怎樣備課——從“平行四邊形性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)說起

●王華鵬

(黃巖實(shí)驗(yàn)中學(xué) 浙江黃巖 318020)

怎樣備課——從“平行四邊形性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)說起

●王華鵬

(黃巖實(shí)驗(yàn)中學(xué) 浙江黃巖 318020)

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，豐富的網(wǎng)絡(luò)資源給教學(xué)帶來了很多便利，但也使很多教師特別是年輕教師在備課時(shí)被現(xiàn)成的課件所綁架.教學(xué)需要?jiǎng)?chuàng)新的系統(tǒng)設(shè)計(jì)，這是教師實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)的系統(tǒng)規(guī)劃．沒有進(jìn)行系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，教學(xué)就失去了靈魂．

備課需要研究教材，整合教師與學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)，這是一個(gè)在沖突中尋求平衡的過程．下面以人教版“平行四邊形”(第1課時(shí))的教學(xué)為例談?wù)劸唧w的操作思路．

1 對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解與分析

平行四邊形是“空間與圖形”領(lǐng)域中最基本的幾何圖形之一，它在生活中有著十分廣泛的應(yīng)用.對(duì)邊平行是平行四邊形的本質(zhì)屬性，是仿射變換下平行不變性的體現(xiàn).初中階段有關(guān)平行四邊形的學(xué)習(xí)綜合了平行線與三角形的相關(guān)知識(shí)，突出演繹推理，是訓(xùn)練學(xué)生思維的良好平臺(tái)，也為高中向量加法運(yùn)算提供了直觀模型.

本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容是平行四邊形的定義以及邊、角的性質(zhì)．2組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，它揭示了“平行四邊形”與“四邊形”的隸屬關(guān)系，以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，反映了平行四邊形的本質(zhì)屬性．平行四邊形邊、角的性質(zhì)中，“平行四邊形的對(duì)邊相等”相對(duì)于定義中的“2組對(duì)邊分別平行”，是由位置關(guān)系向數(shù)量關(guān)系的一種延伸；“平行四邊形的對(duì)角相等”相對(duì)于“2組對(duì)邊分別平行”，是由“相鄰的角互補(bǔ)”產(chǎn)生的一種思維的深化．

平行四邊形性質(zhì)的探究，經(jīng)歷了“感知、猜想、驗(yàn)證、概括、證明”的認(rèn)知過程；研究先從邊分析，再從角分析，再到下一節(jié)課的從對(duì)角線分析，提供了研究四邊形的一般思路；平行四邊形性質(zhì)的證明，滲透了將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的思想，在證明線段相等或角相等時(shí)經(jīng)常借用三角形全等的方法，而添加對(duì)角線，則是將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的一種常用手段．因此本課的教學(xué)重點(diǎn)是：平行四邊形邊、角的性質(zhì)以及幾何研究的一般思路與方法．

學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念并能應(yīng)用公式計(jì)算平行四邊形的周長、面積，但這些只是從感性認(rèn)識(shí)的層面對(duì)圖形特征加以辨別與數(shù)量的計(jì)算．作為初中生，需要從對(duì)圖形的整體感知發(fā)展到基于邏輯推理的理性認(rèn)識(shí)，在這個(gè)過程中，需要做好2項(xiàng)工作:一是為了明確概念而確立定義;二是為了揭示真理而推證定理．

本節(jié)課始終圍繞類比與轉(zhuǎn)化的思想，考慮初中生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，通過回顧和類比三角形的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)幾何圖形的過程是必要的．但這種幾何研究的一般思路不適合同時(shí)大篇幅地向?qū)W生介紹，應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)的不同進(jìn)程中根據(jù)需要適時(shí)給出對(duì)應(yīng)內(nèi)容，以漸進(jìn)的方式在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過程中讓學(xué)生不斷體會(huì)與領(lǐng)悟，這是本課的教學(xué)難點(diǎn)，也是有效設(shè)計(jì)本節(jié)教學(xué)的關(guān)鍵．

2 站在學(xué)生的角度設(shè)計(jì)教學(xué)

站在學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來思考是進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的核心要求，唯有如此方能有效突破難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)．在具體的教學(xué)過程設(shè)計(jì)中，應(yīng)以“問題串”方式呈現(xiàn)為主．所提出的問題應(yīng)當(dāng)注意適切性，對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和領(lǐng)悟思想方法有真正的啟發(fā)作用，達(dá)到“跳一跳摘果子”的效果．

2.1 從實(shí)物到圖形——平行四邊形定義的確立

(1)展示圖片或錄像，感受生活中大量存在平行四邊形的形象(如圖1)．

圖1

說明：幾何學(xué)是對(duì)空間形式的研究，而幾何圖形是對(duì)生活中具體形象的抽象．讓學(xué)生真切感受現(xiàn)實(shí)世界中許多物體給我們以平行四邊形的形象．

(2)教師通過電腦，演示從實(shí)物中抽象出平行四邊形的過程．

說明：從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形——平行四邊形，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)平行四邊形圖形的認(rèn)識(shí).

(3)問題：你還記得三角形、等腰三角形是如何定義的嗎？類似地，你能給出平行四邊形的定義嗎？

學(xué)生會(huì)答對(duì)，因?yàn)樾W(xué)講過，學(xué)生講后，教師指出：正如有2條邊相等的三角形是等腰三角形，平行四邊形是特殊的四邊形，是在四邊形基礎(chǔ)上進(jìn)行定義的．同時(shí)對(duì)定義的文字描述進(jìn)行劃線，以分清層次，強(qiáng)調(diào)“四邊形”和“2組對(duì)邊分別平行”這2個(gè)條件:一個(gè)“四邊形”必須具備有“2組對(duì)邊分別平行”才是平行四邊形；反之，平行四邊形，就一定是有“2組對(duì)邊分別平行”的一個(gè)“四邊形”．

說明：類比三角形和等腰三角形的定義，滲透類比思想，進(jìn)一步明確四邊形、平行四邊形的本質(zhì)內(nèi)涵與定義形式，也為后續(xù)研究特殊平行四邊形的定義埋下伏筆．

(4)三角形常用符號(hào)“△”與3個(gè)頂點(diǎn)字母來表示；對(duì)于平行四邊形，我們也有類似的表示方法．

將前面抽象出的平行四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)上字母，類比三角形的表示方法，介紹平行四邊形的符號(hào)表示方法(如圖2)．

圖2

有了符號(hào)表示后，前面的生活語言敘述就可以改為用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行的推理：

推理1因?yàn)锳BCD(已知),所以AB∥CD，AD∥BC(平行四邊形的定義).

推理2因?yàn)锳B∥CD，AD∥BC(已知),所以四邊形ABCD是平行四邊形(平行四邊形的定義).

說明：強(qiáng)調(diào)定義的2個(gè)方面作用:一是可以判定一個(gè)四邊形是不是平行四邊形;二是平行四邊形具有2組對(duì)邊分別平行的性質(zhì)．

2.2 從直覺到證明——平行四邊形性質(zhì)的探究

(1)引言：與三角形的學(xué)習(xí)過程一樣，對(duì)于一種幾何圖形的研究，我們總是先確定它的定義，再在定義的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究圖形的性質(zhì)．而對(duì)性質(zhì)的研究，其實(shí)就是對(duì)邊、角、線等基本構(gòu)成要素關(guān)系的揭示．

說明：對(duì)圖形性質(zhì)的研究，重在解決研究什么和怎么研究的問題.在引言部分，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，使學(xué)生明確平行四邊形性質(zhì)的探究方向．

(2)問題：對(duì)于平行四邊形，從定義出發(fā)，你能進(jìn)一步得出其他性質(zhì)嗎？

由于有了小學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)說出對(duì)邊相等、對(duì)角相等．教師結(jié)合前面已經(jīng)標(biāo)注字母的平行四邊形將其以數(shù)學(xué)語言表述．

猜想1由ABCD,得AB=CD,AD=BC.

猜想2由ABCD,得∠A=∠C,∠B=∠D．

(3)追問：你能證明這些結(jié)論的正確性嗎？

這里的教學(xué)宜采用開放式教學(xué)，讓學(xué)生充分自由發(fā)表意見，學(xué)生的思維在交流中碰撞．一般地，學(xué)生會(huì)對(duì)2個(gè)結(jié)論分開證明，其中對(duì)角相等利用平行線的性質(zhì)可證，而對(duì)邊相等則需要添加輔助線利用全等證明．證后又會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)用全等可以同時(shí)證明2個(gè)結(jié)論，此時(shí)可進(jìn)一步明確平行四邊形的對(duì)角線將平行四邊形分成2個(gè)全等的三角形這個(gè)常識(shí)．

說明：猜想結(jié)論并不困難，主要是對(duì)猜想的結(jié)論(小學(xué)里的常識(shí))應(yīng)當(dāng)進(jìn)行證明，只有經(jīng)過證明才能成為定理，這是追問設(shè)計(jì)的意圖所在．

(4)點(diǎn)撥：學(xué)生思維受阻時(shí)，可進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生領(lǐng)悟.證明線段相等、角相等通常是利用全等的方法，而圖形中沒有三角形，只有四邊形，可見需添加輔助線，構(gòu)造三角形，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解決，使難點(diǎn)得以突破．教師可在證明思路完成后進(jìn)行歸納小結(jié)，對(duì)思想策略加以提煉．

說明：平行四邊形性質(zhì)的證明，滲透了將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的思想，在證明線段相等或角相等時(shí)經(jīng)常借用三角形全等的方法，而添加對(duì)角線，則是將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的一種常用手段．

(5)歸納：①平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等;②平行四邊形的一條對(duì)角線將平行四邊形分成2個(gè)全等的三角形;③有些四邊形問題在不能直接運(yùn)用四邊形的性質(zhì)解決時(shí),常常可以轉(zhuǎn)化為三角形問題處理．

說明：歸納環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是對(duì)探究過程中得到的結(jié)論(知識(shí))和形成的思想策略進(jìn)行回顧與整理,這有助于學(xué)生形成清晰的認(rèn)識(shí)．

2.3 從基礎(chǔ)到綜合——平行四邊形性質(zhì)的運(yùn)用

(1)簡單計(jì)算，直接應(yīng)用.

出示題目后讓學(xué)生口答，要求說清理由．

說明：若學(xué)生用多種方法計(jì)算，可進(jìn)行比較分析．此題解決后應(yīng)進(jìn)一步復(fù)述平行四邊形邊、角的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等;平行四邊形的鄰角互補(bǔ)、對(duì)角相等．

圖3 圖4

(2)推理論證，鞏固知識(shí).

例1如圖4，在ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：AE=CF．

分析要證明線段相等，我們利用全等三角形的性質(zhì),全等的條件可由平行四邊形的性質(zhì)得到．

證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以

∠A=∠C，AD=CB.

又

∠AED=∠CFB=90°，

所以

△ADE≌△CBF,

從而

AE=CF.

說明：先由學(xué)生口頭講解思路，要求做到有理有據(jù)，條理清楚,再書寫過程．在運(yùn)用的過程中加深對(duì)定理的理解．

圖5

(3)綜合運(yùn)用，提升能力．

例2如圖5，已知：△ABC是等腰三角形，P是底邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE∥AB，PF∥AC．求證：PE+PF=AB．

說明：此題需要先運(yùn)用平行四邊形的定義證明四邊形AEPF是平行四邊形，然后運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)“對(duì)邊相等”進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化，同時(shí)綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和判定．此題的分析和解決，有利于學(xué)生結(jié)合具體問題的已知和求證綜合分析思路，在綜合運(yùn)用中，相關(guān)知識(shí)得以結(jié)合，這也是掌握的標(biāo)志．

在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)時(shí)間情況，可以讓學(xué)生講解思路，要求條理清楚，有理有據(jù).如果時(shí)間不多，證明過程可以不寫．

2.4 從學(xué)習(xí)歷程回顧到反思總結(jié)——課堂小結(jié)

可以圍繞以下幾個(gè)方面進(jìn)行：

(1)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

(2)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)和過去三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，你覺得對(duì)一個(gè)幾何圖形的研究通常是怎樣進(jìn)行的？

(3)對(duì)于平行四邊形你還有哪些方面感興趣、覺得有必要進(jìn)一步研究思考的呢？

說明：3個(gè)問題從不同的層次與角度提出，引導(dǎo)學(xué)生在回顧的基礎(chǔ)上總結(jié)與延伸，體現(xiàn)平行四邊形的教學(xué)不僅要完成其自身顯性知識(shí)的教學(xué)，而且還擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生策略性知識(shí)的重要作用,體現(xiàn)對(duì)思想方法教學(xué)適時(shí)滲透、自然體會(huì)、自覺運(yùn)用的價(jià)值追求．

3 基于課例設(shè)計(jì)過程的思考

3.1 對(duì)重難點(diǎn)的深入剖析是設(shè)計(jì)的前提

教學(xué)重點(diǎn)是教材的邏輯結(jié)構(gòu)決定的，是客觀存在的，對(duì)每個(gè)學(xué)生都是一致的．而難點(diǎn)是指學(xué)生在接受上比較困難的知識(shí)點(diǎn)，是由學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間的不協(xié)調(diào)造成的，是因人而異的．備課時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)系以及思維發(fā)展理論，對(duì)學(xué)生在本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)中可能遇到的障礙進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)出現(xiàn)障礙的原因進(jìn)行分析，在分析的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確把握教學(xué)難點(diǎn)．

3.2 以學(xué)定教是設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)

以學(xué)定教就是要遵循學(xué)生“學(xué)”的特點(diǎn)和規(guī)律進(jìn)行設(shè)計(jì)，在小學(xué)階段，通過動(dòng)手活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)有所了解，因此，這節(jié)課不應(yīng)該把動(dòng)手探究作為一個(gè)重要內(nèi)容處理，而是在猜想性質(zhì)的基礎(chǔ)上，把教學(xué)重點(diǎn)放在對(duì)性質(zhì)的證明上．通過證明，一方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行演繹推理能力的訓(xùn)練，另一方面，可以滲透證明中蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想．

在平行四邊形定義與性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中，適時(shí)滲透類比、轉(zhuǎn)化的思想，使學(xué)生自然體會(huì)幾何研究的一般思路與方法是本節(jié)課的靈魂所在，強(qiáng)調(diào)適時(shí)和自然的原因在于教師認(rèn)為簡單自然的，學(xué)生不一定會(huì)認(rèn)為簡單，教師的思維不能代替學(xué)生的思維．

3.3 點(diǎn)線結(jié)合是設(shè)計(jì)的方法

一堂清晰流暢的課，必然有一條明晰的主線，否則這個(gè)設(shè)計(jì)就是雜亂無章、高耗低效的．明晰的主線還只是一種宏觀上的思路，如果沒有微觀的精致的細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)，就會(huì)空洞無力，因此要精心設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的關(guān)鍵點(diǎn)、學(xué)習(xí)情趣升華的觸發(fā)點(diǎn)和教學(xué)環(huán)節(jié)自然發(fā)展的連接點(diǎn)．

[1] 李昌官．?dāng)?shù)學(xué)優(yōu)秀課成長的基礎(chǔ)、過程與方法[J]．課程·教材·教法，2011(8):58-63．

[2] 章建躍．聚焦中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008(11):6-10．