“隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與應(yīng)用”課堂實錄及反思

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(溫州中學(xué) 浙江溫州 325014)

“隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與應(yīng)用”課堂實錄及反思

●孫軍波徐芳芳

(溫州中學(xué) 浙江溫州 325014)

“上好一節(jié)課好難，上好一節(jié)公開課更難”，這是很多一線教師的心聲.筆者有幸參加了2012年第6屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與展示活動，深有體會.大會指定給筆者的課題是“隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與應(yīng)用”，以下為筆者在備課和上課過程中的一些想法，敬請大家批評指正！

1 備課困惑

“隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與應(yīng)用”即人教版《數(shù)學(xué)(必修3)》第3章“概率”中“(整數(shù)值)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生”一節(jié).主要內(nèi)容是借助計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，通過數(shù)學(xué)建模解決實際問題，讓學(xué)生體會頻率穩(wěn)定趨于概率的客觀規(guī)律.這是易被忽視但卻極具數(shù)學(xué)內(nèi)涵的一節(jié)課.學(xué)生通過前期學(xué)習(xí)，已掌握隨機(jī)事件的概率、古典概型，并且在第2章統(tǒng)計中接觸過隨機(jī)數(shù)表.有些學(xué)生在計算器中學(xué)習(xí)過隨機(jī)函數(shù)，因此對學(xué)生而言，隨機(jī)數(shù)有點熟悉卻還是陌生.根據(jù)內(nèi)容解析和教學(xué)任務(wù)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：

(1)通過對計算機(jī)模擬拋硬幣問題的解決，運用計算器(機(jī))等信息技術(shù)手段，獲得計算機(jī)模擬拋硬幣的試驗結(jié)果，比較模擬實驗結(jié)果和科學(xué)家物理試驗的結(jié)果，認(rèn)識到它們之間的區(qū)別和共同之處，體會偽隨機(jī)數(shù)模擬隨機(jī)數(shù)的過程，認(rèn)識到計算機(jī)模擬實際問題的可行性，了解隨機(jī)模擬的方法：建?！M——分析.

(2)通過合理地介紹隨機(jī)模擬的歷史、用途，表達(dá)實際問題中引進(jìn)隨機(jī)模擬方法的必要性，認(rèn)識到隨機(jī)模擬方法的實用性.

(3)經(jīng)歷建立和運用隨機(jī)模擬方法的過程，初步體驗數(shù)學(xué)建模的基本思想，體會數(shù)學(xué)的作用與價值，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.

這部分內(nèi)容的教學(xué)處理，以隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生與應(yīng)用這一內(nèi)容為主線，讓解決模擬投擲硬幣為先導(dǎo)，引入隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生，以天氣預(yù)報問題為實際應(yīng)用，將前面已學(xué)過的內(nèi)容及處理問題的思想方法緊密結(jié)合起來，使之成為一個整體．因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意貫徹教材的設(shè)計意圖，讓學(xué)生經(jīng)歷計算機(jī)模擬硬幣的全過程，能在這一過程中認(rèn)識實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，認(rèn)識計算機(jī)模擬的作用，體會隨機(jī)模擬的思想方法.

結(jié)合以上分析,本節(jié)課的教學(xué)重點為：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，在計算機(jī)模擬試驗的過程中，體會隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的必要性及隨機(jī)數(shù)的實用價值．其中教學(xué)最大的難點確定為：如何讓學(xué)生體會到一個事件的概率與隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生有關(guān)，以及數(shù)學(xué)模型的建立.

根據(jù)教學(xué)重點和難點,本節(jié)課的教學(xué)流程主要分為4個環(huán)節(jié):群策群力建模型、計算機(jī)模擬拋硬幣、追溯歷史知用途、親身試驗深感受.

2 課堂實錄

2.1 課堂教學(xué)片斷1：群策群力建模型

師：在“隨機(jī)事件的概率”一節(jié)課中，同學(xué)們做了大量重復(fù)試驗，這樣做試驗很費時間，有沒有其他方法可以代替試驗?zāi)兀?/p>

生：用計算機(jī)模擬.

師：如何用計算機(jī)模擬拋硬幣呢？計算機(jī)不能像人一樣用手去拋硬幣，也不能用肉眼來觀看結(jié)果，那如何用計算機(jī)模擬拋硬幣呢？

生1：可以規(guī)定硬幣正面向上為1,反面向上為0,再用計算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生0,1，就可以代替拋硬幣.

師(追問):為什么要規(guī)定硬幣正面為1,反面為0?

生1:因為計算機(jī)能處理數(shù)字、函數(shù).

師:這是一個劃時代的想法,當(dāng)我們給予試驗結(jié)果以數(shù)字特征后,便實現(xiàn)了計算機(jī)模擬的可行性.

師：其實在大家身邊的計算器中就存在一個可以隨機(jī)產(chǎn)生0,1的函數(shù)，有沒有同學(xué)知道？

生2：是ranint函數(shù).

(該生上臺操作演示給其他學(xué)生看.)

師：隨機(jī)函數(shù)就在大家身邊，這樣做速度是比手工拋硬幣快，但是記錄結(jié)果還是要依賴手工.其實在Excel中也存在一個函數(shù)，叫randbetween(a,b),它可以等可能地返回[a,b]內(nèi)的任意一個整數(shù).接下來我們一起來用計算機(jī)模擬一下.

設(shè)計意圖通過討論“如何用計算機(jī)模擬拋硬幣”，讓學(xué)生自己給予試驗結(jié)果以數(shù)字特征.因為他們發(fā)現(xiàn)只有給予試驗結(jié)果以數(shù)字特征，計算機(jī)才好處理，數(shù)學(xué)建模的思想才能很好地滲透進(jìn)去.

2.2 課堂教學(xué)片斷2：追溯歷史知用途

通過用Excel模擬拋硬幣，獲得了一張試驗結(jié)果的統(tǒng)計圖.通過觀察發(fā)現(xiàn)，計算機(jī)模擬的結(jié)果與數(shù)學(xué)家的試驗結(jié)果基本吻合.在這一環(huán)節(jié)中，通過眾所周知的拋硬幣問題肯定了隨機(jī)模擬方法是可行的、可信的.那隨機(jī)模擬方法有什么用？是誰發(fā)明的？什么才是真的隨機(jī)數(shù)？

其實用計算機(jī)隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生的并不是真正的隨機(jī)數(shù).例如要產(chǎn)生0，1之間的隨機(jī)整數(shù)，我們把2個大小形狀相同的小球分別標(biāo)上0，1放入一個袋中，把它們充分?jǐn)嚢?，然后從中摸出一個，這個球上的數(shù)就稱為隨機(jī)數(shù).計算機(jī)或計算器上產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)并不是真正的隨機(jī)數(shù)，它們具有類似隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)，我們稱為偽隨機(jī)數(shù).上面用計算機(jī)或計算器模擬了擲硬幣的試驗，我們稱用計算機(jī)或計算器模擬試驗的方法為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡羅方法.

蒙特卡羅方法由在20世紀(jì)40年代美國第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈“曼哈頓計劃”的成員烏拉姆和馮·諾伊曼首先提出.數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城——摩納哥來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩.在這之前，蒙特卡羅方法就已經(jīng)存在.1777年，法國數(shù)學(xué)家布豐提出用投針實驗的方法求圓周率π.這被認(rèn)為是蒙特卡羅方法的起源.

借助計算機(jī)技術(shù)，蒙特卡羅方法實現(xiàn)了2大優(yōu)點：一是簡單:省去了反復(fù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和演算過程，使得一般人也能夠理解和掌握；二是快速.簡單和快速，是蒙特卡羅方法在現(xiàn)代項目管理中獲得應(yīng)用的技術(shù)基礎(chǔ).

2.3 課堂教學(xué)片斷3：親身試驗深感受

通過歷史的介紹，一下子點燃了學(xué)生的求知欲望.在應(yīng)用環(huán)節(jié)，筆者主要解決書上的例題：

天氣預(yù)報說，在今后的3天中，每一天下雨的概率均為40%,這3天中恰有2天下雨的概率是多少？請你設(shè)計一個用隨機(jī)數(shù)模擬的方案.

一下子從拋硬幣問題到這個問題難度有點大.硬幣只有2個面，學(xué)生根據(jù)已有的認(rèn)知水平，容易建立數(shù)學(xué)模型.但是3天中恰好有2天下雨的問題，它涉及3個隨機(jī)數(shù)，并且概率還是40%，跳躍幅度大.這是本節(jié)課的一個教學(xué)難點，為此在這個環(huán)節(jié)中筆者設(shè)置了這樣一個鋪墊：

(1)已知袋中有大小相同的7個黃球和3個紅球，假設(shè)每個球被摸到都是等可能的，利用隨機(jī)模擬的方法，估計任取一球得到紅球的概率.

生3：將紅球標(biāo)為1，2，3，黃球標(biāo)為4，5，6，7，8，9，10.用隨機(jī)函數(shù)randbetween(1,10)統(tǒng)計其中1，2，3出現(xiàn)的頻率，計算不同次數(shù)下的頻率，觀察紅球出現(xiàn)的頻率是不是隨著試驗次數(shù)的增加越來越穩(wěn)定在某個常數(shù)附近.

師：非常好!我們不僅可以解決概率為0.5的數(shù)學(xué)概率模型，還可以模擬其他概率模型，不過這個問題大家用所學(xué)過的古典概型即可解決，接下來我們一起來挑戰(zhàn)一下.

(2)書本上關(guān)于“天氣預(yù)報”的例題.

經(jīng)過充分的討論后，請學(xué)生講解其方案，其他學(xué)生進(jìn)行討論.

生4:能不能用古典概型來算?排除3天都不下雨、3天都下雨、恰好1天下雨的事件.

生5:不可以,顯然由于每天下雨的概率是40%,3天連著下雨和3天都不下雨這2個基本事件不是等可能的,不能用古典概型.

(大家對這位學(xué)生的想法表示肯定.)

生6：首先取1～10這10個數(shù)字，規(guī)定1,2,3,4為下雨，5～10為不下雨，3個隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生數(shù)字以后，統(tǒng)計3個數(shù)字中恰好有2個小于5的數(shù)的組數(shù)，根據(jù)這個組數(shù)除以總數(shù)，計算頻率，用頻率來估計它的概率.

師：好，就按這位同學(xué)說的，大家試試看.

(教師強調(diào)試驗的各項條件，試驗后匯總數(shù)據(jù),如圖1所示.)

圖1

師：就目前的結(jié)果而言，頻率有沒有出現(xiàn)穩(wěn)定，那我們應(yīng)該怎么辦？

(有學(xué)生點頭，有學(xué)生搖頭.)

生(眾)：增加試驗次數(shù).

借助Excel繪制得到如圖2的統(tǒng)計圖：

圖2

通過觀察發(fā)現(xiàn)，隨著試驗次數(shù)的增加,頻率大約穩(wěn)定在0.29.至此學(xué)生發(fā)現(xiàn)蒙特卡羅方法還可以解決一些更為復(fù)雜的概率問題.

3 專家點評

本課例是筆者參加第6屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與展示活動，為大會指定的課題.組委會聘請了全國知名的教授作為評委，因此本課有幸得到了幾位專家的點評和意見.他們提出的許多寶貴且具有深遠(yuǎn)意義的意見和建議，也引發(fā)了筆者更多、更深的思考.整理如下：

3.1 活用教材

備好一節(jié)課，首先應(yīng)該要用好教材，教材理解深刻、到位，才能出好課.情境創(chuàng)設(shè)要接近生活，不可脫離實際，不要為了創(chuàng)設(shè)而有情景，合理的情景創(chuàng)設(shè)可以更好地激發(fā)學(xué)生的興趣；問題設(shè)置必須清晰合理，好的問題可以引領(lǐng)著學(xué)生去思考，幫助學(xué)生理解概念；信息技術(shù)的有機(jī)融合，就像本課對信息技術(shù)的處理非常好，隨機(jī)數(shù)要用Excel來產(chǎn)生.教師如果把握不好，極易把數(shù)學(xué)課變成信息課，使得學(xué)生的興奮點停留在計算機(jī)上，更會淡化數(shù)學(xué)味道，因此對教材一定要理解到位；數(shù)學(xué)應(yīng)該提供思想，提供建模的思想，信息技術(shù)是輔助我們實現(xiàn)想法的工具；數(shù)學(xué)文化的滲透非常必要，在了解蒙特卡羅方法歷史的環(huán)節(jié)中，學(xué)生興奮的表情表達(dá)了他們極大的求知欲望，這也是教材把歷史背景放在其中的重要原因.

3.2 尊重學(xué)生

課堂教學(xué)一定要注重學(xué)生活動與自主探究，學(xué)生有沒有動起來是非常重要的.比如在隨機(jī)數(shù)應(yīng)用的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生討論，學(xué)生間的討論代替了傳統(tǒng)教師的評價，使得學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)以目前的古典概型知識較難解決天氣預(yù)報問題，在學(xué)生成功提出方案后，讓所有的學(xué)生參與進(jìn)來，更加體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和真實性，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了模型的建立，數(shù)據(jù)的產(chǎn)生與處理，試驗結(jié)果的分析，成功滲透了數(shù)學(xué)建模思想.很多時候，教師擔(dān)心學(xué)生講不好，著急地越俎代庖，這樣做的效果并不是真正的有效教學(xué)，學(xué)生親歷的往往是他印象最深的，因此個別環(huán)節(jié)教師甚至可以更大膽地放手.

4 自我反思

在聽完教授的分析點評后，筆者思考良久，多次的磨課經(jīng)歷涌上心頭，有2點感悟特別深刻：

(1)備一節(jié)課好難，但是好課就在身邊.剛開始備這節(jié)課時，感覺不知從何挖掘.因為這是一節(jié)對信息技術(shù)依賴比較大的課，所以易被大家所忽視.通過長時間的磨課后，筆者發(fā)現(xiàn)這是一節(jié)非常具有數(shù)學(xué)內(nèi)涵的課，它的核心內(nèi)容是用計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，幫助解決更復(fù)雜的概率問題.首先通過硬幣試驗需要耗時耗力提出問題，在借助計算機(jī)解決模擬拋硬幣問題的同時，發(fā)現(xiàn)計算機(jī)模擬的結(jié)果與科學(xué)家手工試驗的結(jié)果基本吻合，肯定了蒙特卡羅方法是可行的、可信的.其次利用隨機(jī)數(shù)解決目前古典概型相對難解決的天氣預(yù)報問題，使學(xué)生再次回顧了利用頻率來估計概率的大數(shù)定律.而整個問題的解決過程不就是一個數(shù)學(xué)建模過程嗎？這節(jié)課不就是一個數(shù)學(xué)知識實際應(yīng)用問題嗎？教材需要我們好好去思考和挖掘，好課的發(fā)現(xiàn)需要我們好好再去思考一下.

(2)“尊重學(xué)生，以人為本”不能只停留在口號上.當(dāng)課堂變得無趣，學(xué)生變得不配合時，也許可以考慮一下，我們是不是真的盡力了.筆者在磨課過程中，就曾經(jīng)遇到學(xué)生冷場的情況.回頭想想，其實是當(dāng)時的問題設(shè)計得不夠到位，不能真正地引發(fā)學(xué)生的思考，有些時候是自己拼命地講，學(xué)生只好乖乖地等著、瞪著.尊重學(xué)生，尊重學(xué)情，好的課堂才會自然而來.