不依賴于時(shí)間的外力項(xiàng)函數(shù)。

KdV方程ut+αuxx+uxxx=0是很多非線性現(xiàn)象，其中包括等離子體中的離子聲波、淺水波等的模型，它是所有帶有二次非線性項(xiàng)發(fā)展方程的原始方程。mKdV方程ut+αu2ux+uxxx=0在塵埃離子聲波、電磁波、離子孤波、交通流量問(wèn)題等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。

KdV方程中的二次非線性項(xiàng)和mKdV方程中的三次非線性項(xiàng)結(jié)合，進(jìn)而得到組合KdV-mKdV方程[1]ut+αuxx+βu2ux+γuxxx=0，其中，α，β，γ為任意的常數(shù)。該方程是很多科學(xué)現(xiàn)象如塵埃聲孤波、帶有陰離子的等離子體中的離子聲波、界面孤波等的模型，并且廣泛應(yīng)用于等離子體、流體、量子場(chǎng)論等物理學(xué)中[1-2]。對(duì)于該方程，很多學(xué)者做了大量的研究：文獻(xiàn)[3]證明了該方程的孤波解；文獻(xiàn)[4]證明了該方程的精確解；文獻(xiàn)[5]對(duì)該方程的行波解做了一定的研究等。

近年來(lái)，很多學(xué)者對(duì)于半離散和離散的方程的全局吸引子、正則性、維數(shù)等性質(zhì)做了研究：文獻(xiàn)[6]證明了時(shí)間離散的非線性弱耗散方程全局吸引子的存在性、正則性、維數(shù)等性質(zhì)；文獻(xiàn)[7]證明了帶有斑點(diǎn)的半離散非線性Schr?dinger方程的全局吸引子的存在和維數(shù)等。下面，筆者主要運(yùn)用Crank-Nicolson格式對(duì)組合KdV-mKdV方程進(jìn)行了離散, 再利用一致先驗(yàn)估計(jì)的方法證明半離散組合KdV-mKdV方程全局吸引子的存在性?西南大學(xué)博士后研究基金項(xiàng)目(102060-207153)。。

1 Crank-Nicolson格式

(3)

下面，筆者介紹一種與方程(3)相關(guān)的Crank-Nicolson格式。

首先對(duì)于給定的u0∈H1(T)，KdV-mKdV方程(1)～(2)存在唯一的解u∈C([0,∞),H1)∩C1([0,∞),H-1)，方程(3)等價(jià)于：

(4)

對(duì)于給定的時(shí)間離散τ>0，考慮定義為τn=nτ的時(shí)間一致序列(tn)n，并且將方程(4)在時(shí)間區(qū)間[tn,tn+1]積分，有：

(5)

回顧梯形面積法則：

(6)

式(6)的估計(jì)誤差為：

令子列un～u(tn)，這里u是KdV-mKdV方程(1)～(2)解的連續(xù)形式，在方程(5)中使用式(6)的法則，令β=e-λ τ，有：

(7)

2 主要結(jié)果

引理1假設(shè)λτ?1是充分小的，則：

(8)

證明方程(7)與un+1+βun在L2(T)上作內(nèi)積，取實(shí)部，由于：

利用Young不等式可得：

進(jìn)而可得:

引入集合:

引理2存在一個(gè)正常數(shù)c，使得：

證明由文獻(xiàn)[9]中的證明方法可得引理2。

證明由G-N不等式[10]和Agmon’s不等式[11]有：

由引理1，引理2， Young不等式[11]，Soblove嵌入不等式[11]和un∈H1(T)，有：

由此得引理3。

證明通過(guò)Banach不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)證明方程(7)解的唯一性。若un存在，ω是g上的一個(gè)定點(diǎn)，令：

由引理2，引理3，G-N不等式[10]，有：

由引理1，引理2，G-N不等式[10]，有：

定理2定理1中的離散的半群S即Sun=un+1：E→E在H3(T)上有一個(gè)緊的全局吸引子。

證明方程(7)的任意的解un可以分解成un=vn+wn，?n∈N，且vn和wn分別滿足：

(9)

(10)

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[編輯] 洪云飛

O175.29

A

1673-1409(2013)22-0009-04

2013-05-12

劉太濤(1986-)，男，碩士生，現(xiàn)主要從事無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)方面的研究工作。