全空間RN中反應(yīng)擴(kuò)散方程的非平面行波解

黃 銳, 尹景學(xué)

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東廣州 510631)

全空間RN中反應(yīng)擴(kuò)散方程的非平面行波解

黃 銳, 尹景學(xué)*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東廣州 510631)

介紹全空間RN中反應(yīng)擴(kuò)散方程非平面行波解的主要研究結(jié)果. 通過(guò)分析本生燈模型作為非平面行波解的一個(gè)例子,給出問(wèn)題的偏微分方程模型, 以及具有鮮明實(shí)際背景的點(diǎn)火溫度型和雙穩(wěn)態(tài)型這2 種重要的非線性源. 然后介紹具有這2 種非線性源的方程非平面行波解的一些定性性質(zhì), 包括解的存在唯一性、 單調(diào)性、穩(wěn)定性和水平集的性質(zhì)等. 討論了具有KPP型非線性源的方程無(wú)窮維非平面行波解流形的存在性,以及解的單調(diào)性、穩(wěn)定性和最小波速的性質(zhì)等.同時(shí)提出了該研究領(lǐng)域內(nèi)尚未解決的問(wèn)題.

反應(yīng)-擴(kuò)散方程; 非平面; 行波解

反應(yīng)擴(kuò)散方程是研究自然界中廣泛存在的擴(kuò)散現(xiàn)象的有力工具, 作為它的一類特殊解的行波解，特別是非平面行波解，具有鮮明的物理背景. 早在1906 年，LUTHER[1]第一次考慮把行波解作為反應(yīng)擴(kuò)散方程的解. 然而關(guān)于行波解的極其重要的開(kāi)創(chuàng)性的工作則分別由FISHER[2]和 KOLMOGOROV等[3]在1937年獨(dú)立完成. 此后, 關(guān)于反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解的研究便蓬勃發(fā)展起來(lái).根據(jù)不同的背景, 反應(yīng)擴(kuò)散方程的非線性源有大量的不同表現(xiàn)形式. 在這些非線性源中,點(diǎn)火溫度、雙穩(wěn)態(tài)以及KPP(Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov) 等3種非線性源具有鮮明的實(shí)際背景.具有上述3 種非線性源的反應(yīng)擴(kuò)散方程的非平面行波解是近年來(lái)才被人們所認(rèn)識(shí)并研究的一類具有特殊性質(zhì)的解.和平面行波解相比較, 非平面行波解的性質(zhì)變得更加復(fù)雜, 但同時(shí)也更加有意義, 這在一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展.本文將分別介紹近年來(lái)出現(xiàn)的含幾種重要的非線性源的非平面行波解的一些結(jié)果.

1 非平面行波解的一個(gè)例

預(yù)混本生燈火焰是非平面行波解的一個(gè)典型例子. 一個(gè)本生燈火焰可以被分成兩部分: 擴(kuò)散火焰部分和預(yù)混火焰部分[4-11]. 而預(yù)混火焰本身又可以被分成兩部分: 位于下部的由燃料和氧氣組成的冷溫區(qū)域和位于上部的由燃燒生成氣體組成的高溫區(qū)域. 簡(jiǎn)單起見(jiàn), 假設(shè)在混合物中發(fā)生單一的化學(xué)反應(yīng):

燃料+氧→成物.

假定火焰在向上的方向上是穩(wěn)定的且具有一致的速度c. 那么, 在這個(gè)模型中溫度的水平集是錐狀的, 且在遠(yuǎn)離對(duì)稱軸的地方,水平集趨于平坦, 見(jiàn)圖1.

圖1 本生燈和預(yù)混火焰模型

由于火焰的形狀相對(duì)于本生燈的大小是不變的, 因而可以在全空間

中來(lái)考慮模型的建立.在經(jīng)典的熱擴(kuò)散理論下,溫度場(chǎng)u滿足下面的反應(yīng)擴(kuò)散方程

(1)

其中u的取值在全空間中可以被正則化為介于0,1之間. 事實(shí)上, 假定f在(-∞,0)上是正的,在(1,+∞)上是負(fù)的,若u是方程(1)的有界解, 那么由比較原理容易證明在RN上恒有0≤u≤1. 非線性反應(yīng)項(xiàng)f(u)滿足所謂的“點(diǎn)火溫度”型條件,即f在區(qū)間[0,1]上滿足Lipschitz連續(xù)性條件,在1點(diǎn)附近可微, 且

(2)

實(shí)數(shù)θ是點(diǎn)火溫度. 低于點(diǎn)火溫度時(shí), 沒(méi)有反應(yīng)發(fā)生, 高于點(diǎn)火溫度時(shí)才有反應(yīng)發(fā)生. 為了數(shù)學(xué)討論上的方便, 還假設(shè)在[0,1]以外f≡0.

數(shù)學(xué)上的主要困難在于用溫度u的合理的數(shù)學(xué)條件來(lái)刻畫火焰的錐狀結(jié)構(gòu).把火舌的張角考慮進(jìn)所加的條件中是一個(gè)自然的想法. 具體地說(shuō), 如果α表示火舌的張角, 那么可以在無(wú)窮遠(yuǎn)處加上如下的漸近錐條件

(3)

因此,在u接近于0的區(qū)域表示新鮮的混合物且在豎直的方向遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于由α確定的錐狀面.而在u接近于1的區(qū)域表示由已燃?xì)怏w組成的區(qū)域,在豎直的方向上它遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于由α確定的錐狀面. 本生燈出口處氣流的速度c是給定的,且c的大小決定了火舌張角α的大小.事實(shí)上也可以假設(shè)α的大小是給定的,而α的大小決定了速度的大小c,2種假設(shè)是等價(jià)的.不妨假設(shè)α是給定的,而c未知.當(dāng)空間維數(shù)N≥3 時(shí), 上面的漸近錐條件似乎有些過(guò)強(qiáng), 在這種情況下可以給出一些較弱的條件, 此處不再敘述.

在其他模型中也能找到錐狀行波解的例子. 比如在具雙穩(wěn)態(tài)型非線性源的Allen-Cahn方程中存在V狀行波解.這種雙穩(wěn)態(tài)型的非線性源f滿足在[0,1]上是Lipchitz連續(xù)的,在0,1兩點(diǎn)是可微的. 且滿足如下的條件

f(0)=f(θ)=f(1)=0,

f′(0)<0,f′(1)<0,f′(θ)>0.

(4)

關(guān)于這類非線性源的一個(gè)典型的例子是f(s)=s(1-s)(s-θ).

近年的研究發(fā)現(xiàn), 燃燒模型中的錐狀行波解和Allen-Cahn方程中的V狀行波解有許多相似的性質(zhì).其實(shí), 方程(1)的解也可以被看成是在靜態(tài)的介質(zhì)中以速度c向下傳播的如下形式的行波解

v(t,x,y)=u(x,y+ct).

函數(shù)v滿足如下的拋物型方程

vt=Δv+f(v).

(5)

在一維情形下方程(1)、條件(3)化為如下的常微分方程

u″-cu′+f(u)=0,u(-∞)=0,u(+∞)=0.

(6)

2 非平面行波解的性質(zhì)

在這節(jié)中,介紹具非線性源(2)或(4)的方程(1)的錐狀行波解的單調(diào)性、唯一性、穩(wěn)定性和其他定性性質(zhì).總假設(shè)函數(shù)f在R上滿足Lipschitz連續(xù)性條件且f(0)=f(1)=0. 一些結(jié)論對(duì)于更一般的在0,1兩點(diǎn)附近滿足單調(diào)不增條件的函數(shù)f仍然成立.

2.1 錐方向上的單調(diào)性和水平集的一些性質(zhì)

下面介紹方程(1)的解u在錐方向上的單調(diào)性以及解的水平集的若干性質(zhì).

HAMEL等[20-21]證明了如下的結(jié)果:假定f在(0,θ1)上是負(fù)的,在(θ2,1)上是正的, 其中0<θ1≤θ2<1.若0≤u≤1是方程(1)滿足下面條件的解

其中φ是從RN-1到R上的Lipschitz函數(shù).那么,在RN上0

(7)

更進(jìn)一步地,假定函數(shù)f屬于C1([0, 1]),并且存在δ>0使得f在[0,δ]和[1-δ,1]上是單調(diào)非增的.若0≤u≤1是方程(1)滿足條件(7)的解.那么,對(duì)每個(gè)(0,1),水平集{(x,y)RN-1×R,u(x,y)=}的圖像{y=φ(x),xRN-1}是Lipschitz的,并且u滿足

(8)

而且, 所有的水平集φ具有相同的Lipschitz模‖φ‖Lip=cotα,其中α(0,π/2],且‖φ‖Lip≤‖φ‖Lip.

?,φ(x))>0.

2.2 速度的唯一性和水平集方向上的漸近性

HAMEL等[20-22]找到了行波的速度c和由行波的水平集所確定的一個(gè)角度以及一個(gè)一維問(wèn)題的唯一的波速之間的聯(lián)系. 事實(shí)上, 我們已知如果f在[0,δ]和[1-δ,1]上是單調(diào)不增的, 那么方程

u″-c0u′+f(u)=0,

(9)

u(-∞)=0≤u≤u(+∞)=1,u(0)=1/2

1)如果存在一個(gè)徑向?qū)ΨQ的Lipschitz 連續(xù)函數(shù)φ:RN-1→R滿足條件(7),那么上小節(jié)中關(guān)于錐方向上的單調(diào)性和水平集的性質(zhì)的結(jié)論成立. 并且問(wèn)題(9)存在一組解(c(f),u)，使得

c=c(f)/sinα.

(10)

2)如果N=2且存在一個(gè)Lipschitz連續(xù)函數(shù)φ:R→R滿足條件(7),那么第1條的結(jié)論成立.

如果f滿足點(diǎn)火溫度型的條件(2),那么問(wèn)題(9)有唯一的一個(gè)解,且速度c(f)是正的. 因此, 對(duì)于第一節(jié)中的本生燈模型,可以知道非平面火焰的波速c=c(f)/sinα大于平面行波的波速c0=c(f). 而且隨著波速c的變大，火舌張角α?xí)冃?這具有明顯的物理意義, 和物理實(shí)際非常吻合.值得注意的是式(10)早就被物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)并在實(shí)際中所使用, 但是BONNET等[22]第一次給出它的數(shù)學(xué)證明.這條公式在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)中, 經(jīng)常被用來(lái)找平面行波的波速c0=c(f): 事實(shí)上, 若已知在本生燈的出口處燃燒氣體在垂直方向的速度c,估計(jì)了角度α以后, 一維的速度c0=c(f)就由c(f)=csinα給出[4,7,9,11].

事實(shí)上, 也可以從解沿著水平集的方向上的漸近性質(zhì)得到式(10). 如果把介質(zhì)看成是靜態(tài)的, 那么火焰以速度c向下運(yùn)動(dòng), 并以速度c(f)沿著垂直于它的水平集的方向上運(yùn)動(dòng).因?yàn)樗郊拓Q直方向的夾角是漸近等于α的,所以速度c(f)就必然是波速c在垂直于水平集方向上的投影.

2.3 錐狀行波解的整體彎曲度, 行波形狀的唯一性

2.4 解的穩(wěn)定性

下面介紹方程(1)滿足漸近條件(7)的解u的整體穩(wěn)定性.關(guān)于解的穩(wěn)定性問(wèn)題的另外一種表述為尋求下述Cauchy問(wèn)題的解v(t,x,y)是否收斂到行波解u(x,y+ct)或者u(x,y+ct)的某個(gè)平移.

(11)

其中v0(x,y)是給定的在某種程度上接近于方程(1)的解u的一個(gè)平移u(·+a,·+b).

HAMEL等[35]證明了這樣的穩(wěn)定性結(jié)果:對(duì)于二維空間情形,假定f滿足點(diǎn)火溫度型條件(2)或f在0,1兩點(diǎn)處都具有負(fù)的導(dǎo)數(shù).那么,如果在無(wú)窮遠(yuǎn)處v0指數(shù)地趨近于行波解u,則在具速度c向下移動(dòng)的坐標(biāo)系下,v關(guān)于時(shí)間t一致地收斂到u.特別地,如果v0-u具有緊支集,那么上述關(guān)于v0的條件自然滿足.事實(shí)上,可以在加權(quán)Banach空間中得到更加精確的收斂性結(jié)果.進(jìn)一步還可以發(fā)現(xiàn)收斂性結(jié)果實(shí)際上和空間變量沿著方向(±sinα,cosα)趨于無(wú)窮時(shí)初值的取值密切相關(guān),其中α是相對(duì)于向量(0,-1)的一個(gè)角度.

當(dāng)f滿足點(diǎn)火溫度型條件(2)時(shí)上述結(jié)果在文獻(xiàn)[35]中給出了證明.證明的想法是先對(duì)方程(1)做線性化,然后分析這個(gè)線性化以后的算子,并結(jié)合平面行波解的指數(shù)穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)果.利用類似的方法可以證明當(dāng)f在0,1兩點(diǎn)處都具有負(fù)導(dǎo)數(shù)時(shí),相應(yīng)的結(jié)果依然成立[36].

3 非平面行波解的存在性

本節(jié)歸納具點(diǎn)火溫度型和雙穩(wěn)態(tài)型非線性源的方程(1)的錐狀行波解的存在性結(jié)果.

3.1 具點(diǎn)火溫度型非線性源的情形

3.2 具雙穩(wěn)態(tài)型非線性源的情形

3.3 其他一些存在性結(jié)果

HAMEL等[37]對(duì)于二維空間情形下的具雙穩(wěn)態(tài)型非線性源的方程(1)得到了一些更加精確的結(jié)果.即,對(duì)于2維空間情形,解u滿足錐條件(3),且水平集φ指數(shù)收斂到平行于{y=±cotα}的直線.這個(gè)存在性結(jié)果對(duì)于更一般的滿足f′(0)<0,f′(1)<0且f>0 (0≤s<1)的非線性源f都成立[36].事實(shí)上,當(dāng)空間維數(shù)N=2且角度α<π/2并接近于π/2時(shí),可以用中心流形定理來(lái)證明方程(1)滿足漸近錐條件(3)的解(c,u)的存在性[23,38].

φ,當(dāng)∞.

當(dāng)空間維數(shù)N≥3時(shí),有

φ,當(dāng)∞.

4 Fisher-KPP方程的行波解

f(0)=f(1)=0,f′(0)>0,f′(1)<0,

(12)

滿足上述條件的一個(gè)典型的例子是f(s)=s(1-s).具Fisher-KPP型源的反應(yīng)擴(kuò)散方程來(lái)源于人口動(dòng)力學(xué)模型.眾所周知,當(dāng)空間維數(shù)N≥2時(shí)，方程vt=Δv+f(v)的平面行波解構(gòu)成N+1維流形,即

vν,c,h(t,z)=φc(z·ν+ct+h),

對(duì)任何c≥c*,函數(shù)φc滿足

函數(shù)φc是單調(diào)遞增的且在平移的意義下是唯一的.對(duì)任何c≥c*,令c是由下式確定的正實(shí)數(shù)

?c>c*,φc(s)～e(s→-∞).

已經(jīng)有許多工作研究方程vt=Δv+f(v)的Cauchy問(wèn)題解的長(zhǎng)時(shí)間行為問(wèn)題和解長(zhǎng)時(shí)間是否收斂到行波解的問(wèn)題.特別是在一維空間情形, 在一類相當(dāng)廣泛的初值條件下有許多結(jié)果[24].

我們知道,若方程的非線性源f在0,1附近的某個(gè)小區(qū)間上單調(diào)不增,那么滿足方程(9)的波速c(f)如果存在,必唯一.但是對(duì)于滿足條件(12)的非線性源方程的情況就截然不同.我們將要說(shuō)明,由來(lái)自不同方向和具有不同波速的平面行波解經(jīng)過(guò)混合可以構(gòu)造出非平面行波解,且這些非平面行波解構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮維的流形.特別地,有無(wú)窮多的行波解滿足方程(1)和漸近錐條件(3).我們也會(huì)介紹一些關(guān)于行波解的單調(diào)性和穩(wěn)定性的結(jié)果.

4.1 無(wú)窮維非平面行波解流形的存在性

已知，拋物方程

vt=Δv+f(v)

(13)

Δy-cuy+f(u)=0.

反過(guò)來(lái),方程(1)的任何一個(gè)解u都給出拋物方程(13)的一個(gè)行波解u(x,y+ct)=v(t,x,y).

在介紹無(wú)窮維非平面行波解流形的存在性之前,首先給出一些記號(hào).假設(shè)空間維數(shù)N≥2，令

為RN中以0為心、c*為半徑的開(kāi)球.RN中所有單位向量構(gòu)成的集合記為SN-1.定義集合

{S(ceN/2,c/2)B(0,c*)},

其中S(ceN/2,c/2)是以ceN/2為心、c/2為半徑的球面.令為定義在X上的所有非負(fù)非零Radon測(cè)度μ(0<μ(X)<+∞)的集合, 使得測(cè)度μ在球面SN-1×{c*}上的限制μ*可以寫成有限個(gè)Dirac測(cè)度之和:

TW={μ;?c[c*,+∞),μ集中于S(ν,c)}.

TWμuμ,

使得每個(gè)函數(shù)uμ都是方程(1)的介于區(qū)間(0,1)的解.

上述結(jié)果特別蘊(yùn)含了這樣一個(gè)事實(shí):如果非線性項(xiàng)f滿足條件(12),方程(1)在錐條件(3)下的解不具唯一性.事實(shí)上,如果f滿足條件(12),N≥2,0<α<π/2,csinα>c*, 那么,方程(1)滿足條件(3)的解構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮維流形.可見(jiàn),Fisher-KPP方程比具點(diǎn)火溫度型或雙穩(wěn)態(tài)型非線性源的方程具有更多的解.

4.2Fisher-KPP方程非平面行波解的定性性質(zhì)

關(guān)于Fisher-KPP方程非平面行波解的單調(diào)性,HAMEL等[48]證明了:假定f滿足條件(12),N≥2,若對(duì)某個(gè)c≥0,0

HUANG[49]證明了一般的N維空間中Fisher-KPP方程非平面行波解的穩(wěn)定性:若攝動(dòng)具有緊支集, 那么所有的(平面的和非平面的)行波解都是整體穩(wěn)定的；若攝動(dòng)沒(méi)有緊支集但具有適當(dāng)?shù)闹笖?shù)衰減率,那么傳播速度大于最小波速的那部分行波解是整體穩(wěn)定的.

最近,El SMAILY等[50]考慮了二維周期剪切流中的非平面行波解. 證明了最小傳播速度的存在性、行波解的單調(diào)性, 還分別討論了反應(yīng)項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)和對(duì)流項(xiàng)對(duì)最小傳播速度的影響.

5 其他相關(guān)研究

前幾節(jié)介紹的主要是方程(1)滿足錐條件(3)的非平面行波解的一些結(jié)果,這些工作主要是由一些法國(guó)學(xué)者完成的.在這一節(jié)中,我們列出一些其他相關(guān)方程或方程組的非平面行波解的研究結(jié)果.TANIGUCHI等在Allen-Cahn方程的V狀行波解和棱錐狀行波解等方面做出了系列的工作, 包括這類非平面行波解的存在性、唯一性、單調(diào)性以及漸近穩(wěn)定性等[36,51-55].此外, TANIGUCHI等還就平均曲率流方程中的非平面行波解問(wèn)題做了一些研究, 例如考慮了行波解的分類以及旋轉(zhuǎn)對(duì)稱非平面行波解的存在性[56]; 考慮了平均曲率流方程非平面行波解的穩(wěn)定性以及V狀行波解的收斂性等解的長(zhǎng)時(shí)間行為問(wèn)題[57-59].近年來(lái), 一些國(guó)內(nèi)學(xué)者也開(kāi)始關(guān)注非平面行波解的一些問(wèn)題. 例如在柱狀區(qū)域的反應(yīng)擴(kuò)散對(duì)流方程的非平面行波解,以及具時(shí)滯或周期的反應(yīng)擴(kuò)散方程及方程組的非平面行波解等方面取得了一系列深刻的研究成果[60-65].對(duì)周期或準(zhǔn)周期區(qū)域中的平均曲率流方程的準(zhǔn)周期行波解等問(wèn)題做出了一系列的研究工作，給出了準(zhǔn)周期行波及其平均速度的嚴(yán)格定義,并且證明了存在性、唯一性、穩(wěn)定性還討論了平均傳播速度等問(wèn)題[66-72].

由于非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的非平面行波解是一類較新的問(wèn)題,所以到目前為止，仍然有一些尚未解決的重要問(wèn)題.特別是在部分方向上具有周期性的全空間中的相應(yīng)問(wèn)題.顯然,通常的沒(méi)有周期性的區(qū)域可以看成是周期性區(qū)域的周期趨于零時(shí)的特例.所以,在周期性區(qū)域中考慮非線性擴(kuò)散方程的錐狀行波解使得所考慮的問(wèn)題更具有廣泛性.此外,研究周期趨于零和周期趨于無(wú)窮大這2個(gè)極限過(guò)程將是特別有意義的問(wèn)題.除了在周期性介質(zhì)中非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的錐狀行波解以外,在通常的沒(méi)有周期性的區(qū)域中也還有一些重要的問(wèn)題沒(méi)有解決.例如,在N維空間中(N≥2),若攝動(dòng)沒(méi)有緊支集,那么由HAMEL和NADIRASHVILI所構(gòu)造的這類具最小波速的行波解的穩(wěn)定性依然是個(gè)公開(kāi)問(wèn)題. 此外, 這類由測(cè)度生成的解關(guān)于測(cè)度的唯一性也是一個(gè)公開(kāi)的問(wèn)題.

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Keywords： reaction-diffusion equations; nonplanar; travelling fronts

NonplanarTravellingFrontsofReaction-DiffusionEquationsinRN

HUANG Rui,YIN Jingxue*

(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

The problems about the nonplanar travelling fronts of reaction-diffusion equations in RNare proposed by some French researchers who have obtained many important results in recent ten years. Some main results about these issues are reviewed. Firstly, as an example of nonplanar travelling fronts, the model of Bunsen flame is introduced. The PDE model of this problem with two important nonlinear sources, that is, ignition temperature source and bistable source which have obvious reality background is given accordingly. Then, some qualitative properties of these nonplanar travelling fronts, including the existence, the uniqueness, the monotonicity, the stability and the properties of the level sets of the solutions are reviewed. Next, the results about the equation with KPP type source, including the existence of an infinite-dimensional manifold of nonplanar fronts, the monotonicity, the stability and the properties of minimal propagation speed are introduced. At last, some other relative results in this field are reviewed and then some open questions in this subject are proposed.

2012-10-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11071099,11001103)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(20114407110008)；教育部留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金(教外司留[2009]1341)

*通訊作者：尹景學(xué)，教授,長(zhǎng)江學(xué)者，Email: yjx@scnu.edu.cn.

1000-5463(2013)01-0001-09

O175.29

A

10.6054/j.jscnun.2012.12.001

【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文責(zé)編：肖菁】