一個(gè)函數(shù)問題的多種解法研究

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(徐州市第三十五中學(xué) 江蘇徐州 221003)

一個(gè)函數(shù)問題的多種解法研究

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(徐州市第三十五中學(xué) 江蘇徐州 221003)

圖1 圖2

解得

解后反思所給2個(gè)函數(shù)都是基本初等函數(shù)，可以直接作出它們的圖像，研究圖像何時(shí)有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，并尋求參數(shù)a滿足的關(guān)系式，從而求解出參數(shù)a的取值范圍．由于函數(shù)g(x)的解析式中含有參數(shù)，需討論其圖像的各種可能性．

圖3 圖4

(1)當(dāng)a=0時(shí)，如圖3，符合題意.

從而

解后反思根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，把條件轉(zhuǎn)化為另2個(gè)基本初等函數(shù)的圖像有2個(gè)不同的公共點(diǎn)的問題，根據(jù)這2個(gè)函數(shù)的圖像來求解．轉(zhuǎn)化后，其中一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，其圖像是一條直線，在分析2個(gè)圖像的公共點(diǎn)時(shí)，利用直線的優(yōu)勢，一目了然，便于得到各種可能性及尋求參數(shù)a滿足的關(guān)系式，使問題得解．

圖5 圖6

(2)當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)=ax3+bx2-1，則

h′(x)=3ax2+2bx=x(3ax+2b).

即

即

解后反思根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，把2個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的圖像與x軸的公共點(diǎn)問題．利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后根據(jù)其圖像，尋求參數(shù)滿足的關(guān)系式，結(jié)合b∈(0,1)求解．求解過程中注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．

圖7

極小值為

解后反思根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系及參變分離法，把2個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的圖像和直線y=a的公共點(diǎn)問題．利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性和極值，由于實(shí)施了參變分離，其單調(diào)性簡單明了，無需分類，然后根據(jù)其圖像，易得參數(shù)滿足的關(guān)系，結(jié)合b∈(0,1)求解．