問題驅(qū)動(dòng)下的一節(jié)復(fù)習(xí)課
——基本不等式的章節(jié)復(fù)習(xí)課實(shí)錄及反思

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(龍泉市中等職業(yè)學(xué)校 浙江龍泉 323700)

問題驅(qū)動(dòng)下的一節(jié)復(fù)習(xí)課
——基本不等式的章節(jié)復(fù)習(xí)課實(shí)錄及反思

●鄒必珍

(龍泉市中等職業(yè)學(xué)校 浙江龍泉 323700)

章節(jié)復(fù)習(xí)課的常見套路是：知識(shí)梳理——例題講評(píng)——方法提煉——習(xí)題訓(xùn)練，其優(yōu)點(diǎn)是：教師可以掌控課堂，容量大，節(jié)奏快；其缺點(diǎn)是：對(duì)學(xué)生限制過多，學(xué)習(xí)被動(dòng)，有效性不高.為探討如何提高章節(jié)復(fù)習(xí)課的有效性，浙江省龍泉市在數(shù)學(xué)名師的組織與指導(dǎo)下，采取校際合作、課例研討的形式，圍繞“問題驅(qū)動(dòng)下的章節(jié)復(fù)習(xí)課”這個(gè)主題進(jìn)行了聽課、評(píng)課、改進(jìn)等一系列的研討活動(dòng)，其中不乏精彩的案例，現(xiàn)擇其一例，贅述如下，以求教大家.

1 課堂實(shí)錄

1．1 問題啟動(dòng)，梳理知識(shí)，提煉方法

師：請(qǐng)同學(xué)們思考：已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求xy的最小值.

生1(演板)：由2x+8y-xy=0可得

師：你是如何想到的？

師：回答得很好，抓住了運(yùn)用基本不等式解題的結(jié)構(gòu)特征：和積形式上的轉(zhuǎn)化.但上式中的最小值能取到嗎,此時(shí)x,y的值是多少？

生2：當(dāng)x=16,y=4時(shí)取到最小值.

師：在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)一定要考慮等號(hào)是否成立.

1.2 學(xué)生編題，激活思維，拓展能力

師：下面給大家?guī)追昼姷臅r(shí)間，在不改變題目條件的情形下，編出新題，并嘗試去解決這些問題.

(學(xué)生思考與編題.)

師：下面請(qǐng)大家說說自己編出的題及編題的思路.

生3：我編出的題目是“求x+y的最小值”，我想xy有最小值，x+y可能就在積最小時(shí)取到最小值20.

生4：我編出的題目是求“xy的最大值”，既然在限制條件下有最小值，我猜想可能也會(huì)有最大值.

生5：我編出的題目是“求x+y的最大值”，我是把積式改為和式，最小值改為最大值.

生6：我編出的題目是“求x+4y的最小值”，因?yàn)楹褪教岢?之后就是x+4y，而積式通過配湊系數(shù)可以湊成(x+4y)2的形式，我可以上來寫嗎？

師：當(dāng)然可以啊！

生6(演板)：由已知可得

從而

x+4y≥32，

因此當(dāng)x=16,y=4時(shí)，x+4y取得最小值32.

師：想法真好，能夠抓住系數(shù)特征，對(duì)積的系數(shù)進(jìn)行配湊，并運(yùn)用基本不等式改編出新題，化積式為和式，寫得也很完整.

(筆者敏銳地意識(shí)到xy,x+y的最大值不存在，如何處理不存在問題可能比單純處理最值存在的問題更有價(jià)值.)

師：大家用類比、聯(lián)想、配湊的方法，編出了很多新題，真的很有想法，不錯(cuò)！這些問題都可以求解嗎？怎么求解呢？若不能求解，請(qǐng)說明理由.大家不妨動(dòng)手試試.

生7(演板)：由條件可得

從而

x+y-10≥8，

即

x+y≥18，

因此當(dāng)x=12,y=6時(shí)，x+y的最小值為18.

師：能說說你是怎么想到的嗎？

生7：要求x+y的最小值，條件中的積式可以化成x+y的形式，但和式不能化成x+y形式，我想不能直接用基本不等式了，先把整個(gè)條件寫成2個(gè)分別只含有x,y的一次式的乘積，嘗試后發(fā)現(xiàn)可以寫成……

師：哦，想法真不錯(cuò)！大家看看有什么需要補(bǔ)充的嗎？

生8：開方的時(shí)候?yàn)槭裁粗蝗+y-10≥8而舍去了x+y-10≤-8.由x+y-10≤-8可得x+y≤2，豈不是x+y的最大值為2?

生9：這不可能，最大值怎么可能比最小值小呢？

師：那問題出在哪兒？

生10(演板)：我這樣解，可以避免這個(gè)問題出現(xiàn)：由2x+8y-xy=0可得

……

師：你是怎么想到這樣求解的呢？

師：要是把問題改為:求x+3y的最小值呢？

師：方法1的關(guān)鍵是利用常數(shù)1，方法2的關(guān)鍵是配湊系數(shù).雖然問題解決了，但是前面的開方為什么不能取負(fù)值的問題還沒有解決，大家有什么想法嗎？

1.3 釋疑解惑，揭示本質(zhì)，貫通聯(lián)系

生13：題目條件可以變?yōu)?x=y(x-8)，因?yàn)閤>0,y>0,所以x>8，故x+y≤2不可能成立.

師：這只是解釋了x+y≤2不成立，在解題過程中我們應(yīng)該怎么敘述，哪位同學(xué)可以補(bǔ)充完整？

(學(xué)生敘述解題過程.)

師：小小等式左右移，移法不同乾坤大.2x=y(x-8)還能變嗎？

師：如果說前面幾位同學(xué)對(duì)條件的轉(zhuǎn)化是“量變”，你剛才這一小步就促成了“質(zhì)變”，把等式問題轉(zhuǎn)化成了函數(shù)問題，這是什么函數(shù)呢？

(學(xué)生主動(dòng)要求上來畫圖.)

師：圖像出來了，大家有什么啟發(fā)?

全體學(xué)生：xy,x+y不可能有最大值.

師：同學(xué)們，出一道題不容易，類比、聯(lián)想得到的一些結(jié)論不可靠.解決一個(gè)問題也不容易，但是要說明一個(gè)問題不可解則需要更大的智慧和勇氣.

1.4 歸納方法，體悟思想，強(qiáng)基固本

師：請(qǐng)思考下列問題，從知識(shí)、方法、易錯(cuò)點(diǎn)等層面梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí).

(1)基本不等式的核心知識(shí)是什么？基本方法是什么？

(2)運(yùn)用基本不等式解題的易錯(cuò)點(diǎn)在哪里？

學(xué)生回答，教師邊補(bǔ)充、邊板書，完成從知識(shí)到方法、從單一的知識(shí)點(diǎn)到知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建.

2 課后思考

章節(jié)復(fù)習(xí)課是常見的課型之一，是新課結(jié)束之后對(duì)章節(jié)核心知識(shí)的梳理、基本方法的提煉與落實(shí)、前后知識(shí)的融會(huì)貫通.本節(jié)課試圖通過一個(gè)問題及其深化達(dá)成這個(gè)目的.

2.1 在追問中梳理核心知識(shí),提煉方法

2．2 在釋疑解惑中貫通知識(shí)間的聯(lián)系,提升能力

學(xué)生具有較強(qiáng)的類比、聯(lián)想能力，在編題環(huán)節(jié)，學(xué)生通過類比、聯(lián)想編出了“求xy的最大值”和“求x+y的最大值”這2個(gè)沒有確定解的問題，教師沒有直接告訴學(xué)生這2個(gè)問題沒有解，而是敏銳地捕捉時(shí)機(jī)圍繞“開方之后為什么只取正值？”展開討論，在學(xué)生給出正確解法后還繼續(xù)追問“合理解釋”，催生出了最后的質(zhì)變“把等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)”，在函數(shù)觀點(diǎn)下再審視問題，學(xué)生心中的疑問豁然開朗，既解釋了為什么不能求解，又實(shí)現(xiàn)了函數(shù)與(不)等式(方程)之間的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生在潛移默化中體驗(yàn)這種轉(zhuǎn)化，提升能力.

2.3 在解題過程中引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)

“不僅要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方式思考，還要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方式表達(dá)”，科學(xué)、精煉的表達(dá)是解題的基本要求.學(xué)生1盡管求出了結(jié)果，但忽視了等號(hào)成立的條件，一句“最小值能取到嗎？”讓學(xué)生感受到了能否取到等號(hào)的重要性；學(xué)生8在開方時(shí)取正去負(fù)，雖然其他學(xué)生為其補(bǔ)充了理由，教師依然要求學(xué)生口述解題過程，對(duì)解題過程完整性的要求可見一斑.對(duì)問題“求xy的最大值”和“求x+y的最大值”的探究，其本質(zhì)就是給學(xué)生示范怎么去表達(dá)數(shù)學(xué)問題，如何正確表達(dá)過程，不能求解如何說明理由.

[1] 施仁智，江建國(guó).讓學(xué)生在自然的思考過程中催生新想法[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2012(3)：21-23.

[2] 柳小平，郭楚明.角色轉(zhuǎn)換 深化理解 感悟本質(zhì) 有效建構(gòu)——高三第一輪復(fù)習(xí)“求點(diǎn)的軌跡方程”教學(xué)簡(jiǎn)錄及反思 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011(7)：59-61.