E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)性質(zhì)及解集特征

蘇文濤，廖 偉，張 貞

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

廣義凸在數(shù)學(xué)規(guī)劃和優(yōu)化理論中起著重要的作用.自20世紀(jì)60年代以來，凸函數(shù)的概念通過不同的途徑被擴(kuò)充.Hanson［1］把凸函數(shù)的概念推廣到預(yù)不變凸函數(shù)，之后Ben-Israel［2］等和楊新民［3］又推廣和研究了預(yù)不變凸、廣義半預(yù)不變凸函數(shù)，Youness［4］和Emam［5］將凸函數(shù)推廣得到了E-凸函數(shù)和半E-凸函數(shù)，彭再云［6］進(jìn)一步研究了E-擬凸函數(shù)的一些性質(zhì)及其判定條件，給出了E-擬凸函數(shù)與擬凸函數(shù)在一定條件下的等價(jià)關(guān)系，譚仁新在文獻(xiàn)［7］中將E-預(yù)不變凸函數(shù)進(jìn)一步推廣，得到了半E-預(yù)不變凸函數(shù)的概念，討論了這類函數(shù)解集的特征，提出了可微最優(yōu)化問題的最優(yōu)解，同時(shí)在文獻(xiàn)［8］中提出了E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)的概念，但并未對(duì)其性質(zhì)做過多的討論，此處在文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上，結(jié)合半E-預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì)以及E-擬凸函數(shù)的一些性質(zhì)，對(duì)E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)的性質(zhì)做進(jìn)一步討論，同時(shí)給出其優(yōu)化解集特征.

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出E-不變凸集、半E-凸函數(shù)、E-預(yù)不變凸函數(shù)、半E-預(yù)不變凸函數(shù)和E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)的定義.

定義1［9］稱集合 A?Rn是關(guān)于 η 的 E-不變凸集，如果對(duì)于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈A.

顯然，由定義可知E(A)?A.

定義2［5］稱函數(shù)f:M?Rn→R是在E凸集M上是半E-凸函數(shù)，如果存在一個(gè)映射E:Rn→Rn，對(duì)于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有

定義3［9］稱函數(shù)f:A?Rn→R是在E-不變凸集A上關(guān)于η的E-預(yù)不變凸函數(shù)，如果存在一個(gè)映射η:Rn×Rn→Rn，對(duì)于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有

定義4［7］稱函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關(guān)于η的半E-預(yù)不變凸函數(shù)，如果存在一個(gè)映射η:Rn×Rn→Rn，對(duì)于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有

定義5［8］稱函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關(guān)于η的E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)，如果存在一個(gè)映射 η:Rn× Rn→Rn，對(duì)于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有

2 E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)的性質(zhì)

下面給出E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì):

定理1 設(shè)函數(shù) f:A?Rn→R是在 E不變凸集 A上關(guān)于 η的 E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)，集合 Lα=，f(x)≤α，?α∈R }，則 Lα是 E-不變凸集.

證明 ?x，y∈Lα，有 x，y∈A，且 f(x)≤α，f(y)≤α.

因?yàn)閒:A?Rn→R是在E不變凸集A上關(guān)于η的E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)，所以存在η:Rn×Rn→R，使得?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈A，且 f［E(x)+λη［E(x)，E(y)］］≤max{f(x)，f(y)}≤α，所以 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈Lα.故 Lα是 E 不變凸集.

定理2 設(shè)函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關(guān)于η的E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)，g:R→R是一非減函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)g·f:Rn→R是A上的E-半預(yù)不變擬凸函數(shù).

證明 因?yàn)閒:Rn→R是在E不變凸集A上關(guān)于η的E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)，所以存在映射η:Rn×Rn→Rn，對(duì)于?x，y∈A，?λ∈［0，1］，有

又g:R→R是一非減函數(shù)，所以

g ·f［E(x)+λη［E(x)，E(y)］］≤g{max［f(x)，f(y)］}≤max{g ·f(x)，g ·f(y)}，故復(fù)合函數(shù) g ·f:Rn→R是A上的E-半預(yù)不變擬凸函數(shù).

定理3 設(shè)函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關(guān)于η的E-預(yù)不變擬凸函數(shù)，則f(x)是A上關(guān)于η的E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)的充要條件是f［E(x)］≤f(x)或者f［E(x)］≤f(y).

證明 先證必要性.設(shè)函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關(guān)于η的E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)，則

同理可得 f［E(y)］≤f(x)或 f［E(y)］≤f(y).

再證充分性.設(shè)函數(shù)f:A?Rn→R是在E不變凸集A上關(guān)于η的E-預(yù)不變擬凸函數(shù)，所以有

3 E-半預(yù)不變擬凸規(guī)劃解集的特征

考慮下面單目標(biāo)問題:

其中 E:Rn→Rn，f:M?Rn→R，gk:Rn→R，k=1，2，…，m 都是關(guān)于 η 的 E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)，M={x∈X(x)≤0，k=1，2，…，m}，X 是關(guān)于 η 的 E － 不變凸集.

定理4 問題(P)的可行解集M是關(guān)于η的E－不變凸集.

證明 設(shè)?x，y∈M?X，由X 是關(guān)于η 的E-不變凸集知，?λ∈［0，1］，有E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈X.

又知gk(x)在X上是關(guān)于η的E-半預(yù)不變擬凸函數(shù)，所以有

又 gk(x)≤0，gk(y)≤0，于是 gk{E(x)+λη［E(x)，E(y)］}≤0，所以 E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈M，所以 M是關(guān)于η的E－不變凸集.

定理5 問題(P)的最優(yōu)解集D?M也是關(guān)于η的E－不變凸集.

證明 設(shè) x，y∈D，則

于是E(x)+λη［E(x)，E(y)］∈D，?λ∈［0，1］，即最優(yōu)解集D也是關(guān)于η的E－不變凸集.

［1］HANSON M A.On Sufficiency of the Kuhn-Tucker Conditions［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1981(80):545-550

［2］BEN-ISRAEL A，MOND B.What Is Invex［J］.Journal of the Australian Mathematical Societu，1986(28B):1-9

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