一類非擴張型映象不動點定理的推廣

羅 納

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶401331)

1 預備知識

定義1［1］設(X，d)是一完備的度量空間，T是X的自映象，如果T滿足下面的一條件(m)，m=1，2，3，4，則稱T是屬于第(m)類的非擴張型映象.

(1)d(Tx，Ty)≤d(x，y)，?x，y∈X.

第(1)類非擴張型映象即為通常的非擴張映象，第(2)類非擴張型映象即為Kannan型非擴張映象，這兩類映象分別是第(3)類映象當b=c=0，a≤1和a=c=0時的特例.

定理1［2］設(X，d)是一非空完備的度量空間，T是X的自映象，并且滿足條件:

其中a≥0，b＞0，c＞0且a+2b+2c=1，則T有唯一不動點.

定理1中的條件即第(3)類非擴張型映象的條件，根據(jù)它和第(4)類非擴張型映象條件的聯(lián)系，此處將上述定理中的非負實數(shù)a，b，c推廣為了非負函數(shù)a，b，c，得到了下面的定理.

2 主要結(jié)果

定理2 設(X，d)是一非空完備的度量空間，T是X的自映象，并且滿足條件:

?x，y∈X，其中 a 為 x，y的非負函數(shù)，b，c為 x，y 的正函數(shù)，且 a(x，y)+2b(x，y)+2c(x，y)=1，則 T 有唯一不動點.

下面證明z是T的一個不動點.假設存在n，使得

［1］張石生.不動點理論及應用［M］.重慶:重慶出版社，1984

［2］POPESCU O.Two generalizations of some fixed point theorems［J］.Com and Math with Applications，2011(62):3912-3919

［3］BOGIN J.A generalization of a fixed point theorem of Goebel，Kirk and Shimi［J］.Canad Math Bull，1976(19):7-12