基于分離信源信道碼的相關(guān)信源在有噪廣播信道下的可靠和安全傳輸

郎非，王保云,2，鄧志祥

（1. 南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院, 江蘇 南京 210003; 2. 東南大學(xué) 移動通信國家重點實驗室, 江蘇 南京 210096）

1 引言

傳統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)安全保密通信是通過對明文加密來實現(xiàn)的。收發(fā)雙方會共享一個密鑰，而竊聽者是不知道密鑰的。這種傳統(tǒng)加密系統(tǒng)面臨如下問題[1]：理論上無線網(wǎng)絡(luò)中的竊聽者可以攔截任何信息，包括密鑰本身；具有主動攻擊特性的竊聽者能夠干擾合法用戶之間的信息傳輸，使得傳輸質(zhì)量下降；復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的密鑰管理分配非常困難。1948年，香農(nóng)開創(chuàng)性地借助信息論(information theory)證明得到了一個驚人的結(jié)論：如果密鑰的長度不小于明文的長度，則可實現(xiàn)絕對保密(perfect secrecy)。之后Wyner、Csiszár和 K?rner等人[2]在沒有使用密鑰的前提下，證明了在竊聽信道或廣播信道(BC)下安全通信是可能的?；谏鲜鱿闰?qū)們的工作，形成了信息理論安全(information-theoretic security)最基本的理論。采用這種方法可以從本質(zhì)上克服傳統(tǒng)加密系統(tǒng)的上述缺陷，并且即使竊聽者具有無限的計算資源，其安全容量也不會受到任何影響。近些年來，隨著無線終端設(shè)備的普遍使用，開放的無線媒介易被非法用戶侵入特質(zhì)，使得無線通信安全問題被日益關(guān)注。2008年之后，越來越多的信息理論學(xué)者開始重新關(guān)注信息理論安全這一研究方向[3～10]。

基于信息理論方法實現(xiàn)信息安全傳輸?shù)幕舅枷耄河捎谛诺涝肼曇约八ヂ湟鹦诺捞匦缘牟▌?，使得物理層信道產(chǎn)生固有的隨機性，利用合法接收者與竊聽者所接入信道的隨機性不同來實現(xiàn)合法用戶之間信息或部分信息的安全傳輸。例如，信息的發(fā)送者可以有意地在原有信息的基礎(chǔ)上增加隨機信息，在保證合法用戶接收信息不受影響的同時，能夠阻止竊聽者截獲有效信息。Csiszár和 K?rner[2]早期研究的廣播信道只含1個公共消息和1個保密消息。近些年來，Liu等人[9]率先對含有2個保密消息的廣播信道進行研究，并給出了安全容量區(qū)域的內(nèi)界和外界。緊接著，Xu等人[10]對于這一模型進一步推廣，給出了含有2個保密消息和1個公共消息的廣播信道的速率——疑義度區(qū)域的內(nèi)界和外界。

相關(guān)信源傳輸問題最早起源于無噪網(wǎng)絡(luò)，有2個著名的分布式信源編碼的例子。1)相關(guān)信源的分離編碼，即著名的Slepian-Wolf編碼[11]。這里的分離編碼指相關(guān)信源經(jīng)過壓縮映射為2個消息集合，再分別經(jīng)過兩路無噪信道到達同一接收端。該編碼方案得到一個令人驚訝的結(jié)果：當(dāng)兩路信道所能承載的碼率不小于2個信源的聯(lián)合熵時，則在接收端能夠同時無損恢復(fù) 2個信源。2)Gray-Wyner系統(tǒng)[12]，該模型對Slepian-Wolf模型進行了推廣，雙信源經(jīng)過3路無噪信道到達2個接收端。其中一路為公共信道，能同時到達2個接收端，其余兩路為私人信道，分別到達2個不同的接收端。Gray和Wyner最先給出該模型系統(tǒng)的可達速率區(qū)域，并證明了當(dāng)公共信道能夠被最大限度地使用時，可以得到最優(yōu)碼。近期針對Gray-Wyner系統(tǒng)，Timo等人[13]給出當(dāng)接收端有邊信息時信源碼率的內(nèi)界和外界，Kamath等人[14]則對該系統(tǒng)的Gács-K?rner公共信息對偶性質(zhì)進行了研究；Tandon等人[3]將這一問題擴展到N個接收用戶，并考慮不同用戶之間的信息保密。

相關(guān)信源在有噪廣播信道下傳輸?shù)膯栴}由Han和Coast[15]首先提出，Tuncel在2006年將Slepian-Wolf碼擴展到有噪廣播信道，他們均使用“聯(lián)合信源信道編碼”得到可達界[16]。在這之后其他人[17～22]所提出的編碼方案也都是基于聯(lián)合編碼，好像從一開始就沒有考慮使用“分離信源信道編碼”。這主要因為“香農(nóng)信源信道分離定理”[23]揭示了對于多用戶信道，信源與信道分開獨立進行編碼在很多情況下得不到最優(yōu)解。而聯(lián)合編碼將傳統(tǒng)的信源編碼器與信道編碼器整合為一個編碼器，直接將信源映射為碼字進行發(fā)送，不再有信源映射為消息、消息再映射為碼字這樣“分離”的2個過程。對于多址信道(MAC)，聯(lián)合編碼可以利用不同接入節(jié)點之間的信源相關(guān)性提高節(jié)點之間的協(xié)作通信能力。對于分離編碼，由于消息和碼字彼此是獨立的，這反而浪費了信源相關(guān)性這一特質(zhì)，使得編碼效率降低。對于廣播信道，只要不涉及節(jié)點之間的協(xié)作，似乎使用分離編碼沒有那么糟糕。但是作者仍然注意到聯(lián)合編碼在整合信源和信道的統(tǒng)計分布特性方面非常方便。

本文研究離散無記憶的2個相關(guān)信源在有噪廣播信道下可靠和安全傳輸?shù)膯栴}，如圖1所示，這一問題相當(dāng)于對前面有關(guān)信道安全、分布式信源編碼和信源信道編碼等問題進行了擴展。本文仍然使用傳統(tǒng)的分離信源信道編碼策略，并結(jié)合疊加碼[23]、double binning[9]和安全速率劃分[10]等技術(shù)，使得傳輸?shù)目煽啃耘c安全性得到保證。對于可靠性來說，通過引入 Gray-Wyner系統(tǒng)，明確相關(guān)信源中不同信息種類的概率關(guān)系，劃分一類公共消息 M0和二類私人消息M1和M2，如圖2所示。通過優(yōu)化三類信息的概率分布關(guān)系，使得信源編碼與信道編碼的2個過程在結(jié)合之后能夠得到一個比較高效的編碼。對于安全性來說，首先，通過引入輔助變量V調(diào)整信源輸出的概率關(guān)系，使得消息M0、M1和M2三者之間相互獨立，這能夠有效地防止不同消息之間的信息泄露；其次，分離編碼本身能夠做到消息和發(fā)送碼字獨立，這使得信道本身的安全容量不會受到信源相關(guān)性的影響而降低，這也是分離編碼相比較聯(lián)合編碼的優(yōu)勢。

圖1 分離信源信道編碼的廣播信道模型

圖2 Gray-Wyner 信源編譯碼系統(tǒng)

基于上述思想，本文得到了如下結(jié)論：1)相關(guān)信源在一般廣播信道(general BC)下可靠和安全傳輸?shù)某浞謼l件；2)當(dāng)相關(guān)信源的公共信息為二者互信息時，可獲得最佳的壓縮傳輸效率，并在一定條件下傳輸可做到部分絕對保密；3)退化信源集(degraded source set)在一般廣播信道下可靠和安全傳輸?shù)某浞直匾獥l件；4)相關(guān)信源在 more capable廣播信道下可靠和安全傳輸?shù)某浞直匾獥l件。以上4條結(jié)論及其部分證明在本文的第3節(jié)中進行表述，其中，結(jié)論1)的充分性證明和結(jié)論3)的必要性證明分別在附錄A和附錄B中進行表述。

2 基本定義和相關(guān)工作

本文符號標(biāo)記規(guī)則：斜體大寫字母表示隨機變量，如X；斜體小寫字母表示隨機變量的一個實例，如x；Xn和xn表示分組長度為n的隨機變量序列及其實例；用于表示 ( X ,X ,… ,X )，其中，第

1i+11i+21j一個下標(biāo)“1”標(biāo)識變量的名稱，如X1, X2等，i和j指單個變量在變量序列中的序號；表示 ( X ,

11X12, … ,X1i)，變量實例寫法亦如此；隨機變量X的取值集合稱為字母集，用X表示。隨機變量之間的Markov關(guān)系p(x)p(x|y)p(z|y)的簡化表示為X→Y→Z，可以推出X←Y←Z也成立，也可以用合并方式表達X－Y－Z。本文使用ε, ε′＞0專門來表示一個小的固定值，且ε′＜ε。使用δ( ε)＞0表示ε的函數(shù)，并當(dāng)ε→0時，δ (ε)→0。εn≥0為n的函數(shù)，當(dāng)n→∞ ，εn→0。

2.1 問題定義

首先給出通信模型的基本定義，分為信源和信道兩部分。

Gray-Wyner系統(tǒng)如圖 2所示，由六元組(S1, S2,fGW,M0, M1, M2)來表示。 ( S1, S2)指信源字母集， (M0, M1,M2)是消息字母集。雙信源經(jīng)過三元編碼器組 fGW映射輸出3個消息。

(w0, w1, w2) ∈ (W0, W1, W2) 。一般來說信道消息彼此要求獨立，而對于信源消息沒有這個要求。

廣播信道由七元組 ( X , p, Y1, Y2, f,ψ1, ψ2)來表示，X是信道輸入字母集，Y1和Y2是信道輸出字母集，p是廣播信道的轉(zhuǎn)移概率p(y1,y2|x)，f為信道編碼映射函數(shù)，Ψ1和Ψ2為2個譯碼映射函數(shù)。假設(shè)信道是離散無記憶的。

定義1 當(dāng)發(fā)送信源為 ( sn, sn)時，分組長度為n

12的序列的譯碼錯誤概率定義為

由定義2還可以引出如下新的定義。

1) 保密信息容量： CS1= m ax ES1， CS2= m ax ES2。

2) 絕對保密： CS1= H ( S1)， CS2= H ( S2)。

3) 部分絕對保密： CS1=H( S1|S2)， CS2=H( S2|S1)。

定義3 信源(S1, S2)被允許經(jīng)過廣播信道傳輸需滿足如下條件，當(dāng)碼字長度n足夠大時，

滿足這樣條件的信源集合被稱為允許信源區(qū)域(admission source region)。這是滿足一定可靠性水平ε和安全性水平ES1ES2的信源對(S1,S2)可達區(qū)域，通常有一組不等式來進行限定。定義 3對 Han和Costa的定義[15]進行了擴展，增加對信源安全的限制。允許信源區(qū)域由不等式組來界定，它們可以理解為可靠和安全傳輸?shù)南拗茥l件。

定義4 存在一個滿足某一限定條件的信源信道碼序列，使得相關(guān)信源能夠可靠且安全地在廣播信道中傳輸，則稱該限定條件為充分條件，亦稱允許信源區(qū)域內(nèi)界；反之，任何滿足可靠且安全傳輸?shù)男旁葱诺来a序列都必須滿足某一限定條件，稱該限定條件為必要條件，亦稱允許信源區(qū)域外界。當(dāng)內(nèi)界等于外界時，則稱該條件為充分必要條件，亦稱最優(yōu)限制條件，此時不等式所界定的區(qū)域為最優(yōu)允許信源區(qū)域，對應(yīng)的碼序列為最優(yōu)碼。

2.2 證明使用的相關(guān)引理

本節(jié)給出聯(lián)合典型序列的概念和證明要使用到的相關(guān)引理，詳細內(nèi)容可參考文獻[11,23,24]。

聯(lián)合典型序列：令 N ( a, b| xn, yn)標(biāo)識(a,b) 在序列對(x1,y1), (x2,y2),…,(xn,yn)中出現(xiàn)的次數(shù)。聯(lián)合概率分布p(x,y)的聯(lián)合典型集可表示為

其中，(xn,yn)為聯(lián)合典型集中的聯(lián)合典型序列，并能得到

引理2 假設(shè)

Xn～ p( xn|un)和 (un, yn) ∈ T(n)(U Y)，

ε′

當(dāng)且僅當(dāng) R ＜ I( X; Y| U ) - δ ( ε)。

引理3 （費諾不等式） 離散無記憶信道的碼書為C，且輸入消息W服從集合｛1,2,…,2nR}上的均勻分布，則有是在信道接收端對W的估計， P(n)= P r(W ≠ W ?)。

e

引理 4 （數(shù)據(jù)處理不等式）若 X－Y－Z構(gòu)成Markov 鏈，則有 I(X;Y)≥I(X;Z) 或 I(Z;Y)≥I(X;Z)。

3 主要貢獻

3.1節(jié)中給出本文的主定理，即定理1，其是針對一般的信源與信道條件而得到的可靠和安全傳輸限制條件。后面 3個小節(jié)（3.2節(jié)、3.3節(jié)、3.4節(jié)）分別考慮幾種特殊情況，其中，定理2是在考慮雙信源的公共信息滿足一定條件下得到的一個較優(yōu)結(jié)果；定理3則考慮雙信源是退化信源集時得到的一個最優(yōu)結(jié)果；定理4是在考慮廣播信道滿足“more capable”條件下得到的一個最優(yōu)結(jié)果。

3.1 相關(guān)信源可靠性和安全性傳輸?shù)南拗茥l件

定理1 輔助變量(V, U0, U1, U2)∈V×U0×U1×U2滿足如下Markov鏈

信源(S1,S2)經(jīng)過廣播信道 p(y1,y2|x)，到達各自的接收端。系統(tǒng)滿足可靠性和安全性傳輸?shù)某浞謼l件為

L1即為充分條件所界定的可達允許信源區(qū)域。其中， ES1和 ES2表示允許信源區(qū)域的疑義度（安全性）水平，以 ES1為例，考慮以下2種情況：

1) 當(dāng) S1滿足 H ( S1| V ) ＞ I( U1; Y1| U0)- I( U1; Y2,U2|U0)時，則疑義度水平 ES1恒等于信道安全容量CS=I( U1; Y1| U0) - I( U1; Y2, U2|U0)這一固定值；

2) 當(dāng) S1滿足 H ( S1|S2) ≤ I( U1; Y1| U0) - I( U1;Y2|U0)時，則 ES1等于H(S1|V)。

從編碼設(shè)計的角度，期望允許信源區(qū)域盡可能大，即不等式(6a)～(6d)左半部信源壓縮界越小越好；而右半部信道可達速率界越大越好。允許信源區(qū)域的計算結(jié)果，取值于所有符合Markov鏈?zhǔn)?4)和式(5)的聯(lián)合概率分布。兩條 Markov鏈?zhǔn)?4)和式(5)彼此是獨立的，即將信源與信道概率分布完全獨立開來，這是由分離編碼設(shè)計決定的。輔助變量V與S1,S2均相關(guān)，可看作是S1和S2的公共信息。U0代表信道傳輸?shù)墓残畔?，而U1和U2代表信道傳輸?shù)乃矫苄畔?，有一定的保密性要求?/p>

證明 見附錄A。

對于定理1考慮一種簡化情況，即信道“無噪”，并且在沒有安全性約束的條件下定理 1會退化為Gray-Wyner界[12]。

式(7)中假設(shè)三路無噪信道（一路公共信道和二路私人信道）所能承載的碼率分別為R0、R1、R2。

3.2 公共信息對信源壓縮率和疑義度的影響

在Gray-Wyner系統(tǒng)中（如式(7)所示），代表公共信息的輔助變量V的概率分布特性不僅會影響雙信源的壓縮效率，而且會影響疑義度水平（如式(6e)、式(6f)所示)。根據(jù)定理 1 和 Gray-Wyner界（式(7)）得到如下3個推論，其中，滿足推論1可以得到雙信源的最佳壓縮率，而滿足推論2和推論3條件的公共碼率R0可以得到次優(yōu)的保密條件，基于此3個推論得到定理2。

推論1 Gray-Wyner系統(tǒng)(R0,R1,R2)∈RG-W，當(dāng)滿足S1－V－S2時，則 R0+ R1+ R2= H( S1, S2)。

證明 顯然聯(lián)合熵 H ( S1, S2)代表信源 S1和 S2的最佳壓縮率。

由Gray-Wyner系統(tǒng)定義式(7)可得

又因為S1-V-S2，則有

所以有

當(dāng)不等式取等號時，即得推論1。

推論2 Gray-Wyner系統(tǒng)(R0,R1,R2)∈RG-W，最大公共信息速率 R0滿足 2R0+R1+R2=H(S1)+H(S2)，則 max R0=I(S1;S2)。

證明 由Gray-Wyner系統(tǒng)定義式(7)可得2R0+ R1+R2

令 I ( S2; V| S1) = 0 和 I ( S1; V | S2) = 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)S1、S2、V同時滿足Markov鏈

并由此會有如下不等式和等式。

以上過程均滿足可逆性，即存在一反向結(jié)論：當(dāng)(R0,R1,R2)∈RG-W且I(S1;S2)=R0時，有

進一步會得到

推論3 當(dāng)定理1中的S1和S2的公共信息等于兩者之間的互信息，并滿足

則相關(guān)信源傳輸可達到部分絕對保密，即

證明 公共信息的大小會直接影響疑義度，顯然由于公共信息可被任意接收用戶所識別，而公共信息又與信源 S1和 S2相關(guān)，會引發(fā)信息泄露。所以從安全性的角度考慮，本文期望公共信息盡量地小，同時還要滿足Markov約束條件S1-V-S2。后者約束條件保證了接收用戶在得到公共信息之后，不能夠利用已知信源（如S1）信息再獲取不同于公共信息的有關(guān)另一信源（如S2）的信息。從安全性的角度來看，推論3所設(shè)置的約束條件是在定理1的基礎(chǔ)上，盡可能地減少了公共信息量，從而獲得更高水平的安全性。

根據(jù)定理1和推論2，得到Markov鏈

再根據(jù)數(shù)據(jù)處理不等式，由S1-V-S2得到

由S2-S1-V得到

由S1-S2-V得到

故有

定理2 在定理1中，當(dāng)I(S1,S2;V)=I(S1;S2)時，則L1退化為L2。

證明

根據(jù)推論1～推論3，有如下結(jié)論

同理可得

綜合式(9)、式(13)、式(15)、式(16)，得到不等式組式(14)，定理2得證。

相比較定理1，定理2得到允許信源區(qū)域L2的信源壓縮界（不等式(14a)～不等式(14d)的左半部）是最優(yōu)的，并且滿足推論3中相關(guān)信源傳輸可達到部分絕對保密的條件。

3.3 退化信源集

定理3 信源S1和S2經(jīng)廣播信道發(fā)送給譯碼器1，同時只將 S1發(fā)送給譯碼器 2，稱該系統(tǒng)為具有退化信源集[17]的廣播信道，滿足可靠性和安全性傳輸?shù)某浞直匾獥l件為

證明 見附錄B。

充分必要條件所確定的區(qū)域L3為最優(yōu)允許信源區(qū)域，此時分離信源信道編碼為最優(yōu)碼。當(dāng)滿足I(U1;Y1|U0)-I(U1;Y2|U0)≥H(S1|S2)時，此時系統(tǒng)可以做到對S1“部分絕對保密”。

當(dāng)不考慮信源編碼僅對信道來說，系統(tǒng)簡化為具有一個公共消息W0和一個秘密消息W1的廣播信道，W0和W1的熵分別為nH(S2)和nH(S2|S1)。L3退化為Csiszár和K?rner的容量——疑義度界[2]。

3.4 More capable廣播信道

定理4 對于廣播信道p(y1,y2|x)，假設(shè)Y1的能力大于Y2的能力，即對于所有輸入分布p(x)，都有I(X;Y1)≥I(X;Y2)，則稱該信道為more capable廣播信道[23]，相關(guān)信源 S1和 S2在該信道上滿足可靠性和安全性傳輸?shù)某浞直匾獥l件：

證明

首先給出定理3的另外一種等價表達形式。

注釋 L'3仍是充分必要條件，并且在不考慮安全的情況下，用(R0,R1)替換不等式組(20a)～不等式組(20c)的左半部的壓縮界，則L'3退化為具有退化消息集或more capable廣播信道的一個容量界[23]。這里由于篇幅限制，不再對L'3進行證明。

充分性 將不等組(20)中 U 替換 U0，X替換U1，即得不等式組(19)。

必要性 只需證明不等組(20)中的信道外界（不等式右側(cè)）都不大于不等式組(19)右側(cè)的互信息表達式，則L4也是一個外界。

當(dāng)滿足L'3中 U0→ U1→ X → ( Y1; Y2)和定理4中I( X; Y1) ＞ I( X; Y2)的條件時，則有

進一步會有

進一步考慮疑義度限制條件

綜合式(21)～式(23)，L4是L'3的一個外界，證畢。

在衡量廣播信道 p(y1,y2|x)的 Y1和 Y2的能力差異時，more capable是比較弱的約束條件，對于較強的約束條件less noisy或退化關(guān)系時，L4也成立。

4 結(jié)束語

本文研究相關(guān)信源在廣播信道下可靠安全傳輸?shù)膯栴}。基于分離信源信道碼，得到了相關(guān)信源在一般廣播信道下可靠和安全傳輸?shù)目蛇_允許信源區(qū)域的內(nèi)界，并給出了達到信源信息部分絕對保密的條件。當(dāng)滿足退化信源集或I(X;Y1)＞I(X;Y2)時，分別得到了可靠和安全傳輸?shù)淖顑?yōu)限制條件，此時分離信源信道碼為最優(yōu)碼，香農(nóng)信源信道分離定理依然成立。未來下一步的任務(wù)可以結(jié)合如下工作：如采用聯(lián)合信源信道編碼[18]，這會突破傳統(tǒng)的編碼結(jié)構(gòu)，雖然會帶來在編碼效率上的提升，但也會給安全傳輸帶來挑戰(zhàn)；Tandon在文獻[3]中討論了在Gray-Wyner系統(tǒng)中不同種類的公共信息對疑義度的影響；Villard在文獻[4]中提出了帶邊信息的有損單信源在竊聽信道中保密傳輸?shù)膯栴}。

附錄A 定理1證明

對充分性證明。對所用的信源信道編譯策略碼做簡要描述，分為如下幾個步驟。

1) 信源編碼器：使用 Gray-Wyner碼將雙信源序列映射成信源消息組 ( M ,M , M )。通過碼率分別為012R0、R1、R2的三路無噪線路分別將M0、M1、M2發(fā)送到信道編碼器。

2) 信道編碼器：將 M0、M1、M2分別一一映射為信道消息W0、W1、W2。再基于Xu等人的保密編碼策略[10]對消息進行信道編碼，產(chǎn)生信道傳輸碼字 xn。

上述編碼策略可看作由2個環(huán)節(jié)組成：信源編譯碼與信道編譯碼。其中，信道編碼策略與Xu相似，只是本文刪除了如下限制條件[10]

即本文不再要求消息速率R1和R2一定要大于信道的安全容量，這是因為在本文中信道消息速率還要受到信源編碼的影響。在信道編碼環(huán)節(jié)中，對變量的使用稱謂基本延續(xù)Xu在文獻[10]中的定義。

W∈ W = { 1,… ,2nR0}作為信道傳輸?shù)墓蚕ⅲ?0W∈ W ={1,… ,2nR1}和W∈ W = { 1,… , 2nR2}作為信道的私密1122消息分別發(fā)送給譯碼器1和譯碼器2。進一步將W1劃分為W∈ W ={1,… ,2nR10}和W∈ W = { 1,… ,2nR11}，W2劃分為10101111W∈ W ={1,… , 2nR20}和W∈ W = { 1,… ,2nR22}， 其 中 ，20202222R1=R10＋R11，R2=R20＋R22，W10和 W20指能夠同時被譯碼器1和譯碼器2進行消息譯碼。這種速率劃分的目的是考慮到當(dāng) R0＜min{I( U0; Y1) ,I( U0; Y2)}，公共消息的傳輸不能充分地利用公共信道，故將W10和W20也作為公共消息借助于該信道進行傳輸。說明：這里的公共信道或私人信道是一種邏輯上的表達，實際上都是同一物理信道；與Xu不同的是，本文還將討論W10和W20為空集時的情況。

1) 隨機碼生成

① 信源碼字：固定某一輸入分布 p ( v| s1, s2)。隨機生成2nR0個碼字 vn(m )， m ∈ { 1,… , 2nR0}，碼字由獨立同分布00的n個字母V構(gòu)成，V服從分布 p ( v)；均勻地將含有序列集合等分割成 2nR1個小艙（記為bin），bin的下標(biāo)為m1，m∈ { 1,… , 2nR1}；相似地均勻地將序列等分割成 2nR2個1bin，bin的下標(biāo)為m2， m2∈ { 1,… , 2nR2}。

(R0,R1,R2)∈RG-W（見式(7)）且滿足 Markov 鏈 S1－VS2，易知消息M0、M1、M2互相獨立。

② 信道碼字：固定某一信道輸入分布 p ( u0) p( u1|u0)?p( u2|u0)p( x| u1, u2)。首先做如下定義：

隨機生成2n(R10+R20+R0)個碼字碼字由獨立同分布的n個字母U0構(gòu)成，U0服從分布 p ( u0)。然后針對每一個生成2n(L11+L12+L3)個碼字i′∈ { 1,… , 2nL12}， i′ ∈ { 1,… , 2nL3}，碼字由獨立同分布的 n個字母U構(gòu)成，U服從分布 p ( u |u )；相似地生成2n(L21+L22+L3)1110個 碼 字(j, j′, j′)，j∈ { 1,… , 2nL21}， j′∈ { 1,… , 2nL22}，j′∈ { 1,… ,2nL3}，碼字由獨立同分布的n個字母U2生成，U2服從分布 p ( u2|u0)。對碼字索引(i, i′, i′)和(j, j′, j′)可通過“binning”技術(shù)來解釋。例如，可以隨機地將放置到2nL11個bin中，每個bin由i進行標(biāo)識，記作bin(i)；進一步把bin(i)劃分成2nL12個 sub-bin，被隨機劃分到其中一個 sub-bin中，記為sub-bin(i')。i''則是sub-bin(i')中的隨機序號。Liu把這一編碼技術(shù)稱為“double-binning”[9]，如表1所示。

2) 編碼

0

編碼器0再將消息m0發(fā)送給信道編碼器。編碼器1根據(jù)要發(fā)送的信源序列，選擇其所在bin，將bin的下標(biāo)m1發(fā)送給信道編碼器。同理編碼器2將所在bin的下標(biāo)m2發(fā)送給信道編碼器。

② 信道編碼：定義3個一一映射函數(shù) g0,g1, g2，其逆映射為

信道編碼器根據(jù)信源編碼器發(fā)送過來的消息 m0、m1、m2，分別經(jīng)過函數(shù)g0、g1、g2映射，得到信道消息w0、w1、w2，再經(jīng)過消息劃分得到w0、w11、w10、w22、w20。由此，可以首先得到(w ,w ,w )，然后從 2n(L11+L12+L3)個碼字10200( i, i′, i′)中挑選一個碼字用來傳輸w11。碼字的確定分為3種情況，其中，后2種情況采用和Xu[10]一樣的方式。

表1 double-binning

a) R11< L11。 2nL11個bin被均勻地劃分為 2nR11個cell，每個w1對應(yīng)一個cell。cell(w1)中有bin的數(shù)量為 2n(L11-R11)，隨機挑選一個bin (i)。再從bin(i)的 2n(L12+L3)個碼字中隨機地挑選一個( i, i′, i′)。

b) L11≤R11≤L11＋L12。每個bin含有消息w1的個數(shù)為2n(R11-L11)，把 2nL12個sub-bin放入到 2n(R11-L11)個 cell中，從cell(w1)中隨機挑選一個sub-bin，再從此sub-bin中隨機挑選一個( i, i′, i′)。

c) L11＋L12

相同的步驟可根據(jù)w22來挑選碼字(j, j′, j′)。此外還要求所挑選的碼字( i, i′, i′)和(j, j′, j′)滿足聯(lián)合典型

3) 譯碼

隨機碼的譯碼方法采用聯(lián)合典型序列譯碼方法，借助引理1和引理2。

進一步，根據(jù) ( w10, w20, w0)，尋找一組消息(i, i′, i′)滿足

根據(jù)(i, i′, i′)計算出w11。再由(w10,w11)得到消息w1。

② 信源譯碼：從信道譯碼中得到消息(w0,w1)，經(jīng)過映射得到信源消息 (m , m ) 。從bin(m1)中挑選唯一滿足01

4) 錯誤概率分析

除了信源編碼和信源譯碼的錯誤概率計算，其他與Xu一致，略作說明。

根據(jù)式(26)，信源編碼器會以錯誤概率接近于0的可能性找到一個消息m0，只要滿足

根據(jù)式(27)，信道編碼器會以錯誤概率接近于0的可能性找到一對消息(i',i'')，只要滿足

根據(jù)式(28)，譯碼器1以錯誤概率接近于0的可能性找到唯一一組只要滿足

根據(jù)信道碼字的定義式(25)可以得到

進一步根據(jù)式(29)、式(34)，譯碼器 1以錯誤概率接近于0的可能性找到唯一一組(i, i′, i′)。由此

進一步可以有無差錯譯碼(i, i′, i′)→w11→(w0,w1)→(m0,m1)。

12n(H(S1)-R1)。由 Gray-Wyner系統(tǒng)的可達域RG-W(見不等式組(7))可知

則有

由引理2、式(30)和式(36)可知，譯碼器1會以錯誤概率接近于0的可能性找到唯一。

5) 疑義度計算

對式(37)中步驟(a)～步驟(e)做如下解釋。

步驟(a) 將疑義度拆分為兩項，前項是信源編碼帶來的疑義度，后項是信道傳輸帶來的疑義度。

步驟(b) 根據(jù)編碼規(guī)則二元消息組(M1,M0)完全可以確定。

步驟(d) 由一一映射 W0= g0( M0)， W1= g2( M1)。

步驟(e) 公共信息W0可被任意接收者所譯碼，因此對疑義度不產(chǎn)生影響。

情況 1 當(dāng) H ( S1| V ) ＞ I( U1; Y1| U0) - I( U1;Y2, U2|U0)，即 R1＞L11。

步驟(38a)直接使用了Xu[10]的證明結(jié)果。由疑義度定義式(2)可得

情況 2 當(dāng) H ( S1| V ) ≤ I( U1; Y1| U0) - I( U1; Y2, U2|U0)，即R1≤L11。此時消息w1在廣播信道中傳輸可以保證絕對安全。也就是說，譯碼器2通過無線信道無法知道關(guān)于w1的任何信息，但是這不等于絕對安全，因為譯碼器2可以通過對序列的譯碼得到公共消息M0，M0含有的信息。另一方面，由Markov鏈S1-V-S2可以推出M1和M0是獨立的，由此M1是絕對安全，因此有

同理，在譯碼器2上的錯誤率分析和疑義度計算中，作者可以得到與譯碼器1對稱的結(jié)果。

綜合式(31)～式(36)和式(38)～式(42)，得到L1。

附錄B 定理3證明

充分性證明：要求在定理1的不等式組中V=S2，去掉U2即得定理3。

必要性證明：首先考慮有一個(2nH(S2), 2nH(S1|S2),n ) 碼可使得n長分組序列的譯碼錯誤率為。在上的概率分布為

根據(jù)費諾不等式(引理3)，再由 ( 2nH(S2), 2nH(S1|S2),n)碼映射為消息的數(shù)目為 M0個數(shù)為 2nH(S2)，M1個數(shù)為 2nH(S1|S2)，則有如下不等式

1) 允許信源區(qū)域外界計算

步驟(47b)：應(yīng)用費諾不等式性質(zhì)(見式(44)～式(46))。

2) 疑義度外界計算

同時

綜合式(47)、式(48)和式(49)，即得L3。定理3證畢。

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