一節(jié)專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與反思
——以“圓錐曲線中的最值問題”為例

●

(黃巖中學(xué) 浙江黃巖 318020 )

一節(jié)專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與反思
——以“圓錐曲線中的最值問題”為例

●李柏青

(黃巖中學(xué) 浙江黃巖 318020 )

在“中小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心內(nèi)容及其教學(xué)的研究”第4次研討會(huì)上,筆者上了一節(jié)高三專題復(fù)習(xí)課“圓錐曲線中的最值問題”.圓錐曲線中的最值問題是與圓錐曲線相關(guān)的典型綜合性問題.通過這一類問題的分析、解決和反思,能引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)形結(jié)合思想方法和解決此類問題的基本策略,舉一反三、觸類旁通,發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

1 設(shè)計(jì)前的思考

1.1 內(nèi)容分析

在解析幾何中,曲線是具有某種屬性的動(dòng)點(diǎn)軌跡,在用坐標(biāo)法建立點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)的聯(lián)系后,點(diǎn)動(dòng)伴隨著數(shù)量的變化,研究變化中的最值問題自然而生.圓錐曲線中的最值問題,涉及圓錐曲線的定義、方程及其幾何性質(zhì)等核心內(nèi)容,核心思想是數(shù)形結(jié)合思想,基本策略主要是通過代數(shù)分析和幾何分析,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(主要是函數(shù)模型和幾何模型).其中幾何分析宜優(yōu)先選擇,即依據(jù)曲線的定義和幾何性質(zhì),借助幾何直觀直接作出最值點(diǎn)位置的判斷；但當(dāng)幾何關(guān)系不明顯時(shí),就需要借助代數(shù)分析來實(shí)現(xiàn)突破,即通過引進(jìn)參變量,將目標(biāo)表示為參變量的函數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.

根據(jù)上述分析,本課的教學(xué)重點(diǎn)是:通過對(duì)圓錐曲線中最值問題的分析與解決,掌握代數(shù)分析和幾何分析2種基本策略,并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

1.2 學(xué)情分析

在本課學(xué)習(xí)前,學(xué)生對(duì)圓錐曲線中的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法有了一定的理解和掌握,對(duì)圓錐曲線中的最值問題也有過一些接觸,初步具備了自主解決一些簡(jiǎn)單問題的能力.在解決較綜合的問題中,可能會(huì)有以下一些障礙:

(1)審題往往是薄弱環(huán)節(jié),比如不明確問題的條件和結(jié)論,就進(jìn)行盲目的求解；不重視目標(biāo)的導(dǎo)向作用,忽視變量隱含的取值范圍等等.

(2)面對(duì)問題的條件和結(jié)論,難以激活相關(guān)的知識(shí),不能加以靈活運(yùn)用.

(3)分析過程缺乏策略性知識(shí),不能對(duì)解決問題的策略作出合理的選擇或判斷.

(4)代數(shù)的運(yùn)算能力不強(qiáng),忽視圖形中幾何關(guān)系的推理轉(zhuǎn)化，在一定程度上影響問題解決的執(zhí)行力.

(5)解題習(xí)慣于就題論題,缺乏自主性的總結(jié)與反思,對(duì)解決問題的方法和策略認(rèn)識(shí)模糊,難以形成有效的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

為了突出重點(diǎn),確定本課的難點(diǎn)是:圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的綜合與聯(lián)系,加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的能力，提高策略性知識(shí)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用.

在教學(xué)中,設(shè)置的問題力求簡(jiǎn)潔明了,分析時(shí)保證學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間,重視自我反思和總結(jié).同時(shí)通過多題一解強(qiáng)化技能,通過一題多解激發(fā)學(xué)生思考的熱情和創(chuàng)新的意識(shí).

1.3 確定目標(biāo)

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情分析,確定本課的教學(xué)目標(biāo)：

(1)了解圓錐曲線中的最值問題的特點(diǎn),通過一些典型問題的分析與解決,了解代數(shù)分析和幾何分析這2種基本策略,明確方法的操作步驟,能根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合理的策略；

(2)通過最值問題的解決,進(jìn)一步加深對(duì)圓錐曲線定義、方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和運(yùn)用,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想；

(3)在問題解決的過程中,學(xué)會(huì)自主探究,在交流、反思、概括的過程中強(qiáng)化策略意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

2 過程的設(shè)計(jì)

圖1

2.1 解決問題,提煉策略

如圖1,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),一些與之相關(guān)的量也隨之發(fā)生著變化,而研究變化中的最值問題是一項(xiàng)既有意義又有挑戰(zhàn)性的任務(wù).

如何根據(jù)這類問題的特點(diǎn),尋求相應(yīng)的解題策略是我們本課研究的重點(diǎn).

問題1做一做，想一想

已知F(0,1),M(0,3),N(3,0),P是拋物線x2=4y上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求|PF|的最小值；

(2)求|PM|的最小值；

(3)求|PM|+|PN|的最小值.

解后反思(1)分析你在求解過程中主要用了哪些知識(shí)?

(2)你能概括出求解過程中關(guān)鍵的操作步驟嗎？

(3)你能否用簡(jiǎn)單的語言總結(jié)解決圓錐曲線中最值問題的基本策略？

(4)面對(duì)具體問題時(shí)如何選擇相應(yīng)的策略,你有怎樣的經(jīng)驗(yàn)？

設(shè)計(jì)意圖問題1結(jié)構(gòu)清楚,入口簡(jiǎn)單,計(jì)算簡(jiǎn)明.在方法上有回歸定義、構(gòu)造函數(shù)、幾何論證等典型方法．讓學(xué)生先做,一方面是了解學(xué)生的學(xué)習(xí)水平,診斷學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題；另一方面,通過學(xué)生的做,對(duì)此類問題及其解法有切身的感受與體驗(yàn).

由于學(xué)生的能力有差異,同時(shí)出示“問題和反思”,可以為學(xué)生提供自主發(fā)展的時(shí)間和空間．同時(shí)也提醒學(xué)生解題不是最終目的,重要的是學(xué)會(huì)解題后的反思，從而總結(jié)出解決圓錐曲線中最值問題的基本策略以及具體明確的操作步驟.

2.2 初步應(yīng)用,鞏固策略

2.2.1 基礎(chǔ)訓(xùn)練

(1)點(diǎn)P是拋物線C：x2=4y上的動(dòng)點(diǎn),F是拋物線C的焦點(diǎn),點(diǎn)M(2,4),則|PF|+|PM|的最小值為________.

設(shè)計(jì)意圖基礎(chǔ)訓(xùn)練涉及拋物線、圓與橢圓上的動(dòng)點(diǎn),目標(biāo)依然是兩點(diǎn)間距離的最值，它是對(duì)已經(jīng)獲得的基本策略和方法的檢測(cè)和強(qiáng)化.其中第(1)小題利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到準(zhǔn)線與定點(diǎn)的距離之和的最小值,再利用平面幾何知識(shí)作直接判斷；第(2)小題先利用圓的幾何特點(diǎn),得到|PM|-1≤|PQ|≤|PM|+1,從而將問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到圓心M的距離|PM|的最值問題,再利用代數(shù)的方法建立目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解．

2個(gè)問題都利用幾何關(guān)系先將目標(biāo)量進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化,再通過幾何分析或代數(shù)分析的策略進(jìn)行求解,體現(xiàn)了解法的靈活性.設(shè)計(jì)成填空題的形式可引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先選擇圖形直觀解決問題,解答題形式強(qiáng)調(diào)理性推導(dǎo),對(duì)學(xué)生的掌握情況進(jìn)行有效的反饋.

2.2.2 變式訓(xùn)練

問題2議一議

圖2

設(shè)計(jì)意圖本題以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景,以直線運(yùn)動(dòng)引發(fā)數(shù)量“比值”的變化.實(shí)際上是基本訓(xùn)練中第(2)小題的變式.

采用問題變式,促使學(xué)生透過表面現(xiàn)象把握問題的本質(zhì).同時(shí)通過一題多解,引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成深入思考、優(yōu)化選擇、積極進(jìn)取的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2.3 綜合應(yīng)用,提升策略

問題3說一說

圖3

你能說明理由嗎？談?wù)勀愕慕忸}思路,并與同學(xué)議一議,了解一些不同的思路.

設(shè)計(jì)意圖本題重在一題多解，在策略的選擇、方法的實(shí)施中各個(gè)環(huán)節(jié)都會(huì)有不同方案：

若將圖形的變化歸因于直線y=kx的運(yùn)動(dòng),則以k為參變量,通過求弦長(zhǎng)|PQ|和點(diǎn)A,B到直線y=kx的距離來構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)：

若將圖形的變化歸結(jié)為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),則以點(diǎn)P的坐標(biāo)為參變量,利用圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)建立目標(biāo)函數(shù),建立的過程也可有不同的方法：

(1)S=S△ABP+S△ABQ=

(2)S= (S△POB+S△QOB)+(S△POA+S△QOA)=

若從圓與橢圓類比的角度分析,可以通過伸縮變換將橢圓的內(nèi)接四邊形映射為圓的內(nèi)接四邊形.利用圖形的幾何特征判斷出圓內(nèi)接四邊形面積的最大值,再反演到橢圓內(nèi)接四邊形面積的最大值.

上述解法充分體現(xiàn)了策略的選擇性和方法的靈活性,強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等核心思想的運(yùn)用.在使用過程中借助一個(gè)“好題”,由學(xué)生自主地思考、討論、交流、表達(dá),以一題多解的方式提升思維的深刻性和創(chuàng)造性,激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的熱情,養(yǎng)成鍥而不舍的意志品質(zhì).

2.4 反思總結(jié),內(nèi)化策略

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲？

(1)你能否總結(jié)出解決圓錐曲線中最值問題的一般策略？

(2)能否進(jìn)一步說明這些方法的具體步驟？

(3)你還有其他收獲或感想嗎？請(qǐng)與大家一起分享.

設(shè)計(jì)意圖教師引導(dǎo)下的自主反思,是解題策略和思想方法內(nèi)化的有效途徑.

圖4

2.5 目標(biāo)檢測(cè)

設(shè)計(jì)意圖提出問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的“弱點(diǎn)”.在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中,讓學(xué)生嘗試從特定角度提出“自己”的問題并交流.這既是目標(biāo)達(dá)成的檢測(cè),也是對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).

3 基于課例的反思

從教學(xué)實(shí)施的情況看,基本達(dá)到了預(yù)期的效果,學(xué)生的參與度高,思考時(shí)間充足,課堂氣氛熱烈,精彩生成不斷.課中及課后的反饋表明教學(xué)是有效的.

專題復(fù)習(xí)課一般針對(duì)某些核心知識(shí)、某類典型的問題、某種思想方法作專題性的復(fù)習(xí).它的重點(diǎn)是程序性知識(shí)和策略性知識(shí)的學(xué)習(xí).通過問題的解決,明確方法的操作步驟,體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,掌握解決一類問題的基本策略,并能進(jìn)行自覺的遷移.

本課作為一節(jié)典型的專題復(fù)習(xí)課,課堂結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定,教學(xué)環(huán)節(jié)比較鮮明.具體如表1所示：

表1 專題復(fù)習(xí)題的組成

續(xù)表1

鞏固策略提出已知問題的簡(jiǎn)單變式簡(jiǎn)單運(yùn)用策略,獨(dú)立解決,鞏固所得,強(qiáng)化技能,提高遷移能力組織反饋與評(píng)價(jià)提升策略提出綜合性、發(fā)展性和挑戰(zhàn)性的問題交流、討論,尋求問題解決的思路與方法,追求一題多解、發(fā)展思維組織、講解、引導(dǎo)、激勵(lì)策略內(nèi)化提出反思性問題自己反思、總結(jié),相互交流心得組織、鼓勵(lì)目標(biāo)檢測(cè)提出開放性問題獨(dú)立編題、相互解題提供問題背景,組織交流與評(píng)價(jià)

在這些環(huán)節(jié)中,問題的設(shè)置是核心環(huán)節(jié).問題的設(shè)置要圍繞著核心內(nèi)容和思想方法，要強(qiáng)調(diào)知識(shí)的綜合和聯(lián)系，針對(duì)學(xué)生的問題，保證一定的層次性和發(fā)展性,能進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由旎蜃兪?

本課教學(xué)中設(shè)計(jì)了獨(dú)立解決、反思提煉、合作研討、講議結(jié)合、思路探尋等各種活動(dòng)——“做、思、說、議”,這些活動(dòng)都是為概括數(shù)學(xué)思想方法和解決問題策略服務(wù)的.獨(dú)立解決問題、反思總結(jié)是基本學(xué)習(xí)活動(dòng)的平臺(tái).

概括是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法和解決問題策略的關(guān)鍵.概括就是把典型問題解決的基本步驟和要點(diǎn)一般化、程序化,并用語言清晰表述,使之成為今后問題解決的指南.

適當(dāng)訓(xùn)練是內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法和解決問題的基本途徑.要把總結(jié)出的思想方法和策略內(nèi)化為問題啟動(dòng)的自動(dòng)化行為習(xí)慣,需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練使操作程序“縮短”,形成可以嵌入新情境的“子程序”,并通過相互聯(lián)系,形成數(shù)學(xué)思想方法和策略系統(tǒng).

綜上所述,以問題為載體,以解決問題和反思總結(jié)為平臺(tái),以概括數(shù)學(xué)思想方法、發(fā)展數(shù)學(xué)思維為核心,以適當(dāng)訓(xùn)練為渠道,這應(yīng)該是專題復(fù)習(xí)課教學(xué)的基本策略.

[1] 涂榮豹,寧連華.中學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典教學(xué)方法[M].福州：福建教育出版社,2011.6.

[2] 曹才翰,章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2008.4.