四階矩陣代數(shù)中兩個(gè)新的Kadsin-singer格*

王 寧

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

1 基本概念

經(jīng)過一個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，von neumann代數(shù)的理論已經(jīng)作為自伴算子代數(shù)理論的重要研究對(duì)象之一.為了研究有界線性算子的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，如不變子空間的相關(guān)問題，Kadison和singer［1］平行于Von Neumann代數(shù)理論，引入了三角代數(shù).2008年，葛力明和袁巍［2，3］將三角代數(shù)、自反代數(shù)和von Neumann代數(shù)理論相結(jié)合，引入了一類新的非自伴算子代數(shù)——Kadison-singer代數(shù)，簡稱KS-代數(shù).KS-代數(shù)與Von Neumann代數(shù)之間的聯(lián)系是通過不變投影格來實(shí)現(xiàn)的.這些投影格是自反的［4］，且在生成KS-代數(shù)的對(duì)角子代數(shù)的意義下具有“極小性”.如果不變投影格中的所有投影是相互交換的，則稱之為交換格.套代數(shù)是不變投影格為交換格的唯一KS-代數(shù).因此，在這種意義下，KS-代數(shù)可以看成是“量子化”的套代數(shù).

董璦菊等［5］證明了在相似意義下分別生成von Neumann代數(shù)為M2(C)和M3(C)的KS-格M0是唯一的，即每個(gè)生成M2(C)，M3(C)的KS-格都相似于M0或I－M0，M0是單點(diǎn)擴(kuò)張下生成的M3(C)的KS-格.在此基礎(chǔ)上，把這兩種KS-格分別嵌入到M4(C)中，構(gòu)成了生成von neumann代數(shù)為M2(C)⊕C⊕C和M3(C)⊕C的KS-格，并加以證明.

下面介紹所涉及的基本概念和符號(hào).

令H為可分的復(fù)Hilbert空間，B(H)為H上的有界線性算子的全體.(B(H))是B(H)中的全體投影組成的集合.

設(shè)S為B(H)中的正交投影集，用A lg S表示使得S中每個(gè)投影都不變的有界線性算子的全體構(gòu)成的代數(shù)，它是B(H)中一個(gè)弱算子的閉子代數(shù)，記為

相應(yīng)地，對(duì)于B(H)中的子集L，用Lat L表示L中的不變投影格，記為

在一般情況下，總有S?Lat A lg S和L?A lgLat L.

定義1 設(shè)A是B(H)的一個(gè)子代數(shù)，如果A=A lgLat A，則稱A是自反代數(shù).設(shè)L是B(H)的子空間格，如果L=Lat A lg L，則稱L是自反格.

定義2 設(shè)N為Hilbert空間H上的一個(gè)投影集，如果N為全序集且包含0和恒等算子I，則稱N為一個(gè)套，套具有自反性.N相應(yīng)的不變子空間的格代數(shù)A lg N為套代數(shù)，由N生成的Von Neumann代數(shù)N″為套代數(shù)的核，稱A lg N∩(A lg N)*為套代數(shù)A lg N的對(duì)角.

定義3 設(shè)A為B(H)中的子集，稱A'={B∈B(H):AB=BA，?A∈A}為A在B(H)中的交換子.A的二次交換子A″是A'的交換子，即A″=(A')'.

定義4 設(shè)M1和M2是作用在H上的兩個(gè)投影格，若存在H上的可逆算子T，使得TM1=M2，則稱M1和M2相似，其中TM1={Ran(TPT－1):P∈M1}，Ran(A)表示算子A的值域投影，即H到A的值域閉包上的投影.

定義5 設(shè)L是B(H)的子空間格，E∈L，定義:

定義6 若B(H)的子代數(shù)A滿足:

(1)A是自反代數(shù).

(2)如果B(H)的自反子代數(shù)B包含A，即A?B，并且有B∩B*=A∩A*，那么A=B，則稱A為Kadison-singer代數(shù)(或 KS-代數(shù)).

若KS-代數(shù)A的對(duì)角子代數(shù)A∩A*為因子時(shí)，稱此類KS-代數(shù)為Kadison-singer因子，簡稱KS因子.若B(H)中的投影格L是生Von Neumann代數(shù)L″的最小自反格，即L自反且A lg(L)是KS-代數(shù)，則稱L為KS-格.

In表示n階矩陣單位，在不引起混淆時(shí)，簡記為I.另外，引入矩陣代數(shù)Mn(C)中的矩陣單位系統(tǒng)Ei，j，i，j=1，2，…，n，其中 Ei，j表示第 i行第 j列為 1，其他位置為 0 的 n 階方陣.由于討論的為四階矩陣，因此，這里n=4.

引理1 設(shè)L是B(H)的一個(gè)有限投影格，則L為完全分配格等價(jià)于?E∈L，E#=E［6］.

引理2 設(shè)V是無限域上的有限維向量空間，L是V的子空間格的有限格，那么，L是自反的當(dāng)且僅當(dāng)L 是分配格［7，8］.

接下來的部分就是利用這兩個(gè)例題中出現(xiàn)的KS-格，嵌入到四階矩陣代數(shù)中得到的新的KS-格.

2 四階矩陣代數(shù)中兩個(gè)新的kadison-singer格的例子

命題1 設(shè) P1=E11，+E33，P3=P1∨ P2=，則 L= {0，P1，P2，P3，I}為生成Von Neumann代數(shù)M2(C)⊕C⊕C的KS-格.

證明 首先，由于P1∧P2=0，P1∨P2=P3，所以易證L為一個(gè)格.進(jìn)一步驗(yàn)證，L是一個(gè)分配格.經(jīng)簡單計(jì)算，對(duì)任意E，F(xiàn)，G∈L，均有(E∨F)∧G=(E∧G)∨(F∧G).因此，L是一個(gè)自反格.

設(shè) A=(aij)∈A lg(L)，aij∈C ，根據(jù) P1AP1=AP1，可得 a21=0，a31=0，a41=0;根據(jù) P2AP2=AP2，可得a11+a12=a22，a13=a23，a42=0，a43=0.所以，

從而有L'=(A lg L)∧(A lg L)*=C I2⊕C⊕C，可得L″=M2(C)⊕C⊕C.

下面證明L的極小性.

去掉 P1，則 M0={0，P2，P3，I}?L，M0的格代數(shù)為

進(jìn)一步得到L″=C I2⊕C⊕C，即L不能生成von neumann代數(shù)M2(C)⊕C⊕C，所以P1不能去掉.

去掉P2，則L中余下的元素組成的集合M0= {0，P1，P3，I}，P1，P3同上.顯然，M0中的元素是可交換的，因此，M0生成的von neumann代數(shù)是可交換的，與M2(C)⊕C⊕C的不可交換性矛盾.所以，P2不能去掉.極小性得證.

從而可得:L″=M3(C)⊕C.

下面證明L的極小性.

去掉 P1，則 L= { 0，P2，P3，P4，I}.由于P1=P2∧P4，此時(shí)，P2∧P4?L，由格的定義可知，L不是一個(gè)格，所以L更不可能為一個(gè)KS-格.

可得L'=(A lg L)∧(A lg L)*=C⊕C I2⊕C，所以L″=C⊕M2(C)⊕C≠M(fèi)3(C)⊕C，因此，P3不能去掉.

由于P4=P1∨P3，當(dāng)P1，P3∈L時(shí)，保證L為一個(gè)格，P4必須∈L.

由以上所述可知，L={0，P1，P2，P3，P4，I}為生成Von Neumann代數(shù)M3(C)⊕C的KS-格.

利用低階矩陣代數(shù)中已經(jīng)研究的比較徹底的KS-格嵌入到高階矩陣中，進(jìn)而構(gòu)造出高階矩陣代數(shù)中一些新的KS-格的方法，可以作為一種構(gòu)造KS-格的方法在研究KS-格時(shí)使用.

［1］KADISON R.SINGER I.Triangular operator algebras.Fundamentals and hyper-reducible theory［J］.Amer Journal of math，1960(82):227-259

［2］GE L，YUAN W.Kadison-Singer algebras，Ι［J］.hyperfinite case，Proc.Natl.Acad.Sci.USA，2010，107(5):1838-1843

［3］GE L，YUAN W.Kadison-Singer algebras，Ⅱ［J］.hyperfinite case，Proc.Natl.Acad.Sci.USA，2010，107(11):4840-4844

［4］HOU G J.Cohomology of a class of Kadison-Singer algebras.Science in China Series A［J］.Mathematics，2010，53:1827-1839

［5］董璦菊，侯成軍，譚軍.矩陣代數(shù)Kadison-Singer格的分類［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào):中文版，2011，54(2):333-342

［6］魯世杰，陸芳言，李鵬同，等.非自伴算子代數(shù)［M］.北京:科學(xué)出版社，2004

［7］胡長流，宋振明.格論基礎(chǔ)［M］.開封:河南大學(xué)出版社，1990

［8］周驚雷.分配格上向量線性相關(guān)性探討［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，27(4);319-321