多項(xiàng)式基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可靠性分析

孟廣偉 李廣博 李 鋒 周立明

(吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，長春130025)

1 問題提出

根據(jù)工程結(jié)構(gòu)可靠度的定義[1]，結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可以表示為

其中x=(x1，x2，…，xn)，表示結(jié)構(gòu)的基本隨機(jī)變量，例如材料屬性、載荷、幾何形狀等.規(guī)定Z＞0表示結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)，Z＜0表示結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)，Z=0表示結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài).結(jié)構(gòu)不能完成預(yù)定功能的概率，即失效概率為

其中fX(x)=fX(x1，x2，…，xn)是x的聯(lián)合概率密度函數(shù).

近年來，很多方法用于計(jì)算上述失效概率Pf，例如蒙特卡洛模擬法(MCS，Monte Carlo Simulation)，一階可靠性方法(FORM，F(xiàn)irst-Order Reliability Method)，二階可靠性方法(SORM，Second-Order Reliability Method)等[2].對(duì)于一些功能函數(shù)為隱式或者較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，以上方法均非常耗時(shí)，給計(jì)算帶來麻煩，甚至在某些情況下還可能會(huì)出現(xiàn)不收斂的情況[3].為解決上述問題，一些方法被提出.響應(yīng)面法(RSM，Response Surface Method)，是其中應(yīng)用較廣泛的[4－6].假定被挑選出來的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)能夠很好的模擬其真實(shí)的曲面，計(jì)算其失效概率可達(dá)到一定精度，但是復(fù)雜工程計(jì)算中，不能保證響應(yīng)面能準(zhǔn)確逼近其真實(shí)的情況，當(dāng)隨機(jī)變量的數(shù)目龐大時(shí)，將耗用大量的計(jì)算時(shí)間.同時(shí)固定的函數(shù)形式影響其普遍性[7].人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法同樣被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性的計(jì)算[8－9].傳統(tǒng)的反向傳播(BP，Back-Propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在計(jì)算中易陷入局部最小過程，收斂速度慢.徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]和切比雪夫基函數(shù)[11]在一定程度上提高了函數(shù)逼近的精度，但是表達(dá)形式比較繁瑣，不利于編程計(jì)算.

本文采用多項(xiàng)式基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替?zhèn)鹘y(tǒng)響應(yīng)面函數(shù)，基于廣義逆矩陣的方法計(jì)算網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，擬合功能函數(shù)的真實(shí)極限狀態(tài)曲面，結(jié)合可靠度計(jì)算的一階可靠性方法，計(jì)算功能函數(shù)的失效概率.本方法提高了解決非線性隱式極限狀態(tài)方程可靠性問題的能力，提高了收斂速度.數(shù)值算例表明此法編程簡單，達(dá)到了較好的效率和精度要求.

2 多項(xiàng)式基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

2.1 多項(xiàng)式基函數(shù)

基于文獻(xiàn)[12]，一個(gè)單隱層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在進(jìn)行函數(shù)逼近時(shí)，完全等價(jià)于某個(gè)高階的多元多項(xiàng)式函數(shù).圖1表示一種多輸入多項(xiàng)式基函數(shù)隱神經(jīng)元模型.輸入層xt(t=1，2，…，n)與隱含層神經(jīng)元的連接權(quán)值恒為1，隱含層神經(jīng)元與輸出層的連接權(quán)值為ωh(h=1，2，…，u).

圖1 多項(xiàng)式基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

對(duì)于未知非線性目標(biāo)系統(tǒng)G(x1，x2，…，xn)，設(shè)對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量分別為x1，x2，…，xn.隱層神經(jīng)元的激勵(lì)函數(shù)為一組如式(3)所示的多項(xiàng)式基函數(shù).

其中a=0，1，2，…，i;b=0，1，2，…，j;z=0，1，2，…，l;i=j=l=0，1，2，….

基于多元多項(xiàng)式逼近理論[13]，設(shè)Ω?Rn是有界閉集，C(Ω)表示Ω上所有實(shí)值連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間.R?C(Ω)是一個(gè)代數(shù)，G(p)∈C(Ω).為使目標(biāo)函數(shù)G用R中元素一致逼近，只須對(duì)?ph∈Ω和?ε＞0，均能找到一個(gè)函數(shù)L∈R，使得

則目標(biāo)函數(shù)G(x1，x2，…，xn)在Ω上能用x1，x2，…，xn的多項(xiàng)式逼近，表示為

其中，ω1，ω2，…，ωu為網(wǎng)絡(luò)隱含層與輸出層的連接權(quán)值，即權(quán)系數(shù);p1，p2，…，pu為多項(xiàng)式基函數(shù).

與傳統(tǒng)的單隱層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，該模型最大的優(yōu)點(diǎn)是僅有隱層至輸出層的權(quán)值需要確定，極大地改善了網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).

2.2 網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的確定

傳統(tǒng)的基于梯度下降的BP迭代法計(jì)算網(wǎng)絡(luò)隱含層與輸出層連接權(quán)值的公式為

其中，η為迭代步長;k為迭代次數(shù);u為隱神經(jīng)元數(shù).

在計(jì)算式(6)的權(quán)值時(shí)，需要大量的迭代計(jì)算，且容易陷入局部最小的情況.為克服BP學(xué)習(xí)算法的固有缺陷，采用下面的權(quán)值計(jì)算方法.

設(shè)網(wǎng)絡(luò)輸出為

隱含層與輸出層的連接權(quán)值為

隱層神經(jīng)元的激勵(lì)響應(yīng)矩陣為

則對(duì)于圖1的多輸入多項(xiàng)式基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值直接確定為其中P+=(PTP)－1PT為激勵(lì)響應(yīng)矩陣的廣義逆矩陣.

3 多項(xiàng)式基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的結(jié)構(gòu)可靠性分析

3.1 多項(xiàng)式基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

為使達(dá)到計(jì)算精度的同時(shí)保證計(jì)算效率，取i=j=l=2，a，b，…，z系數(shù)依次由低到高.可設(shè)響應(yīng)面函數(shù)為

為了保證網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和計(jì)算精度，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量x按如下變化:

式中，f為任意因子;x*i為隨機(jī)變量的均值;σi為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.

相對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)估計(jì)值y即為

3.2 多項(xiàng)式基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的計(jì)算過程

網(wǎng)絡(luò)在迭代計(jì)算驗(yàn)算點(diǎn)時(shí)，為使其計(jì)算簡便，將非正態(tài)分布的變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)變換，在標(biāo)準(zhǔn)空間進(jìn)行迭代計(jì)算.

基于二次多項(xiàng)式響應(yīng)面法的計(jì)算原理，多項(xiàng)式基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的可靠性計(jì)算流程見圖2.

圖2 計(jì)算流程圖

4 數(shù)值算例

4.1 算例1

考慮一個(gè)非線性功能函數(shù)[14]:

其中x1和x2相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.MCS的計(jì)算結(jié)果可認(rèn)為是精確解.通過表1的計(jì)算結(jié)果比較，表明了本文方法計(jì)算非線性程度較高的功能函數(shù)時(shí)，精度高.

表1 算例1的失效概率計(jì)算結(jié)果

4.2 算例2

考慮一個(gè)非線性功能函數(shù)[15]:

其中，x1～N(1000，2002);x2～N(250，37.52).

通過 MCS計(jì)算的失效概率 Pf=9.607×10－3.表2列舉了其他幾種計(jì)算方法的結(jié)果.通過表2的比較，表明本文的方法在計(jì)算精度上有一定優(yōu)勢(shì)，失效概率的相對(duì)誤差僅為0.60%，進(jìn)一步證明本方法的高效性.

表2 算例2的失效概率計(jì)算結(jié)果

4.3 算例3

如圖3所示的屋架，屋架的上弦桿和其他壓桿采用鋼筋混凝土桿，下弦桿和其他拉桿采用鋼桿.屋架承受均布載荷q作用，將均布載荷q化成節(jié)點(diǎn)荷載后有 P =ql/4.設(shè) Ac，Ec，As，Es，l分別為混凝土和鋼桿的橫截面積、彈性模量、長度.Ec=2×1010MPa，Es=1 × 1011MPa，l=12m.定義 q ，Ac，As為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，分布參數(shù)見表3.

表3 基本隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征值

圖3 屋架結(jié)構(gòu)示意圖

設(shè)C點(diǎn)沿垂直向下方向的位移為Δc，很顯然Δc為隨機(jī)變量的隱函數(shù).約束C點(diǎn)的向下?lián)隙炔淮笥? cm.根據(jù)約束條件建立功能函數(shù)為

對(duì)隨機(jī)變量按式(12)變化，利用有限元方法計(jì)算節(jié)點(diǎn)C在迭代點(diǎn)處的實(shí)際位移，根據(jù)本文方法模擬其極限狀態(tài)曲面，將此類隱式功能函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為顯式問題.計(jì)算結(jié)果如表4所示，本文方法在精度上與MCS方法基本一致，相對(duì)誤差僅0.97%，能更好的模擬響應(yīng)曲面，進(jìn)一步驗(yàn)證了此法的可行性、高效性.

表4 算例3的失效概率計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)論

基于多項(xiàng)式基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可靠性分析充分利用多項(xiàng)式基函數(shù)的逼近能力，以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在計(jì)算功能函數(shù)未知時(shí)的優(yōu)越性.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求權(quán)值的過程中，利用激勵(lì)函數(shù)廣義逆矩陣的形式確定權(quán)值，避免傳統(tǒng)BP網(wǎng)絡(luò)梯度下降法帶來的收斂速度慢和易陷入局部極小點(diǎn)的缺點(diǎn).本文所提方法不僅思路簡單，同時(shí)易于編程.通過算例分析，表明該方法的正確性與實(shí)用性.

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