為學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí) 學(xué)會(huì)探究而教
——以人教A版“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”教學(xué)為例

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(臺(tái)州市教育局教研室 浙江臺(tái)州 318000)

為學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)探究而教
——以人教A版“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”教學(xué)為例

●李昌官

(臺(tái)州市教育局教研室 浙江臺(tái)州 318000)

1 為何要為學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究而教

盡管大家都認(rèn)可“授人以漁而不是授人以魚”、“教是為了不教”等教學(xué)理念，但這些理念遠(yuǎn)沒有落到實(shí)處．丘成桐先生曾尖銳地指出“數(shù)學(xué)尖子生只是做習(xí)題的機(jī)器”.盡管高一學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，卻沒有掌握研究這些函數(shù)所用的思路與方法，不會(huì)自主探究或合作探究指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)．因此數(shù)學(xué)課要培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)力、探究力和創(chuàng)造力還有很長(zhǎng)的路要走．

2 如何為學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究而教

2.1 把學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究作為教學(xué)核心目標(biāo)

課堂教學(xué)因其追求不同、所用的方式方法不同而有品質(zhì)、品位的高低之分．如“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”教學(xué)，按其品質(zhì)高低可分為4個(gè)層次:第1層次是知識(shí)教學(xué)，重在學(xué)生接受和理解指數(shù)函數(shù)的概念及其性質(zhì)；第2層次是方法教學(xué)，重在學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)概念及其性質(zhì)的探究過程與探究方法；第3層次是能力教學(xué)，以指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的探究為載體，讓學(xué)生掌握研究函數(shù)的一般套路、思路與方法，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的觀察、分析、抽象、概括、轉(zhuǎn)化等能力；第4層次是品性教學(xué)，學(xué)生能在理解知識(shí)、掌握方法、發(fā)展能力的基礎(chǔ)上欣賞數(shù)學(xué)的力量與價(jià)值，能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，養(yǎng)成探究的意識(shí)與習(xí)慣，弘揚(yáng)合理的、有條理的思考和解決問題的理性精神．由于在眾多的、不同層次的教學(xué)目標(biāo)中，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究不僅發(fā)揮承上啟下的作用，而且還直接影響和決定著知識(shí)教學(xué)、品性教學(xué)的效果，因此它是數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)．

2.2 明晰知識(shí)結(jié)構(gòu)及其探究的思路與方法

布魯納認(rèn)為：“無論教什么課，務(wù)必要使學(xué)生理解這些科目的基本結(jié)構(gòu)，這是使用知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)處理課外問題和事件或者處理日后訓(xùn)練中遇到的問題的最起碼要求．”[3]因此要讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究，首先要明確探究的問題、明確數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與邏輯．比如，無論是初中的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，還是高中的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，其內(nèi)容結(jié)構(gòu)都是“具體實(shí)例—相應(yīng)函數(shù)概念—探討函數(shù)性質(zhì)—明確函數(shù)性質(zhì)—應(yīng)用性質(zhì)”，要研究的問題都是函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性及其圖像的基本特征等．

德國(guó)教育家第斯多惠曾指出：“一個(gè)壞的教師是奉送真理，一個(gè)好的教師則教人發(fā)現(xiàn)真理．”而要教人發(fā)現(xiàn)真理，就必須教給發(fā)現(xiàn)真理的方法．以“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”教學(xué)為例，教師首先自己要明晰然后讓學(xué)生明晰：指數(shù)函數(shù)概念形成過程所用的方法主要有觀察、分析、抽象、概括等；探究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)所用的方法主要有以形論數(shù)、以退求進(jìn)、從特殊到一般、分類討論等；運(yùn)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決問題所用的方法主要有建立函數(shù)模型、化歸等．

2.3 明晰學(xué)生探究的起點(diǎn)與能力

只有明晰學(xué)生探究的起點(diǎn)與能力，教師才能使探究問題及其難度處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，進(jìn)而做到有效探究．如“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”教學(xué)時(shí)，既要看到學(xué)生已經(jīng)學(xué)過函數(shù)概念和一些具體的函數(shù)，已經(jīng)有研究函數(shù)及其性質(zhì)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，又要看到前面這些函數(shù)的概念及其性質(zhì)在很大程度上是教師“告知”的而不是學(xué)生自主探究得到的，學(xué)生沒有掌握研究函數(shù)性質(zhì)的基本思路與方法，缺乏獨(dú)立自主探究指數(shù)函數(shù)概念及其性質(zhì)的能力．

2.4 明晰為學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究而教的策略與方法

遵循“變教為導(dǎo)、變學(xué)為研”的原則，以數(shù)學(xué)知識(shí)合乎邏輯的發(fā)展和數(shù)學(xué)思維的自然展開為主線，以教師指導(dǎo)下的自主化程度較高的探究為學(xué)生學(xué)習(xí)的主要方式．遵循數(shù)學(xué)研究的基本套路——背景、問題、方法、結(jié)論、應(yīng)用，即明晰研究背景,提出研究問題,明確研究方法,探究數(shù)學(xué)結(jié)論,鞏固應(yīng)用結(jié)論．緊緊抓住和利用思維的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”和“關(guān)鍵點(diǎn)”，如“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”教學(xué)中，概念引入要突出數(shù)學(xué)化的過程與方法，性質(zhì)探究要明確研究問題和研究方法，性質(zhì)運(yùn)用要突出函數(shù)建模和轉(zhuǎn)化；整節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要強(qiáng)化類比思想，突出與前面學(xué)過的具體函數(shù)在研究問題、研究方法等方面的相似性．

2.5 把握好探究的“度”，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效益最大化

3 為學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究而教之案例——“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”教學(xué)

3.1 教師創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生建構(gòu)概念

問題1下列2個(gè)問題是函數(shù)問題嗎？如果是，它們是我們以前學(xué)過的函數(shù)嗎？你能舉出生活中類似的函數(shù)嗎？

(1)《莊子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”請(qǐng)寫出天數(shù)x與木棰長(zhǎng)度y之間的關(guān)系式．

(2)電腦病毒具有快速自我復(fù)制能力．假設(shè)某種電腦病毒復(fù)制時(shí)由1個(gè)變成2個(gè)，2個(gè)變成4個(gè)……復(fù)制x次后，此病毒個(gè)數(shù)y與x的關(guān)系式是什么？

問題2你能在仔細(xì)觀察上述函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，抽象、概括出此類函數(shù)更一般的模型嗎？

問題3 函數(shù)式y(tǒng)=ax中的a,x的取值有沒有什么限制？你能規(guī)范地構(gòu)建出一種新的函數(shù)模型嗎？這種新的函數(shù)叫什么名字比較貼切？

設(shè)計(jì)說明(1)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思論證，讓學(xué)生在感受數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的嚴(yán)謹(jǐn)性中學(xué)會(huì)探究、學(xué)會(huì)創(chuàng)造；(2)對(duì)a取負(fù)數(shù)、0和1可能會(huì)出現(xiàn)的問題進(jìn)行討論，讓學(xué)生明確“規(guī)定a>0且a≠1”的合理性與必要性；(3)根據(jù)此類函數(shù)的特點(diǎn)尤其是自變量位置的特點(diǎn)命名函數(shù)．

3.2 教師指導(dǎo)策略，學(xué)生探究性質(zhì)

問題4 研究函數(shù)性質(zhì)主要從哪些方面研究？通常有哪些方法研究？你能類比以前學(xué)過的函數(shù)，研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)說明(1)“背景—問題—方法—結(jié)論—應(yīng)用”是研究問題的基本“套路”.這里的“背景”是指數(shù)函數(shù)性質(zhì)這個(gè)“元問題”；“問題”是指應(yīng)研究函數(shù)性質(zhì)的哪些方面，如函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性等；方法是指從特殊到一般、分類討論、由形到數(shù)、函數(shù)思想等；結(jié)論是指探究后得到的指數(shù)函數(shù)性質(zhì)．教學(xué)中要讓學(xué)生掌握研究函數(shù)的一般思路與方法．(2)考慮到學(xué)生的實(shí)際探究能力，同時(shí)為了強(qiáng)化類比思想、突出不同類型函數(shù)之間的共同特征，引導(dǎo)學(xué)生從以前如何研究函數(shù)中尋找啟發(fā)．(3)在具體探究前，先明確探究的策略與方法，如為了研究函數(shù)的性質(zhì)，可先畫出函數(shù)的圖像，因?yàn)閳D形能給人以直觀形象；要研究函數(shù)的一般性質(zhì)，為了降低問題的難度，可先研究特殊情況，如底數(shù)取2，3；為了使結(jié)論更可靠、全面，可考慮對(duì)底數(shù)分大于1和大于0且小于1這2種情況討論．

問題5請(qǐng)?jiān)谕恢苯亲鴺?biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖像，并由此歸納、總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的一般性質(zhì)．

設(shè)計(jì)說明(1)在目標(biāo)和思維策略的指導(dǎo)下，讓學(xué)生先獨(dú)立探究，然后再小組討論，全班展示、交流、完善;(2)為了使歸納具有更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，特安排學(xué)生畫上述2組函數(shù)的圖像;(3)不限定指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的范圍，給學(xué)生更多的思維空間和探究空間;(4)在觀察圖像得出函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)表達(dá)式角度說明這些性質(zhì)必然成立．

3.3 教師搭建平臺(tái)，學(xué)生自主實(shí)踐

問題6比較下列各題中2個(gè)值的大?。?/p>

(1)1.72.5，1.73； (2)0.8-0.1，0.8-0.2；

(3)1.70.3，0.93.1．

設(shè)計(jì)說明(1)學(xué)生通過討論，明確直接計(jì)算是行不通的，需要另找出路．(2)觀察要比較的2個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們的底數(shù)相同，指數(shù)不同，由此聯(lián)想到可把它們看作相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的2個(gè)值．(3)對(duì)1.70.3與0.93.1進(jìn)行比較，由于底數(shù)與指數(shù)均不同，故啟發(fā)學(xué)生尋找第3個(gè)數(shù)作為“中介”．考慮到這2個(gè)數(shù)都是指數(shù)式，且一個(gè)底數(shù)大于1，另一個(gè)底數(shù)是小于1的正數(shù)，聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)值有一個(gè)“分界點(diǎn)”1，故比較它們與1的大?。?4)這里教師的“職責(zé)”是啟發(fā)、暗示，學(xué)生的“職責(zé)”是想到、想通．(5)通過回顧反思,明確：解決問題方法的實(shí)質(zhì)是構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)模型，再利用函數(shù)單調(diào)性解決問題．

3.4 教師設(shè)置標(biāo)桿，學(xué)生自我檢測(cè)

問題7已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(3,π),求f(0)，f(1)，f(-3)的值．

問題8比較下列各題中2個(gè)值的大?。?/p>

(1)0.830.5，0.830.8；

(2)3.8-1.5，3.8-1.2；

(4)1.5-1.3，0.5-3.1．

問題9截止到1999年底，我國(guó)人口約13億．如果今后能將人口年平均增長(zhǎng)率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國(guó)人口數(shù)最多為多少(精確到億)？

設(shè)計(jì)說明(1)根據(jù)課程、教學(xué)、評(píng)價(jià)一致性原則，設(shè)置問題7～9．(2)這3個(gè)問題原則上由學(xué)生自主解決；確有困難的學(xué)生或班級(jí)整體基礎(chǔ)較差，教師可給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)．(3)訓(xùn)練的重點(diǎn)應(yīng)放在思維策略的掌握和運(yùn)用上．(4)解決問題9后補(bǔ)充介紹指數(shù)型函數(shù)y=kax(k∈R且k≠0;a>0且a≠1)．

3.5 教師提問小結(jié)，學(xué)生回顧梳理

問題10本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？這些知識(shí)又是通過什么途徑與方法得到的？

設(shè)計(jì)說明畫龍點(diǎn)睛，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)獲取知識(shí)的思路與方法的理解．

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)深入研究為學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究而教的策略與方法，“應(yīng)當(dāng)深入揭示隱藏在具體知識(shí)內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)思維方法，并以數(shù)學(xué)思維方法的分析帶動(dòng)、促進(jìn)具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，從而使后者真正成為‘可以理解的’、‘可以學(xué)到手的’和‘能夠加以推廣應(yīng)用的’”[2]，有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力和創(chuàng)造力．

[1] 布魯納．布魯納教育文化觀[M]．宋文里，黃小鵬,譯．北京：首都師范大學(xué)出版社，2011：28．

[2] 鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的三個(gè)新“教條”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20(1)：5-9．