半連續(xù)模糊映射的性質(zhì)

劉婷婷

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶401331)

1 簡單介紹

上下半連續(xù)實值函數(shù)在優(yōu)化理論中扮演重要的角色.此處引進了關(guān)于模糊集和模糊映射的上下半連續(xù)的概念和參考了很多文獻.例如，Ramik研究了上/下半連續(xù)的模糊集的概念.基于上半連續(xù)模糊集的概念，Ramik確定了決定獲得最大-最小值的條件.

在Hausdorff分離定理的基礎(chǔ)上，Diamond和Kloeden［4］引入上下半連續(xù)模糊映射的概念.最近，Bao和Wu［1］通過在模糊數(shù)上的“模糊較大值”，引進了一種新的上下半連續(xù)模糊映射的概念.在參考文獻［5］里，“模糊較大值”的線性準則在模糊數(shù)上是一種偏序關(guān)系.基于Goetschel和 Voxman［2］提出的線性準則，論文［6］延伸了從一個實值函數(shù)到模糊映射的維爾斯特拉斯定理.

2 預(yù)備知識

令Rn為n維歐式空間，一個模糊集u:Rn→I=［0，1］的支集，記為sup p(u)，定義為sup p(u)={x∈Rn:u(x)＞0}.

正規(guī)集:一個模糊集u:Rn→I是正規(guī)的，如果［u］1≠?.

α －水平集:令 α∈I，一個模糊集 u:Rn→I=［0，1］，記為［u］α，α －水平集定義為

其中cl(sup p(u))定義為支集的閉包.所有的模糊數(shù)記為F，所考慮的是F映射從Rn的子集S映到F，稱這樣的映射為模糊映射.顯然能證到一個模糊映射集u:R1→I當且僅當

(i)對于每個 α∈［0，1］，［u］α為一個有界閉區(qū)間.

這樣，可定義模糊數(shù)u的參數(shù)形式{(a(α)，b(α)，α)0≤α≤1}，其中 a(α)和 b(α)分別記為［u］α的左和右端點.

定義1［2］設(shè) m，n為兩個模糊數(shù)，參數(shù)表達式分別為{(a(α)，b(α)≤α≤1}和{(c(α)，d(α)，≤α≤1}，特別地，m大于等于n(記作m≥－n).

滿足

緊接著，令 S為非空 Rn的子集，對于任意 x∈Rn和 δ＞0，令Bδ(x)={y∈Rn:‖y－x‖ ＜ δ}.

定義3［8］一個實值函數(shù)f:S→R1是

(1)在 x0∈S上上半連續(xù)，如果?ε ＞0，存在一個 δ=δ(x0，ε)＞0，使得 f(x)＜f(x0)+ε，其中 x∈S∩Bδ(x0)，并且f在S上是上半連續(xù)的，如果它在S的每個點都是上半連續(xù)的.

(2)在 x0∈S上下半連續(xù)，如果?ε ＞0，存在一個 δ=δ(x0，ε)＞0，使得 f(x)＞f(x0)－ε，其中 x∈S∩Bδ(x0)，并且f在S上是下半連續(xù)的，如果它在S的每個點都是下半連續(xù)的.

引理1［9］令X是一個非空有界閉的Rn的子集，一個實值函數(shù)f:Rn→R1在X上是上(下)半連續(xù)，則在X上可獲得它的最大(小)值.

(2)因為f(x)在任何內(nèi)閉區(qū)間上無上界，所以對Bδ1(x1)，?x2∈Bδ1(x1)，使得f(x2)＞2，而由f(x)的下半連續(xù)，知?δ＞0(令，使得?x∈B(x)?B(x)，有 f(x)＞2.2δ22δ11

(3)由此繼續(xù)下去，可得到一串閉區(qū)間Bδ1(x1)?B1δ2(x2)?…?B2δn(xn)…，區(qū)間長→ +∞時)，且對每個區(qū)間 Bδn，恒有 f(x)＞n.

(4)根據(jù)區(qū)間套定理，?ξ∈δn(n=1，2，…)，所以 f(ξ)=+∞.矛盾

注2 定理2是對參考文獻［10］由一維到n維空間的推廣.

3 上下半連續(xù)模糊映射

定義4［1］令F:S→F的一個模糊映射的參數(shù)形式為

(1)F:S→F在x0∈S上是上半連續(xù)的，如果a(α，x)和b(α，x)，對于所有的α∈I，在x0處都上半連續(xù);F:S→F是上半連續(xù)的，如果它在S的每個點都上半連續(xù).

(2)F:S→F在x0∈S上是下半連續(xù)的，如果a(α，x)和b(α，x)，對于所有的α∈I，在x0處都下半連續(xù);F:S→F是下半連續(xù)的，如果它在S的每個點都下半連續(xù).

4 主要結(jié)論

引理2［9］如果F:Rn→F是上半連續(xù)，則TF:Rn→R1也是上半連續(xù).

引理3［9］如果F:Rn→F是下半連續(xù)，則TF:Rn→R1也是下半連續(xù).

引理4［9］令X為一個非空的Rn的有界閉子集，如果F:X→F是一個上半連續(xù)函數(shù)，則F在X上達到最大值.

注3 令X為一個非空的Rn的有界閉子集，如果F:X→F是一個下半連續(xù)函數(shù)，則F在X上達到最小值(證明方法相同).把條件有界閉改為緊集也成立.

證明 若F為上半連續(xù)映射，由引理4知，F(xiàn)有上界，下證其有下界.

因為F上半連續(xù)，則TF在X上為上半連續(xù)函數(shù)，由定理2得存在閉區(qū)間X，使得TF有下界.因為X為閉的，則TF能達到下確界.

設(shè)在x＊＊∈X達到下確界，由式(3)得，x＊＊為F的下確界，則F在X中有界.n

注4 定理2可改為(ai，bi)為一開區(qū)間(ai，bi)∈R，存在 X 為(ai，bi)中的閉集，如果 F:ai，bi)→F上的下半連續(xù)，則F在X中保持有界.

［1］BAO Y E，WU CX.Convexity and semicontinuity of fuzzy mappings［J］.Comput Math Appl，2006(51):1809-1816

［2］GOETSCHEL R，VOXMAN W.Elementary fuzzy calculus［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986(18):31-34

［3］RAMIK J，VLACH M.Pareto-optimality of compromise decision［J］.Fuzzy Sets and Systems，2002(129):119-127

［4］YANG X.A property on convex fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，2002(126):269-271

［5］YANG X.A note on convex fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1993(53):117-118

［6］SYAU Y R，LEE E S.Fuzzy Weierstrass theorem and convex fuzzy mappings［J］.Comput Math Appl，2006(51):1741-1750

［7］YANG X.Some properties of convex fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1995(72):129-132

［8］AUBIN JP.Applied Abstract Analysis［M］.Wiley-Interscience，New York，1977

［9］SYAU Y R.A class of semicontinuous fuzzy mappings［J］.Applied Mathematics Letters，2008(21):824-827

［10］LONG PJ.上半連續(xù)和下半連續(xù)［DB/OL］.http:∥wenku.baidu.com/view/6da61473f242336c1eb95e8b.html，2010