一維具有次近鄰相互作用海森堡鏈中的量子關(guān)聯(lián)

黃軍林,章青袍,黃瑤瑤,范楚輝,孫 哲

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

一維具有次近鄰相互作用海森堡鏈中的量子關(guān)聯(lián)

黃軍林,章青袍,黃瑤瑤,范楚輝,孫 哲

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

運(yùn)用Quantum discord(QD)的概念，研究了一維帶有次近鄰相互作用的自旋1/2海森堡鏈中的量子關(guān)聯(lián)特性.根據(jù)該系統(tǒng)的SU(2)以及Z2對(duì)稱性，其約化密度矩陣具有簡單的“X”型，從而解析得到QD的幾何度量(GMQD)的表達(dá)式，并發(fā)現(xiàn)GMQD與兩格點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而獲得GMQD與能量本征值的關(guān)系.對(duì)于4格點(diǎn)和6格點(diǎn)情況，研究得到GMQD對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)的依賴關(guān)系.通過數(shù)值和解析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)GMQD在有限系統(tǒng)體系內(nèi)是探測一級(jí)相變和無窮級(jí)相變的十分有效的工具.

量子失協(xié)；幾何度量；量子相變；海森堡自旋鏈

0 引 言

作為量子信息與量子計(jì)算的核心概念，量子關(guān)聯(lián)是目前最受關(guān)注的研究課題之一.通常，人們都認(rèn)為量子計(jì)算器件的計(jì)算能力來源于量子糾纏——量子力學(xué)中最重要的非經(jīng)典特性；但是最近，人們發(fā)現(xiàn)在量子糾纏之外，還存在著另外的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)——Quantum discord(QD)，其定義為總的互信息與經(jīng)典互信息之間的差值[1].已有研究發(fā)現(xiàn)，QD能夠提供更為豐富的具有非經(jīng)典關(guān)聯(lián)的量子態(tài)，例如，一些可分離態(tài)的QD并不等于零[2-3].事實(shí)上，只有QD為零才是經(jīng)典關(guān)聯(lián)的充要條件[4]，所以，那些具有非零QD的態(tài)對(duì)于量子計(jì)算機(jī)而言，都是有價(jià)值的[5].因此，QD完全可能成為一種新的量子計(jì)算源——并且相較于量子糾纏更容易制備，在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)更易保存.

最近，人們對(duì)QD的研究熱情越來越高[6-11].但是，即使有著種種優(yōu)點(diǎn)，對(duì)QD的研究仍存在著一個(gè)很大困難——很難對(duì)其進(jìn)行解析計(jì)算.甚至于對(duì)兩比特系統(tǒng)，也僅僅只有諸如“X”態(tài)[12]等極少類型能夠得到解析結(jié)果.源于此，Dakic等研究了兩格點(diǎn)系統(tǒng)存在非零QD的充要條件，并提出了適用于任意兩比特系統(tǒng)的QD的幾何度量(GMQD)的概念[9].GMQD的提出大大簡化了對(duì)QD的計(jì)算.

在量子多體關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中量子相變是一種非常重要而奇特的現(xiàn)象.作為一種量子臨界現(xiàn)象，量子相變發(fā)生在絕對(duì)零度的條件下——此時(shí)，熱漲落完全消失，從而不會(huì)有熱力學(xué)相變發(fā)生.因此，量子相變是僅僅由系統(tǒng)參數(shù)的改變——諸如一個(gè)外加磁場，或耦合常數(shù)的改變——而引起的量子漲落.量子相變反映了系統(tǒng)基態(tài)結(jié)構(gòu)的變化，因此，很容易意識(shí)到，那些與系統(tǒng)基態(tài)以及系統(tǒng)本征態(tài)密切相關(guān)的量子概念完全可能用來偵測量子相變的發(fā)生.

同樣是一種量子關(guān)聯(lián)，我們很自然地考慮QD與量子相變之間的聯(lián)系.最近，人們開始利用QD的概念來研究探測QPT.有研究表明，在有限溫度下，QD在量子臨界點(diǎn)附近也有特殊的行為[13].而另一方面，環(huán)境中的量子臨界性對(duì)于QD的動(dòng)力學(xué)演化也有著重要影響[4,14].在部分量子相變的典型模型中，人們發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典關(guān)聯(lián)與量子關(guān)聯(lián)均對(duì)量子相變有所反映[15].所有的這些都說明，QD對(duì)于探測量子相變而言，是一種有效的工具.

本文將利用QD研究一維具有次近鄰相互作用的自旋1/2海森堡鏈的量子相變.該模型是一種存在相互作用競爭的多體模型，對(duì)諸如CuGeO3的一類材料的結(jié)構(gòu)有著很好的描述[16].該模型有兩個(gè)重要的量子相變過程[17-19]：一級(jí)相變和無窮級(jí)相變.一級(jí)相變發(fā)生在基態(tài)能級(jí)的交叉點(diǎn)，而無窮級(jí)相變則與第一激發(fā)態(tài)能級(jí)交叉有密切關(guān)系，可由第一激發(fā)態(tài)保真度來進(jìn)行探測[20].但是，對(duì)于該系統(tǒng)量子關(guān)聯(lián)特性還少有研究，所以本文將研究該系統(tǒng)基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的QD和GMQD，并利用其對(duì)量子相變進(jìn)行探測.

1 Quantum Discord及其幾何度量

1.1 Quantum Discord

在經(jīng)典情況下，很顯然，二者是相等的.然而，對(duì)于量子情況，則又不同.量子信息學(xué)中，用Von Neumann熵取代了經(jīng)典情況下的Shannon熵，即H(S)=H(ρS)=-TrSρSlogρS,那么，I(S:A)=H(S)+H(A)-H(S,A)，描述了系統(tǒng)S與儀器A之間的所有關(guān)聯(lián)，包括經(jīng)典關(guān)聯(lián)與量子關(guān)聯(lián).而另一種定義J(X:Y)=H(X)-H(X|Y)則與經(jīng)典情況有所區(qū)別.因?yàn)榛诹孔恿W(xué)理論，如果S與A有量子關(guān)聯(lián)，那么我們對(duì)A的測量將會(huì)導(dǎo)致態(tài)的坍縮，從而破壞這種關(guān)聯(lián)性.所以，該定義得到的結(jié)果只能是經(jīng)典關(guān)聯(lián)而非量子關(guān)聯(lián).Harold Ollivier等定義了QD：

(1)

1.2QD的幾何度量

由于QD的定義中存在著最優(yōu)測量的問題，使其解析計(jì)算變得十分復(fù)雜與繁瑣，甚至是不可能.目前也僅對(duì)于少數(shù)特殊形式的狀態(tài)能夠得到解析結(jié)果，包括Werner態(tài)、Bell態(tài)及X態(tài)等.而對(duì)于高維度甚至大多數(shù)2×2系統(tǒng)而言，都是很難得到解析結(jié)果的.為了解決這一問題，2010年，Borivoje Dakic等提出了QD的幾何度量[9]，即所需的態(tài)與所有QD為零的態(tài)之間的最小距離：Dg(ρ)=min||ρ-χ||2，其中，χ代表所有QD為零的態(tài)，對(duì)于兩比特系統(tǒng)，可以表示為χ=p1|ψ1〉〈ψ1|?ρ1+p2|ψ2〉〈ψ2|?ρ2,其中|ψ1〉和|ψ2〉是兩個(gè)正交態(tài).由于任意的一個(gè)兩比特密度矩陣都可以利用所謂的布洛赫基矢展開，表示為

(2)

其中系數(shù)矩陣：

xi=Tr(σi?Iρ),yi=Tr(ρI?σi),

(3)

Tij=Tr(ρσi?σj),

(4)

其中:I為單位矩陣，σi是泡利矩陣.那么將密度矩陣ρ和χ都表示為布洛赫形式之后，代入GMQD的定義式，就得到

(5)

2 具有次近鄰相互作用的一維海森堡鏈的GMQD

次近鄰相互作用的一維海森堡鏈的哈密頓量為

(6)

其中：N表示總格點(diǎn)數(shù)，下標(biāo)i表示第i個(gè)格點(diǎn)，s為自旋算符，包括Sx,Sy,Sz3個(gè)分量，分別用泡利矩陣表示，J1,J2分別代表近鄰及次近鄰相互作用系數(shù).選取周期性邊界條件.對(duì)于本模型，僅僅在J2/J1=0及J2/J1=1/2時(shí)能夠得到精確的解析解.同時(shí)，該模型存在兩個(gè)重要的相變點(diǎn)：一級(jí)相變點(diǎn)Jc1=0.5及無窮級(jí)相變點(diǎn)Jc2≈0.241，(JC=J2/J1).在Jc1=0.5處，系統(tǒng)為Majumdar-Ghosh模型，此時(shí)系統(tǒng)基態(tài)的耦合自旋為零，是簡并的，可以看作由最近鄰兩格點(diǎn)間的自旋單態(tài)等概率疊加而成(對(duì)于偶數(shù)格點(diǎn)以及無窮格點(diǎn)情況滿足上述討論).該點(diǎn)是基態(tài)能級(jí)交叉點(diǎn)，是由平移不變性破缺引起的，因此為一級(jí)相變點(diǎn).

圖1 自旋-1/2次近鄰相互作用海森堡模型不同格點(diǎn)數(shù)的低能級(jí)能譜圖Fig. 1 Low-level energy spectrum of the spin-1/2 Heisenberg chain with NNN interaction for different system sizes N=4，6，8，10.

而在Jc2≈0.241處，系統(tǒng)將發(fā)生Berezinskii-Kosterlitz-Thouless(BKT)型相變，即自旋由流體序轉(zhuǎn)向二聚序.這種相變是由最近鄰相互作用及次近鄰相互作用之間的競爭所導(dǎo)致的：當(dāng)J2/J1

圖1給出了不同格點(diǎn)數(shù)系統(tǒng)隨J2參數(shù)變化的低能級(jí)圖(此處均默認(rèn)J1=1).很顯然，對(duì)于不同的格點(diǎn)數(shù)N=4、6、8、10，基態(tài)能級(jí)均在J2=0.5處發(fā)生了交叉,這與已知的一級(jí)量子相變點(diǎn)是精確對(duì)應(yīng)的.而第一激發(fā)態(tài)能級(jí)隨著格點(diǎn)數(shù)的增加，能級(jí)交叉點(diǎn)逐漸由J2≈0.26左移到J2≈0.244.由此可以預(yù)見當(dāng)系統(tǒng)格點(diǎn)數(shù)增加至無限時(shí)，系統(tǒng)第一激發(fā)態(tài)能級(jí)交叉點(diǎn)將趨近于BKT相變點(diǎn)J2≈0.241.由此可見，系統(tǒng)的量子相變與系統(tǒng)能級(jí)結(jié)構(gòu)的根本性變化是密切相關(guān)的，從而相關(guān)的量子本征態(tài)在量子相變點(diǎn)將呈現(xiàn)出特別的量子特性.

(7)

(8)

(9)

將其代入式(5)，得到

(10)

其中，k1=4(a-b)2，k2=k3=4c2，故

(11)

(12)

(13)

該公式適用于具有與J1-J2模型相同對(duì)稱性的海森堡系統(tǒng)的一般情況，例如XXX型及二聚型海森堡鏈.

將以上結(jié)果代入式(12)，可以得到最近鄰格點(diǎn)約化密度矩陣元

(14)

與次近鄰格點(diǎn)約化密度矩陣元

(15)

分別將式(14)、(15)代入到式(11)中，就得到最近鄰格點(diǎn)的GMQD與系統(tǒng)內(nèi)能的關(guān)系式

(16)

以及次近鄰格點(diǎn)的GMQD與系統(tǒng)內(nèi)能的關(guān)系式

(17)

以上的結(jié)果可以理解為：由于系統(tǒng)的GMQD直接依賴于密度矩陣的矩陣元，因此，GMQD的奇異行為也是由密度矩陣的矩陣元所引起的.而當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生量子相變時(shí)，系統(tǒng)基態(tài)的變化將引起密度矩陣的變化，從而導(dǎo)致GMQD的奇異行為.而通過費(fèi)曼-海爾曼法則得到的GMQD與系統(tǒng)內(nèi)能之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，在臨界點(diǎn)附近能量的不連續(xù)行為，也將在GMQD的變化中得到體現(xiàn).而作為量子相變的有力判別工具之一的系統(tǒng)能量，與系統(tǒng)的GMQD是有密切聯(lián)系的.上述結(jié)論不僅適用于基態(tài)情況，對(duì)于低激發(fā)態(tài)的情況也是適用的.

3 四格點(diǎn)以及六格點(diǎn)情況的解析計(jì)算

3.1 四格點(diǎn)情況的解析計(jì)算

由于邊界條件的存在，系統(tǒng)的哈密頓量具有平移不變性，所以有[H,T]=0，其中，T為平移算符[21]，定義為T|ψ1…ψm〉=|ψmψ1…ψm-1〉.因?yàn)閇H,Jz]=0，因此利用上述平移算符，就可以將4格點(diǎn)情況下的16維Hilbert空間分成幾個(gè)子空間，分別對(duì)應(yīng)相同自旋翻轉(zhuǎn)數(shù)，從而將其約化為低維度的矩陣，可以解析處理問題.

(18)

對(duì)于這樣一個(gè)2維矩陣，很容易得到它的本征值：E1=J2+1，E2=J2-2，E3=J2-1，E4=-3J2，E5=-J2.綜合以上結(jié)果，可以得到基態(tài)能量：當(dāng)J2≤0.5時(shí)，Eg=-2+J2；當(dāng)J2≥0.5時(shí)，Eg=-3J2.第一激發(fā)態(tài)能量為：當(dāng)J2≤0.25時(shí)，E1st=-1+J2；當(dāng)0.25≤J2≤0.5時(shí)，E1st=-3J2；當(dāng)J2≥0.5時(shí)，E1st=-2+J2.將基態(tài)能量與第一激發(fā)態(tài)能量分別代入GMQD與系統(tǒng)內(nèi)能關(guān)系式(16)，就得到系統(tǒng)GMQD的解析結(jié)果，對(duì)于基態(tài)有

(19)

而對(duì)于第一激發(fā)態(tài)有

(20)

顯然，基態(tài)情況下，系統(tǒng)的GMQD在0.5左右是不連續(xù)的，而對(duì)于第一激發(fā)態(tài)情況，則有2個(gè)不連續(xù)點(diǎn)：0.25及0.5.這與已知的系統(tǒng)量子臨界點(diǎn)有一定的對(duì)應(yīng)性.

3.2 六格點(diǎn)情況的解析計(jì)算

(21)

當(dāng)0.25≤J2<0.5時(shí),

(22)

當(dāng)J2≥0.5時(shí),

(23)

顯然，在J2=0.25及J2=0.5兩個(gè)點(diǎn)左右，系統(tǒng)的第一激發(fā)態(tài)能量發(fā)生了突變，GMQD在該點(diǎn)也體現(xiàn)出了不連續(xù)的特性,如圖2-圖4所示.

圖2 自旋-1/2次近鄰相互作用海森堡模型不同格點(diǎn)數(shù)的基態(tài)最近鄰格點(diǎn)GMQD圖(右側(cè)為其導(dǎo)數(shù))Fig. 2 NN-site GMQD of the ground state versus coupling for different system sizes N= 6, 8, 10

圖3 自旋-1/2格點(diǎn)次近鄰相互作用海森堡模型不同格點(diǎn)數(shù)的第一激發(fā)態(tài)最近鄰格點(diǎn)GMQD圖(右側(cè)為其導(dǎo)數(shù))Fig. 3 NN-site GMQD of the first excited states versus coupling J2 for different system sizes N= 6, 8, 10

圖4 自旋-1/2格點(diǎn)次近鄰相互作用海森堡模型不同格點(diǎn)數(shù)的第一激發(fā)態(tài)次近鄰格點(diǎn)GMQD圖(右側(cè)為其導(dǎo)數(shù))Fig. 4 NNN-site GMQD of the first excited states versus coupling J2 for different system sizes N= 6, 8, 10

從以上數(shù)值計(jì)算結(jié)果中可以看到：對(duì)于基態(tài)情況，GMQD的突變點(diǎn)均在J2=0.5處，從圖2右側(cè)的導(dǎo)數(shù)圖可以更清晰地看到一個(gè)尖峰，這意味著該點(diǎn)處GMQD的不連續(xù)性；而對(duì)于第一激發(fā)態(tài)而言，隨著格點(diǎn)數(shù)的增加，GMQD的突變點(diǎn)逐漸向左移動(dòng)，意味著當(dāng)格點(diǎn)數(shù)增加至無窮大時(shí)，GMQD的突變點(diǎn)將趨近于J2=0.241.從圖3、圖4右側(cè)的導(dǎo)數(shù)圖可以更清晰地看到尖峰的移動(dòng)，隨著格點(diǎn)數(shù)越來越多，移動(dòng)的幅度越來越小.次近鄰GMQD與最近鄰GMQD的不同之處只是在于，6格點(diǎn)情況GMQD有突然增大現(xiàn)象，而8、10格點(diǎn)情況有突然減小現(xiàn)象.在J2=0.241這一點(diǎn)，系統(tǒng)將發(fā)生著名的Berezinskii-Kosterlitz-Thouless(BKT)型相變，即自旋由流體序轉(zhuǎn)向二聚序.這種相變是由最近鄰相互作用及次近鄰相互作用之間的競爭所導(dǎo)致的：當(dāng)J2

4 結(jié) 論

運(yùn)用GMQD研究了一維帶有次近鄰相互作用的自旋1/2海森堡鏈中基態(tài)以及第一激發(fā)態(tài)的量子關(guān)聯(lián)特性.由于該系統(tǒng)具有SU(2)以及Z2對(duì)稱性，可以解析得到GMQD與兩格點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到GMQD與能量本征值的關(guān)系.

對(duì)于4格點(diǎn)情況和6格點(diǎn)情況，通過獲得基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)本征能量的解析結(jié)果，得到GMQD依賴于系統(tǒng)參數(shù)的解析結(jié)果，從中可以精確反映出第一個(gè)臨界點(diǎn)位置Jc1=0.5.并且通過數(shù)值方法研究第一激發(fā)態(tài)的最近鄰和次近鄰格點(diǎn)的GMQD，發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)從6格點(diǎn)增加到10格點(diǎn)的過程中，GMQD的突變點(diǎn)逐漸趨近于第二個(gè)量子相變點(diǎn)Jc2≈0.241.

需要強(qiáng)調(diào)的是，雖然二體QD(或GMQD)的方法僅僅在有限尺度系統(tǒng)中有效，但這對(duì)于一般的理論和實(shí)驗(yàn)研究中仍然具有實(shí)際意義.利用QD(或GMQD)研究其他類型量子相變的系統(tǒng)中的量子關(guān)聯(lián)問題是值得大家繼續(xù)探索的.

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QuqntumCorrelationintheHelsenbergSpinChainwithNext-nearest-neighbourInteraction

HUANG Junlin, ZHANG Qingpao, HUANG Yaoyao, FAN Chuhui, SUN Zhe

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

This article studied the quantum correlation in the spin-1/2 antiferromagnetic Heisenberg spin chain with next-nearest-neighbor interaction by the concept of the quantum discord(QD). Due to theSU(2)symmetry andZ2symmetry, this article analytically calculated the GMQD in thisX-type state, found the relations between GMQD and the two sublattice correlation functions, and obtained the relationship between GMQD and energy eigenvalue. Based on the 4-sublattice and 6-sublattice cases, the results show that GMQD is determined by system parameters, and GMQD is an effective tool in detecting both the first-order and the infinite-order quantum-phase-transition points in the finite systems.

quantum discord; geometric measure; quantum phase transition; Heisenberg spin chain

2013-04-03

2010年國家自然基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目(11005027)；杭州師范大學(xué)優(yōu)秀中青年教師支持計(jì)劃(HNUEYT 2011-01-011).

孫 哲(1981—)，男，副教授，博士，主要從事量子信息理論、量子光學(xué)、凝聚態(tài)理論研究.E-mail: sunzhe_hznu@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.04.016

O413.1MSC201081P40；65F15

A

1674-232X(2013)04-0365-08