“形數(shù)”試題繽紛現(xiàn) 如今靚影又重來——對湖北省3道高考“形數(shù)”試題的賞析

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(黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

“形數(shù)”試題繽紛現(xiàn)如今靚影又重來——對湖北省3道高考“形數(shù)”試題的賞析

●李紅春

(黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

翻開2013年湖北省數(shù)學(xué)高考試卷，一股別樣的氣息撲面而來，特別是理科第14題，該題融知識(shí)、方法、思想、能力于一體，文化底蘊(yùn)深厚.值得一提的是這是湖北省自主命題以來，第3次考查“形數(shù)”知識(shí)，然而?？汲Ｐ拢唤屓擞羞@樣的感慨：“形數(shù)”試題繽紛現(xiàn)，如今靚影又重來！

1 靚影重現(xiàn)

例1古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為

記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：

四邊形數(shù)N(n,4)=n2；

六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n；

……

可以推測N(n,k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)=______.

(2013年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解法1 由觀察可知

N(n,4)=1+3+5+…+(2n-1)=n2；

N(n,5)= 1+4+7+…+(3n-2)=

N(n,6)=1+5+9+…+(4n-3)=2n2-n；

…

N(n,k)= 1+(k-1)+(2k-3)+…+

[(k-2)n-(k-3)]=

從而

N(10,24)=1 000.

解法2由觀察可知

N(n,k)=an2+bn.

從而

N(10,24)=1 000.

例2傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù),他們研究過如圖1所示的三角形數(shù)：

圖1

將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}.可以推測：

(1)b2 012是數(shù)列{an}中的第______項(xiàng)；

(2)b2k-1=______(用k表示).

(2012年湖北省數(shù)學(xué)高考文科試題)

解歸納猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

又?jǐn)?shù)列{bn}是由可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，由任意2個(gè)連續(xù)正整數(shù)之積的個(gè)位數(shù)字特征可得：

b1=a4，b2=a5，b3=a9，b4=a10，

b5=a14，b6=a15，b7=a19，b8=a20，

…

歸納猜想,得

b2k-1=a5k-1，b2k=a5k，

從而

b2 012=b2×1 006=a5×1 006=a5 030，

例3古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，比如：

圖2

圖3

他們研究過圖2中的1，3，6，10，…由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖3中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是

( )

A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378

(2009年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解設(shè)三角形數(shù)數(shù)列為{an}，觀察圖形可知a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，猜想

設(shè)正方形數(shù)數(shù)列為{bn}，由b1=1=12，b2=4=22，b3=9=32，b4=16=42，猜想

bn=n2.

分析可知三角形數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是0，1，3，5，6，8.正方形數(shù)是平方數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9.故排除選項(xiàng)A，B，D，選C.

2 亮點(diǎn)賞析

2.1 植根課本

“問渠那得清如許，為有源頭活水來”，以上3道試題均源自新課標(biāo)人教A版《數(shù)學(xué)(必修5)》第2.1節(jié)“數(shù)列的概念與簡單表示法”的引言部分以及《數(shù)學(xué)(選修3-1)》第2.2節(jié)“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”的部分內(nèi)容．由于試題取材于課本，不但背景公平，而且學(xué)生做這樣的試題倍感親切，無形中加深了對課本的深厚感情，對引導(dǎo)師生重視課本、研讀教材、挖掘教材有著重要作用．

2.2 底蘊(yùn)深厚

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家鄒騰強(qiáng)調(diào)：通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅獲得了一種歷史感，而且通過從新的角度看數(shù)學(xué)學(xué)科，他們將對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更敏銳的理解力和鑒賞力．

在數(shù)學(xué)史上，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯最早把正整數(shù)和幾何圖形聯(lián)系在一起，把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，又按小石子所能排列的形狀，把正整數(shù)與正三角形、正方形等圖形聯(lián)系起來，將數(shù)分為三角形數(shù)、正方形數(shù)……

形數(shù)試題底蘊(yùn)深厚，如三角平方數(shù)數(shù)列為{fn}，則

這個(gè)含有無理數(shù)的公式，給出的解卻是正整數(shù)，與斐波納契數(shù)列{an}，其通項(xiàng)為

一樣神奇．這些以數(shù)學(xué)史為背景的試題的出現(xiàn)，不但激發(fā)了人們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，更在潛移默化中傳播了源遠(yuǎn)流長的數(shù)學(xué)文化．

2.3 立意高遠(yuǎn)

合情推理，是數(shù)學(xué)家波利亞提出的概念，它是指“觀察、歸納、類比、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、猜測、矯正和調(diào)控等方法”．一直以來，我們十分重視雙基教學(xué)，但學(xué)生在校所學(xué)到的學(xué)科知識(shí)，隨著他們離開學(xué)校，多數(shù)會(huì)逐漸忘掉.“教育是所有學(xué)會(huì)的東西都忘卻以后仍然留下來的那些東西”，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)獲得的不僅僅是知識(shí)，除此之外，更重要的是思想與方法．而在研究“探究性學(xué)習(xí)”的今天，我們的教學(xué)一直在研究如何組織和組織的形式上，對在發(fā)展過程中使用的合情推理等方法沒有予以足夠的重視，而這些恰恰是人類優(yōu)秀文化素質(zhì)的重要組成部分．歸納、類比是發(fā)現(xiàn)和獲取知識(shí)的重要方法，也是探究和解決問題的重要工具，如今歸納與演繹并重已成為新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的一條重要原則．我們的數(shù)學(xué)課堂，一方面要教會(huì)學(xué)生規(guī)范地演繹推理證明，另一方面也要教會(huì)學(xué)生運(yùn)用歸納、類比、合情推理發(fā)現(xiàn)和猜想.《數(shù)學(xué)(選修2-2)》中專設(shè)一章推理與證明，結(jié)合具體案例進(jìn)行學(xué)習(xí)和深化．

這3道“形數(shù)”試題，別具一格，著重考查學(xué)生合情推理能力，以及特殊與一般思想；考查考生探索、研究及理性思維.在此題的求解過程中，“歸納、猜想、驗(yàn)證，從特殊到一般”展現(xiàn)了數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證的全過程，突出了新課程“知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”的三維目標(biāo)．

2.4 導(dǎo)向鮮明

這3道試題取材一樣，都是將文字語言和圖形語言相結(jié)合，以數(shù)學(xué)符號(hào)語言和圖形語言為載體，要求學(xué)生從特殊結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，提醒我們：高三復(fù)習(xí)必須重視對歷年高考試題的研究！因?yàn)闅v年高考試題一直是新高考試題的重要來源，命題者一直重視傳承和相互借鑒，他們堅(jiān)持“命題是一種自然的發(fā)展，不會(huì)有突變，不能隔斷歷史”的觀點(diǎn)．其次，高考試題凝結(jié)了命題者巨大的智慧和心血，有的立意高遠(yuǎn)，有的背景深刻，有的內(nèi)涵豐富，有的創(chuàng)意新穎.在研究的過程中，我們可以掌握豐富的數(shù)學(xué)方法，學(xué)習(xí)樸素的數(shù)學(xué)原理，完成火熱的數(shù)學(xué)思考，激發(fā)蘊(yùn)藏的生命活力，使我們領(lǐng)悟解題方法、解題思想、問題的深層次聯(lián)系，使我們的解題能力與思維品質(zhì)向更深、更高的層次發(fā)展和升華！