學(xué)生在邏輯推理中的思維誤區(qū)及矯正對策

●陶增元

(九江市第十一中學(xué) 江西九江 332000)

學(xué)生在邏輯推理中的思維誤區(qū)及矯正對策

●陶增元

(九江市第十一中學(xué) 江西九江 332000)

學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)是以認(rèn)識(shí)和發(fā)展平面幾何知識(shí)為目的的一種思維活動(dòng).在這個(gè)過程中，學(xué)生將思維建立在幾何概念和定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理，然而推理的過程并不是一帆風(fēng)順的，學(xué)生解題過程中會(huì)暴露出思維上的誤區(qū)，嚴(yán)重影響學(xué)生邏輯思維能力的健康發(fā)展[1].他們在進(jìn)行幾何證明時(shí)，由于邏輯思維不夠縝密，致使他們的推理過程漏洞百出，歸納起來有以下幾種思維上的誤區(qū)．

1 移花接木

所謂“移花接木”指的是學(xué)生在邏輯推理的過程中，由條件中推導(dǎo)出的結(jié)論與本身?xiàng)l件不相一致，它是根據(jù)學(xué)生的需要生拉硬拽得出的結(jié)論，這種錯(cuò)誤常常出現(xiàn)在全等三角形證明的過程中．這種錯(cuò)誤不是學(xué)生的有意行為，而是一種無意行為，是他們沒有意識(shí)到自己在思維上的一個(gè)誤區(qū)．

圖1

案例1如圖1，已知在矩形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F．求證：BE=CF．

學(xué)生A的解答是：在矩形ABCD中，AB=DC．因?yàn)锳C與BD是矩形ABCD的對角線，所以

OA=OC，OB=OD,

從而

△AOB≌△COD,

得

∠BAO=∠CDO.

又因?yàn)锽E⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，所以

∠BEA=∠CFD．

在△ABE與△DCF中，因?yàn)?/p>

∠BAO=∠CDO，∠BEA=∠CFD，AB=DC，

所以

△ABE≌△DCF,

從而

BE=CF．

點(diǎn)評學(xué)生在得到△AOB≌△COD后，誤認(rèn)為點(diǎn)A與點(diǎn)D對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)C對應(yīng)，從而∠BAO=∠CDO，在不知不覺中實(shí)行了移花接木.在他的思維當(dāng)中，∠BAO=∠CDO是很自然、正確的，卻沒有認(rèn)真思考這2個(gè)角是否是對應(yīng)角．

2 無中生有

“無中生有”指的是學(xué)生在答題過程中，常常根據(jù)答題的需要，自己杜撰定理或條件．有些學(xué)生將看起來成立但未經(jīng)證明的結(jié)論或者某些定理的逆命題理所當(dāng)然地認(rèn)為是定理，而不假思索地應(yīng)用到證明當(dāng)中．

圖2

案例2如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于點(diǎn)E，求證：四邊形AECD是菱形．

學(xué)生B的證明過程是：聯(lián)結(jié)ED,交AC于點(diǎn)F，因?yàn)锳B∥CD，CE∥AD，所以四邊形ADCE是平行四邊形，AC與ED互相平分，即AF為DE的中線.又因?yàn)锳C為∠BAD的平分線，所以△ADE是等腰三角形，從而AD=AE，即ADCE是菱形．

點(diǎn)評在證明過程中，學(xué)生理所當(dāng)然地認(rèn)為“等腰三角形的三線合一”會(huì)有一個(gè)逆定理，即：如果三角形中一個(gè)角的角平分線是對邊的中線，則這個(gè)三角形是等腰三角形．基于這個(gè)考慮，認(rèn)為AF既是ED的中線又是頂角的平分線，因此△ADE是等腰三角形.

3 望“圖”生義

圖3

望“圖”生義就是學(xué)生根據(jù)圖形主觀認(rèn)定某個(gè)數(shù)學(xué)對象自然而然是存在的，主要表現(xiàn)在習(xí)題的已知條件中并不存在的數(shù)學(xué)對象，而在圖形中看起來像存在這種數(shù)學(xué)對象，而證明過程中恰好又可以使用，于是就順理成章地被學(xué)生拿來作為條件或結(jié)論加以使用．

案例3如圖3，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上的一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG，聯(lián)結(jié)GD，求證：△ADG≌△ABE．

相當(dāng)多學(xué)生的證明是：因?yàn)樗倪呅蜛BCD與四邊形AEFG都是正方形，所以

AB=AD，AE=AG,且∠ABE=∠ADC=90°，

可得

∠ADG=90°，

從而△ADG與△ABE都是直角三角形．在Rt△ADG與Rt△ABE中，

AE=AG，AB=AD．

因此

△ADG≌△ABE(HL)．

點(diǎn)評這些學(xué)生沒有注意到題中的“聯(lián)結(jié)GD”的含義意謂著點(diǎn)C,D,G可能不在同一直線上，這些學(xué)生僅是根據(jù)圖形的形狀就望“圖”生義，主觀臆測得出∠ADG=90°，因而錯(cuò)誤地運(yùn)用“HL”定理證明了△ADG≌△ABE．

4 “思”無反顧

邏輯思維具有多向性，它不僅可以正向思維，也可以逆向思維．逆向思維是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維[2].

在證明題中，若從條件出發(fā)很難直接得到結(jié)論，則可以采用逆向思維，從結(jié)論出發(fā)采取倒推的方法，逐步回溯分析，最后得出所需要的數(shù)學(xué)對象．由于這類題要求的思維度比較高、難度較大，不善于使用逆向思維方法進(jìn)行思考的學(xué)生往往會(huì)感到束手無策，讓人感覺其“思”無反顧．所謂“思”無反顧指的某些學(xué)生只善于從正面入手思考問題，但不善于使用逆向思維進(jìn)行邏輯分析．

圖4

在幾何學(xué)習(xí)過程中，某些學(xué)生除了存在上述思維誤區(qū)以外，還存在著：證明過程中的“因?yàn)?所以”上下語句之間不存在因果關(guān)系，濫用同理可證等一些似是而非的證明，稍不留神，就有可能被這個(gè)證明蒙混過關(guān)，給將來的學(xué)習(xí)埋下隱患．

由于學(xué)生的思維不可能是統(tǒng)一的，他們對同一證明題給出的證法是多種多樣的，其中不乏錯(cuò)誤的證法，但這些錯(cuò)誤是真實(shí)美麗的，可遇而不可求的，這就要求教師及時(shí)捕捉一些有用的信息，順勢利導(dǎo)，將這些信息轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源.針對這些思維誤區(qū)，筆者采用了以下幾個(gè)步驟進(jìn)行矯治：

(1)辨：將學(xué)生的幾種不同證法全部展示在全體學(xué)生面前，其中的錯(cuò)誤證法可能不只一種，由學(xué)生自己仔細(xì)辨別這些證法，對其中的錯(cuò)誤證法進(jìn)行糾錯(cuò)，這種做法可以提高學(xué)生的興趣，也可以提高學(xué)生辨別正誤的能力．培養(yǎng)學(xué)生具有一雙慧眼，遠(yuǎn)比教師在辛辛苦苦地講授、學(xué)生昏昏欲睡地被動(dòng)接受的效果好得多．當(dāng)然，在辨別糾錯(cuò)的過程中，學(xué)生難免有誤判，這就給我們進(jìn)行下一步提供了契機(jī)．

(2)辯：俗話說：理不辯不明．很多學(xué)生知道某些幾何題的證法是錯(cuò)誤的，但只知其然卻不知其所以然，他們并沒有從思想深處真正理解邏輯推理的要義．因此，有必要讓學(xué)生參與到辯論當(dāng)中來，采用的形式可以是學(xué)生與學(xué)生進(jìn)行辯論，也可以是老師與學(xué)生進(jìn)行辯論.在辯論的過程中，讓學(xué)生在思維的碰撞中產(chǎn)生思想火花，產(chǎn)生解題的靈感，達(dá)到“理越辯越明”的目的，同時(shí)也可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，鍛煉學(xué)生的口頭表達(dá)能力．

(3)變：在完成上述2個(gè)步驟之后，可以讓多數(shù)學(xué)生明白邏輯推理中可能存在哪些誤區(qū)，使得他們免去誤入歧途的危險(xiǎn)．但這一招還不足以使所有的學(xué)生都能順利地掌握邏輯推理的精髓，需要反復(fù)訓(xùn)練，由此可以采用第3個(gè)步驟“變”． 教師可準(zhǔn)備多道變式練習(xí)，這些習(xí)題或者是改變了原題的條件，或者是改變了原題的結(jié)論，或者是改變了題型，如將證明題改編成開放題、計(jì)算題或探索題.總之，要讓學(xué)生在“變”的過程中領(lǐng)略到幾何證明題的魅力，它可以有多種變換形式，不同的題型隱含著不同的解決方法或思想方法.“變”可以起到舉一反三、融會(huì)貫通的作用，它對學(xué)生所學(xué)知識(shí)的掌握、技能的發(fā)展，分析問題、解決問題能力的提高，起著舉足輕重的作用．

(4)遍：所謂“遍”指的是遍訪每一個(gè)學(xué)生，找出所有在經(jīng)歷上述3個(gè)步驟之后依然存在各種不同思維誤區(qū)的學(xué)生臨時(shí)組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，在該學(xué)習(xí)小組中重復(fù)上述3個(gè)步驟，直到所有學(xué)生基本消除這一類習(xí)題在邏輯推理中的思維誤區(qū)為止．

對學(xué)生進(jìn)行邏輯思維能力的培養(yǎng)是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，某些學(xué)生初學(xué)證明時(shí)，看似掌握得挺快，實(shí)則漏洞百出，這就需要教師用火眼金睛去發(fā)現(xiàn)其中的漏洞，讓學(xué)生在交流中領(lǐng)悟，在思維的碰撞中自省，將學(xué)生的錯(cuò)誤消滅在萌芽狀態(tài)，切忌等到學(xué)生積重難返時(shí)再糾錯(cuò)．

解題過程中的思維誤區(qū)是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的相伴產(chǎn)物，是具有特殊教育作用的寶貴的教學(xué)資源.我們要善于尋找、開發(fā)、利用這些寶貴資源，讓學(xué)生在糾錯(cuò)、辯論的過程中感悟、自省、領(lǐng)悟方法，引導(dǎo)學(xué)生對這些思維誤區(qū)進(jìn)行分析，探究產(chǎn)生的原因，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知能力和情感的發(fā)展[3]．

[1] 劉海濤．平面幾何解題思維障礙的成因及解決策略[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2012(3)：21．

[2] 彭玉迎．?dāng)?shù)學(xué)逆向思維訓(xùn)練淺議[J]．中學(xué)生數(shù)理化:教與學(xué)，2010(1):20.

[3] 邵瀟野．運(yùn)用錯(cuò)誤資源拓展思維空間[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2011(9)：5.