兩族漸近非擴(kuò)張映射隱迭代序列收斂定理

宋傳靜， 吳健榮

(蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州 215011)

兩族漸近非擴(kuò)張映射隱迭代序列收斂定理

宋傳靜， 吳健榮*

(蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州 215011)

研究一致凸Banach空間中兩族漸近非擴(kuò)張映射的公共不動(dòng)點(diǎn)逼近問題.構(gòu)造關(guān)于兩族漸近非擴(kuò)張映射的隱迭代序列，并在適當(dāng)條件下，證明了該序列收斂到公共不動(dòng)點(diǎn)的一些強(qiáng)弱收斂定理.

一致凸Banach空間； 漸近非擴(kuò)張映射； 隱迭代序列； 公共不動(dòng)點(diǎn)

本文假設(shè)E是一實(shí)Banach空間，D是E的非空子集,T:D→D是一個(gè)映射，記T的不動(dòng)點(diǎn)集合為F(T).

GOEBEL等[1]在1972年引進(jìn)了漸近非擴(kuò)張映射，并證明如果D是實(shí)一致凸Banach空間E的非空閉凸子集，T是D上的漸近非擴(kuò)張映射，則T在D中有不動(dòng)點(diǎn).

漸近非擴(kuò)張映射的研究已取得了一定的成果[2-8].尤其是CHANG[7]研究了一族漸近非擴(kuò)張映射的帶誤差的隱迭代序列，具體如下.

x1=α1x0+(1-α1)T1x1+u1,

x2=α2x1+(1-α2)T2x2+u2,

…

xN=αNxN-1+(1-αN)TNxN+uN,

…

…

其中，按如下形式

(1)

定義的迭代序列{xn}?D稱為一族漸近非擴(kuò)張映射{T1,T2,…,TN}的隱迭代序列.并且關(guān)于上述2個(gè)序列的強(qiáng)弱收斂定理在文獻(xiàn)[7]也有所探討.

本文構(gòu)造了一個(gè)關(guān)于兩族漸近非擴(kuò)張映射的隱迭代序列，并證明了該序列的一些強(qiáng)弱收斂定理.

(2)

其中，n,k(n),i(n)與在式(1)中的意義相同.

1 預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)果

首先，證明下面的引理.

(3)

因此

αnhk(n)-hk(n)+1=αn(1+μk(n))-μk(n)=

αn-(1-αn)μk(n)≥δ-(1-δ)μk(n)≥

因此

引理5 在引理4的假設(shè)下,如果有

則

又

故由引理2可得

(4)

而又由題設(shè)條件得

所以由式(4)可得

(5)

再由式(4)、(5)和

可得

(6)

而由式(5)、(6)和

又可得

因此

(7)

且由式(5)、(7)和

可得

(8)

n-N=((k(n)-1)-1)N+i(n)=

(k(n-N)-1)N+i(n-N),

即

k(n-N)=k(n)-1,i(n-N)=i(n).

又

其中

則由式(7)、(8)可得

(9)

并由此可得

又由式(5)和

可得

(10)

故同理可得

下面證明收斂定理.

定理1 在引理4的假設(shè)下，序列{xn}強(qiáng)收斂到{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}的公共不動(dòng)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)

證明必要性顯然，下面只證充分性.

現(xiàn)在證明{xn}是D中的Cauchy列.由

及1+x≤ex(x≥0)可得

因此，當(dāng)n≥N1，m≥1時(shí)有

即{xn}是D中的Cauchy列.

證明由引理5知

再由題設(shè)條件可知

其中s>0為常數(shù).因此由定理1知定理2成立.

定理3 在引理5的假設(shè)下，如果{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}滿足條件(B),則{xn}強(qiáng)收斂到{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明由引理5知

因此

定理4 在引理5的假設(shè)下，如果存在一個(gè)Tl或Sl(1≤l≤N)是半緊的，則{xn}強(qiáng)收斂到{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明不妨設(shè)T1是半緊的，因?yàn)閧xn}有界且

由此可知

故

由定理1知定理4成立.

定理5 在引理5的假設(shè)下,如果存在一個(gè)Tl或Sl(1≤l≤N)是全連續(xù)的，則{xn}強(qiáng)收斂到{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}的公共不動(dòng)點(diǎn).

因此當(dāng)i→∞時(shí)，

所以有

由此即知

定理6 在引理5的假設(shè)下,如果E滿足Opial’s條件,則{xn}弱收斂到{T1,T2,…,TN,S1,S2,…,SN}的公共不動(dòng)點(diǎn).

如果p≠p*,那么由題設(shè)條件可得

矛盾！因此p=p*.此定理得證.

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Keywords： uniformly convex Banach space； asymptotically nonexpansive mapping； implicit iterative sequence； common fixed point

ConvergenceTheoremsforanImplicitIterationProcessofTwoFiniteFamiliesofAsymptoticallyNonexpansiveMappings

SONG Chuanjing, WU Jianrong*

(School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou, Jiangsu 215011,China)

The common fixed points of two finite families of asymptotically nonexpansive mappings are studied in real uniformly convex Banach spaces. An implicit iteration process defined by two finite families of asymptotically nonexpansive mappings is introduced. And some strong and weak convergence theorems to a common fixed point for this scheme are proved.

2011-10-14

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10972151)；江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程項(xiàng)目(CXZZ11_0950)；蘇州科技學(xué)院研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃(SKCX11S_054)

*通訊作者:吳健榮，教授，Email:jrwu@mail.usts.edu.cn.

1000-5463(2013)01-0027-05

O177

A

10.6054/j.jscnun.2012.12.005

【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文責(zé)編：肖菁】