例談導(dǎo)數(shù)綜合題中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

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(杭州市外國語學校 浙江杭州 310023)

例談導(dǎo)數(shù)綜合題中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

●張傳鵬

(杭州市外國語學校 浙江杭州 310023)

縱觀近幾年全國各地區(qū)的數(shù)學高考，每年都有導(dǎo)數(shù)試題，且有一道大題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、實際應(yīng)用或證明不等式，尤其是試題中含有參數(shù)需要分類討論時，使得本已抽象的問題更加復(fù)雜化.許多學生在學習和解答時，十分茫然，不知從何下手.其實在解決此類問題時，若能將抽象化為直觀，并時刻給學生滲透“數(shù)形結(jié)合思想”，則問題可以變得更簡單明了.

(2009年福建省數(shù)學高考理科試題)

解法1f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1),

得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(3,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,3)，因此

從而直線MP的方程為

聯(lián)立

得

x3-3x2-(m2-4m+4)x-m2+4m=0,

線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點，等價于上述方程在(-1,m)上有根，即函數(shù)

g(x)=x3-3x2-(m2-4m+4)x-m2+4m

在(-1,m)上有零點.因為g(x)為三次函數(shù)，所以g(x)至多有3個零點，2個極值點，又g(-1)=g(m)=0，因此g(x)在(-1,m)上有零點等價于g(x)在(-1,m)上恰有一個極大值點和一個極小值點，即

g′(x)=3x2-6x-m2+4m-4=0

在(-1,m)上有2個不相等的實數(shù)根，即

解得

2

圖1

又因為-1

解得m=2，因此滿足題設(shè)條件的t的最小值為2.

評注本題給出了2種解法：解法1通過分析把問題轉(zhuǎn)化為“當方程3x2-6x-m2+4m-4=0在(-1,m)上有2個不相等的實數(shù)根時求實數(shù)m的取值范圍”，容易找到思路，但計算量大.證法2則巧妙地利用函數(shù)圖像，通過分析知道當線段MP與曲線f(x)相切時，t取到最小值,使得問題簡單明了，且計算量小，學生容易理解.

例2已知函數(shù)f(x)=(k2-klnx)ex(k為非零常數(shù),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行．當b>0時,若f(x)≥(1+a)x-exlnx+b在定義域上恒成立，求(a+1)b的最大值．

解法1f(x)≥(1+a)x-exlnx+b?ex-(a+1)x-b≥0，令h(x)=ex-(a+1)x-b≥0，則

h′(x)=ex-(a+1).

當a+1<1時,h′(x)>0，從而y=h(x)在x∈R+上單調(diào)遞增,因此

h(x)>h(0)=1-b≥0,

即0

當a+1=1時,h′(x)>0，從而y=h(x)在x∈R+上單調(diào)遞增，因此

h(x)>h(0)=1-b≥0，

即b≤1，此時(a+1)b的最大值為1．

當a+1>1時,由h′(x)>0?x>ln(a+1),h′(x)<0?x

h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0,

即

b≤(a+1)-(a+1)ln(a+1),

從而

(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)(其中a+1>1).

令a+1=t(t>1),設(shè)F(t)=t2-t2lnt(t>1),則

F′(t)=t(1-2lnt),

從而

解法2基本不等式法.

由f(x)≥(1+a)x-exlnx+b?ex-(a+1)x-b≥0,得

從而

因此

解法3數(shù)形結(jié)合法.

f(x)≥(1+a)x-exlnx+b?ex-(a+1)x-b≥0,即ex≥(a+1)x+b在定義域上恒成立，則

a+1≥0.

當a+1=0時，(a+1)b=0.

當a+1>0時，如圖2所示，設(shè)曲線y=ex,y=(a+1)x+b，2條曲線切點為P(x0,ex0)，則

從而(a+1)b=ex0(ex0-x0ex0)=e2x0(1-x0)，

圖2

則

因此

評注本題給出了3種解法：解法1通過討論求出(a+1)b的最大值，比較繁瑣，學生不易想到，且運算量較大；解法2則巧妙地利用了基本不等式，再借助于導(dǎo)數(shù)，求出(a+1)b的最大值；解法3巧妙利用了2個函數(shù)圖像相切的位置關(guān)系，求出了(a+1)b的最大值，思路簡潔，學生容易理解.

例3設(shè)函數(shù)f(x)=x2-xlnx+2，

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解(1)令g(x)=f′(x)=2x-lnx-1(x>0)，則

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).

F′(x)<0；

當x∈(1,+∞)時，G(x)>0,從而

F′(x)>0,

故

圖3

解得

若要有2個交點，則必有k>1，故

數(shù)形結(jié)合思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，也就是對題目中的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又挖掘其幾何背景，在代數(shù)與幾何的結(jié)合上尋找解題思路.最常用的是“以形助數(shù)”的解題方法，其實質(zhì)就是對圖形性質(zhì)的研究，使要解決的數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的討論，實現(xiàn)“由一種代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為幾何形式”的數(shù)學化歸.從上面的探討可以看出，在導(dǎo)函數(shù)的教學過程中，除了要加強數(shù)學基礎(chǔ)知識的學習，還要學會用數(shù)形結(jié)合思想的方法來研究問題，從而提高學生的創(chuàng)新能力和實踐能力.

(本文系全國教育科學“十二五”規(guī)劃2011 年度教育部重點課題“高中數(shù)學有效教學課例研究”(課題批準號：DHA110240)的階段性成果.)