有限群的弱s-置換嵌入子群

鐘 國，楊立英，韋華全，2，馬儇龍，周 洋

(1. 廣西師范學院數(shù)學科學學院，廣西 南寧 530023；2. 廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西 南寧530004)

有限群的弱s-置換嵌入子群

鐘 國1，楊立英1，韋華全1，2，馬儇龍1，周 洋1

(1. 廣西師范學院數(shù)學科學學院，廣西 南寧 530023；2. 廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西 南寧530004)

群G的一個子群H稱為在G中s-置換嵌入,如果對于任意的素數(shù)p||H|,H的Sylowp-子群也是G的某個s-置換子群的Sylowpp-子群.稱群G的子群H在G中弱s-置換嵌入,如果存在群G的次正規(guī)子群T和包含在H中的G的一個s-置換嵌入子群Hse,使得G=HT且H∩T≤Hse.利用弱s-置換嵌入子群的概念,研究了超可解群的構造,獲得了有限群為p-超可解的一些充分條件.

p-超可解群;弱s-置換嵌入;有限群

0 引 言

群G的子群H與K稱為可置換的,如果HK=KH.若H與G的每個子群可置換,則稱H是G的置換子群.1939年,Ore[1]證明了有限群的每個置換子群都是次正規(guī)的.1962年,Ito[2]證明了對有限群G的每個置換子群H,H/HG是冪零群.后來,Kegel[3]又給出了s-置換子群的定義:群G的子群H稱為在G中s-置換,若H與G的每個Sylow子群可置換.進一步地,Ballester-Boinches等[4]從嵌入子群的角度引入了s-置換嵌入子群的概念:稱群G的子群H在G中s-置換嵌入的,如果對于|H|的每個素因子p,H的Sylowp-子群也是G的某個s-置換子群的Sylowp-子群.2009年,李樣明等[5]引入了弱s-置換嵌入子群的概念,分別統(tǒng)一推廣了正規(guī)子群、置換子群、s-置換子群、s-置換嵌入子群、c-正規(guī)子群和c*-正規(guī)子群,從而統(tǒng)一推廣了若干熟知的重要結果.通過對弱s-置換嵌入子群的考察,利用子群弱s-置換嵌入性,推廣了最近一些結論．文中G總表示一個有限群,符號和術語都是規(guī)范的.

1 預備知識

定義1[5]設H是G的子群.稱H在G中弱s-置換嵌入,如果存在群G的次正規(guī)子群T和包含在H中的G的一個s-置換嵌入子群Hse,使得G=HT且H∩T≤Hse.

明顯,正規(guī)子群、置換子群、s-置換子群、s-置換嵌入子群、c-正規(guī)子群和c*-正規(guī)子群都是弱s-置換嵌入子群.但是,反之不然[5].

引理1[6-7]

1)s-置換子群是次正規(guī)子群;

2) 設P是G的p-子群,其中p∈π(G).則P在G中s-置換當且僅當NG(P)≥Op(G);

3) 設H在G中s-置換,P∈Sylp(H),p為素數(shù).如果P≤Op(G)或HG=1,則P在G中s-置換;

4) 設HsG是包含在H中的G的最大s-置換子群,則HsG是唯一包含在H中的G的最大s-置換子群,特別地,NG(H)≤NG(HsG).

5) 設H為G的s-置換嵌入子群,則HN在G中s-置換嵌入,HN/N在G/N中s-置換嵌入.

1) H≤M≤G,H在M中弱s-置換嵌入;

2) H≤G且N≤H,則H/N在G/N中弱s-置換嵌入;

3) 設π是一素數(shù)集合,若H是G的π-子群,而N為π′-子群,則HN/N在G/N中弱s-置換嵌入.

引理3[8]設N(N≠1)是G的可解正規(guī)子群,如果N∩Φ(G)=1,則N的Fitting子群F(N)是包含在N中G的極小正規(guī)子群的直積.

引理5[10]設G是一個有限群,P是一個素數(shù),滿足對于不小于1的整數(shù)n,有(|G|,(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1.假設G有一個Sylowp-子群P,使得P的每個n-極大子群在G中弱s-置換嵌入,則G是p-冪零的.

引理7[6]設N是群G的正規(guī)子群,H是G的p-子群,K是G的子群使得G=HK.如果H∩N是N的Sylowpp-群,那么HN∩KN=(H∩K)N.

2 主要結果

定理1 設H是群G的p-可解正規(guī)子群使得G/H為p-超可解.若F(H)的包含Op′(H)的極大子群都在G中弱s-置換嵌入,則G是p-超可解.

證明假設結論不真.設G為極小階反例.

1) Op′(G)=1.

2) H∩Φ(G)=1.

G=KNG(S)=TNG(S)=NG(S),

3) 最后的矛盾.

Gp≤NG(P1)≤NG((P1)sG),

F(H)=R1×…×Rt,

推論1 設H是群G的p-可解正規(guī)子群使得G/H為p-超可解.若Fp(H)的Sylowp-子群的極大子群皆在G中弱s-置換嵌入,則G為p-超可解.

證明因為Fp(H)為p-冪零,所以Fp(H)的包含Op′(H)的極大子群形如P1Op′(H),其中P1為Fp(H)的某個Sylowp-子群的極大子群.由假設,P1在G中弱s-置換嵌入,于是存在群G的次正規(guī)子群T和包含在P1中的G的一個s-置換嵌入子群(P1)se,使得G=P1T且P1∩T≤(P1)se.于是有G=(P1Op′(H))K.顯然,Op′(H)≤T,故P1Op′(H)∩T=(P1∩T)Op′(H).因為(P1∩T)Op′(H)≤(P1)seOp′(H),由引理1，(P1)seOp′(H)在G中s-置換嵌入,這樣P1Op′(H)在G中弱s-置換嵌入.由定理1即得G為p-超可解群.完成證明.

推論2(見文獻[7]定理3.6) 設G是p-可解群.若F(G)的包含Op′(G)的極大子群都在G中弱s-置換,則G是p-超可解.

推論3(見文獻[6]定理4.2.8) 設H是群G的p-可解正規(guī)子群使得G/H為p-超可解.若F(H)的包含Op′(H)的極大子群都在G中c*-正規(guī),則G是p-超可解.

推論4(見文獻[6]推論4.2.9) 設H是群G的p-可解正規(guī)子群使得G/H為p-超可解.若Fp(H)的Sylowp-子群的極大子群皆在G中c*-正規(guī),則G為p-超可解.

則

定理2 設是包含的飽和群系,H是群G的正規(guī)子群使得G/H∈.若對某個(H)的Sylow子群的極大子群都在G中弱s-置換嵌入,則G∈.

證明設G是極小階反例.首先,由引理2及引理5有:

(ii) G/Q∈,其中且Q∈Sylq(F(H)).

3) 完成證明.

推論5(見文獻[6]定理5.3.3) 設是包含的飽和群系,H是群G的正規(guī)子群使得G/H∈.若對某個的Sylow子群的極大子群都在G中c*-正規(guī),則G∈.

定理3 設是包含的飽和群系.群G∈當且僅當F*(G)的每個極小子群及4階循環(huán)子群在G中弱s-置換嵌入.

證明充分性顯然.

設H為F*(G)的極小子群或4階循環(huán)子群.由假設,存在群G的次正規(guī)子群T和包含在H中的G的一個s-置換嵌入子群Hse,使得G=HT且H∩T≤Hse.由引理6,G/TG為素數(shù)冪階群,于是G/TG∈F.若TG=1,則G∈.若TG≠1,從而G≤T,G=HT=T,于是有H=H∩T≤Hse.這表明F*(G)的每個極小子群及4階循環(huán)子群在G中s-置換嵌入.可以利用文獻[12]定理1.2得G∈.

推論6(見文獻[6]定理5.4.4) 設是包含的飽和群系.群G∈當且僅當F*(G)的每個極小子群及4階循環(huán)子群在G中c*-正規(guī).

[1] Ore O. Contributions in the theory of groups of finite groups[J]. J Duke Math,1939，5(2):431-460.

[2] Dekins W E. On qusinormal subgroups of finite groups[J]. Math Z,1963，82(2):125-132.

[3] Kegel O H. Sylow-gruppen und subnormalteiler endlicher gruppen[J]. Math Z,1962：78(1):205-221.

[4] Ballester-Bolinches A, Pedraza-Aquilera M C. Sufficient conditions for supersolvable of finite groups[J].J Pure and Applied Algebra,1998，127(2):123-118.

[5] Li Yangming, Qiao Shouhong, Wang Yanming. On weaklys-permutably embedded subgroups of finite groups[J]. Communications in Algebra,2009,37:1086-1097.

[6]韋華全.子群特性與有限群結構[D].廣州：中山大學,2006.

[7] Miao Long. On weaklys-permutable subgroups of finite groups[J]. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society,2010,41(2):223-235.

[8] Guo Wenbin. The theory of classes of groups[M]. Beijing-Boston: Science Press-Kuwer Acad Pub,2000.

[9] Gorenstein D. Finite groups[M]. New York: Chelsea,1980.

[10] 於遒,李長穩(wěn).有弱s-置換嵌入的準素子群的p-冪零群[J].安徽大學學報:自然科學版,2011,35(1):28-31.

[11] Skiba A N. On weaklys-permutable subgroup of finite groups[J]. J Algebra,2007,315:192-209.

[12] Li Yangming, Wang Yanming. On π-quasinormally embedded subgroups of finite group [J].J Algebra,2004,281(1),109-123.

Weaklys-PermutablyEmbeddedSubgroupsofFiniteGroups

ZHONG Guo1, YANG Liying1, WEI Huaquan1,2, MA Xuanlong1, ZHOU Yang1

(1. School of Mathematical Science, Guangxi Teachers Education University, Nanning 530023, China;2. Department of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning 530004, China)

A subgroupHof a finite groupGis calleds-permutably embedded inGif for each primep||H|, a Sylowp-subgroup ofHis also a Sylowp-subgroup of somes-permutably subgroup ofG. A subgroupHof a groupGis said to be weaklys-permutably embedded inGif there is a subnormal subgroupTofGand ans-permutably embedded subgroupHseofGis contained inH,such thatG=HTandH∩T≤Hse. Using this concept, the paper investigated the structure ofp-supersolvable groups and obtained some sufficient conditions ofp-supersolvability on finite groups.

p-supersolvable groups; weaklys-permutably embedded subgroups; finite groups

2012-09-08

國家自然科學基金項目(10961007,11161006)；廣西自然科學基金項目(0991101,0991102)；廣西教育廳科研基金項目(201012MS140)；廣西高校人才資助計劃(5070).

楊立英(1974—)，女,副教授,主要從事有限群理論研究.E-mail:yangliying0308@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.01.013

O152MSC2010: 20D10;20D20

A

1674-232X(2013)01-0065-05