開放式數(shù)學(xué)教學(xué)“二度”體驗與反思

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(湖州市第二中學(xué) 浙江湖州 313000)

開放式數(shù)學(xué)教學(xué)“二度”體驗與反思

●俞昕

(湖州市第二中學(xué) 浙江湖州 313000)

開放式教學(xué)一方面指課堂教學(xué)要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個有利于群體交流的開放的活動環(huán)境，成為師生思維活動雙向暴露過程，通過合作討論，讓學(xué)生的思維見解、情感體驗、意志欲望、行為方式受到尊重，引發(fā)他們積極進(jìn)取和自由探索；另一方面指在問題設(shè)計和討論中保留開放狀態(tài)，給學(xué)生的創(chuàng)新思維提供更廣闊的天地，得到更充分的發(fā)展.很多文獻(xiàn)都是以數(shù)學(xué)開放題作為載體來闡述開放式教學(xué)，筆者認(rèn)為這只是“開放式數(shù)學(xué)教學(xué)”的一個側(cè)面反映，下面筆者以2個課堂實例與讀者共同體驗與反思“開放式數(shù)學(xué)教學(xué)”.

1 數(shù)學(xué)新知的開放式建構(gòu)

課例片段“分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理”第一課時

教師給出問題(自主探究)：嘗試完成下列計數(shù)問題，并從數(shù)學(xué)的角度對這些問題進(jìn)行分類，試說明分類的依據(jù).

圖1

(1)如圖1所示，從B村到A村有2條路，從B村到C村有3條路.從B村到A村或C村，總共有多少種不同的走法？

(2)如圖1所示，從A村到B村有2條路，從B村到C村有3條路.從A村經(jīng)B村到C村，總共有多少種不同的走法？

(3)從5幅不同的油畫，2幅不同的國畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？

(4)班級的某小組中有男生7人，女生5人，現(xiàn)要從男生或女生中選出一個組長，總共有多少種不同的選法？

(5)用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？

(6)用前6個大寫英文字母和1～9這9個阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,…,B1,B2，…的方式給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？

教師給出合作探究任務(wù)：完成表1和表2，歸納結(jié)論.

表1 任務(wù)1

表2 任務(wù)2

大約4分鐘左右，教師請學(xué)生回答，有學(xué)生已完成題組分類工作，教師繼續(xù)給學(xué)生大約6分多鐘，請學(xué)生歸納各題組的結(jié)論.

體驗以上的教學(xué)過程總共化了12分鐘左右，這是教師精心設(shè)計的開放式數(shù)學(xué)教學(xué).本節(jié)課的一個重點是“分類與分步計數(shù)原理”這2個原理的得出過程，我們常規(guī)的教學(xué)是讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下得出這2個原理，以教師引導(dǎo)為主.但在以上的開放式教學(xué)中，教師拋出“計數(shù)問題”這個概念后，就直接給出一組題組，讓學(xué)生自己計算、進(jìn)行歸納和類比.在此過程中，教師沒有說過任何有關(guān)于問題結(jié)論的話，充分地體現(xiàn)了開放式教學(xué)“合作討論”、“自主探究”的特點.筆者認(rèn)為這樣的開放式教學(xué)具備以下3點價值：(1)新知內(nèi)容適宜開放式教學(xué).教師給出的6個問題都是涉及到“兩類”和“兩步”的問題，從簡單的“兩類”和“兩步”問題出發(fā)，便于學(xué)生對新知的逐步建構(gòu)，以致能順利地完成開放式教學(xué).(2)在開放式教學(xué)過程中讓學(xué)生不自覺地運用了“歸納”和“類比”這2種重要的數(shù)學(xué)思想方法.這樣的教學(xué)設(shè)計“一箭雙雕”，既讓學(xué)生通過自主探究掌握了數(shù)學(xué)新知，又讓學(xué)生在探究過程中體會了數(shù)學(xué)思想方法的重要性.眾所周知，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法往往比學(xué)習(xí)新知更為重要，掌握了數(shù)學(xué)思想方法，就等于擁有了開啟數(shù)學(xué)新知之門的金鑰匙.(3)學(xué)生有充足的時間對新知進(jìn)行內(nèi)化.以往教師對2個原理的引出筆墨較少，甚至直接給出結(jié)論，而是將更多的時間放置于2個原理的應(yīng)用上，通過大量的例題與習(xí)題以熟練學(xué)生對2個原理的應(yīng)用.殊不知在學(xué)生沒有完全將“2個原理”這個新知內(nèi)化到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去時，學(xué)生并沒有真正理解這2個原理，那么在應(yīng)用原理解題時勢必會出現(xiàn)混淆不清的局面，以致于造成錯誤的解答.而開放式教學(xué)在留給學(xué)生充足的時間進(jìn)行自我探究、自我建構(gòu)的同時，也留給學(xué)生充足的時間進(jìn)行知識的內(nèi)化，真正將知識融入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，對“2個原理”能進(jìn)行清晰地辨析與理解.

反思基于以上數(shù)學(xué)新知的開放式教學(xué)，筆者認(rèn)為有必要提出以下2點與同行們商榷：(1)是不是所有的數(shù)學(xué)新知都適合“開放式教學(xué)”？(2)在開放式數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)扮演何種角色？這2個問題是很值得思索的.鄭毓信教授曾指出：我們不應(yīng)將學(xué)習(xí)者的主動建構(gòu)與向其他人學(xué)習(xí)絕對地對立起來.基于建構(gòu)主義的開放式教學(xué)我們要用，但是要慎用.筆者認(rèn)為建構(gòu)理論在開放式課堂教學(xué)中可以體現(xiàn)在以下2點：(1)有些數(shù)學(xué)知識不只是通過教師傳授獲得的，而是學(xué)生在一定的情景下，借助于其他人(包括教師和學(xué)習(xí)伙伴)的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資源和相應(yīng)的學(xué)習(xí)過程，通過意義結(jié)構(gòu)獲得的.注意我們這里使用“有些數(shù)學(xué)知識”，而不是“所有數(shù)學(xué)知識”.數(shù)學(xué)是高度抽象的，若是所有數(shù)學(xué)知識都讓學(xué)生在開放的環(huán)境下自己建構(gòu)，這顯然是不符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的，更何況高中教育是普及性的教育，不是精英教育，因此實施開放式教學(xué)的內(nèi)容要細(xì)心謹(jǐn)慎選擇，比如上面的課例“分類與分步計數(shù)原理”第一課時的內(nèi)容是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，比較適合讓學(xué)生進(jìn)行開放式的自主探究學(xué)習(xí).(2)教師的“教”應(yīng)服從學(xué)生的“學(xué)”.教師要研究在教學(xué)過程中如何引導(dǎo)學(xué)生主動去觀察、思考、探索，力求通過他們自己的努力獲取知識，研究如何培養(yǎng)學(xué)生獨立學(xué)習(xí)的能力，以達(dá)到教學(xué)的最終目的，使學(xué)生不僅學(xué)會知識，而且學(xué)會學(xué)習(xí).但在這一過程中，絕對不能忽視教師的引導(dǎo)作用.教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用，在于設(shè)計問題的情境、提出問題，對學(xué)生的不同答案做出評價，進(jìn)一步深化問題.在整個教學(xué)中，教師的地位是啟發(fā)者、鼓勵者、咨詢者、指導(dǎo)者和示范者，學(xué)生的地位則是參與者和實踐者.教師在肯定學(xué)生認(rèn)知主體地位的同時，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)教師的主導(dǎo)作用，即教師應(yīng)是學(xué)生主動構(gòu)建的組織者、幫助者、促進(jìn)者.比如上述課例中，教師給出6分多鐘的時間讓學(xué)生自己歸納總結(jié)2個計數(shù)原理，若教師一言不發(fā)，就會出現(xiàn)“冷場”，教室里很安靜(學(xué)生不知道怎么討論)，或是學(xué)生會出現(xiàn)沒有明確方向的無目的性討論(無價值的討論).此時，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生討論的情形給予適當(dāng)?shù)姆较蛐砸龑?dǎo)，讓學(xué)生的自主探究始終圍繞主題，一針見血.同時，教師對學(xué)生的評價也是必不可少的，評價其實也可以看成是對學(xué)生的引導(dǎo).

2 數(shù)學(xué)問題的開放式探究

課例片段直線與圓錐曲線相交問題探究

教師讓學(xué)生先思考2分鐘，然后前后4個人一組，集中做一道題.過10分鐘左右，教師挑幾個小組的成果進(jìn)行展示，其中有關(guān)于“垂直問題”、“中點弦問題”、“弦長問題”等題目的展示.由于是學(xué)生臨時給出的數(shù)據(jù)，因此計算量比較大，有些小組雖然添加了條件，但未能計算出結(jié)果.

體驗數(shù)學(xué)開放題是相對數(shù)學(xué)封閉題而言的，它能有效地反映學(xué)生高層次的思維，在數(shù)學(xué)教學(xué)中引進(jìn)開放性問題對改革目前的數(shù)學(xué)教學(xué)有重要意義.關(guān)于什么是“數(shù)學(xué)開放題”，筆者在這里就不再贅述了，很多文獻(xiàn)都有詳細(xì)的論述.筆者認(rèn)為解析幾何的教學(xué)中引進(jìn)“開放題”這樣的開放式數(shù)學(xué)教學(xué)是有必要的.眾所周知，高中解析幾何內(nèi)容的解題具有通性通法、計算量大的特征.正因為這樣,導(dǎo)致很多學(xué)生在學(xué)習(xí)解析幾何時有這樣的感覺：拿到題目感覺似曾相識，有點思路，但真的動筆算下去，要么算不出來要么就算不下去.通性通法是數(shù)學(xué)發(fā)展的基石，是數(shù)學(xué)教育的核心，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一.上述課例中的這道開放性例題就為學(xué)生提供了掌握解析幾何中通性通法的良好途徑，比如學(xué)生想到的“垂直問題”、“中點弦問題”、“弦長問題”等.學(xué)生在解析幾何學(xué)習(xí)中的另一個問題就是計算問題.有些教師在課堂上抓緊時間講題目，而認(rèn)為計算是次要的，讓學(xué)生自己課后進(jìn)行計算，殊不知真正能夠自覺在課后進(jìn)行計算的學(xué)生并不多，這樣的教學(xué)處理容易造成學(xué)生“眼高手低”，也認(rèn)為解析幾何只要方法知道就行了，計算是次要的，久而久之就導(dǎo)致了在考試中“永遠(yuǎn)只知道方法但算不出來”的局面.因此在上述課例的開放式教學(xué)中，教師讓學(xué)生對自編的題目進(jìn)行詳細(xì)計算，而且數(shù)據(jù)也不是湊好的易算數(shù)據(jù)，這樣對培養(yǎng)學(xué)生的計算能力是有幫助的.

總的來說，以“開放題”為載體的開放式數(shù)學(xué)教學(xué)存在這樣的教育價值：(1)在開放題的解決過程中，學(xué)生從各自不同的已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，真正參與到教學(xué)中，去體驗數(shù)學(xué)，建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過這種方式進(jìn)行知識的同化和順應(yīng)，其結(jié)果更加牢固.(2)在這樣的開放式教學(xué)中，學(xué)生必須打破原有的思維模式，展開聯(lián)想和想象的翅膀，從多角度、多方位、多層次進(jìn)行探討，其思維方向和模式的發(fā)散性有利于創(chuàng)造性能力的形成；學(xué)生通過開放題的解答這種數(shù)學(xué)活動形式，可以在一定程度上體會并掌握科學(xué)研究的一些思維方式和基本方法，如觀察、分析、抽象、合情推理、實驗、驗證等等；開放題教學(xué)要注意師生之間、學(xué)生之間的數(shù)學(xué)交流，從而有利于提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述問題的能力.(3)開放題的教學(xué)方式還具有人文教育價值.開放題在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，樹立學(xué)習(xí)的自信心，凸現(xiàn)學(xué)生的主體意識，形成獨立的人格和克服困難、勇于探索的意志品質(zhì)，培養(yǎng)群體意識和合作精神，增強(qiáng)競爭機(jī)制，培養(yǎng)探索意識和創(chuàng)新意識，形成正確的科學(xué)態(tài)度等方面都具有極大的優(yōu)勢.

反思基于以上以“開放題”為載體的開放式數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者認(rèn)為有以下2點值得我們反思.

第一，基于開放式教學(xué)中“小組合作”的反思.在上述案例中，筆者發(fā)現(xiàn)有些小組合作討論的效果不是很明顯，有些學(xué)生的參與度不夠，反思跟分組有關(guān).筆者認(rèn)為我們要為學(xué)生創(chuàng)造良好的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體”，使每個學(xué)生都能積極參與共同體中的學(xué)習(xí)與討論.這個“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體”的創(chuàng)設(shè)尤為重要，教師可以以學(xué)生的自由組合為主，但要進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，做到組間同質(zhì)、組內(nèi)異質(zhì)，保證每個小組有一個組長，統(tǒng)領(lǐng)整個小組的討論方向，而這個組長需要具有比較扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).另外盡量做到使每個共同體內(nèi)部的成員都參與，特別是學(xué)困生，要特別指定一些學(xué)生幫助那些數(shù)學(xué)學(xué)困生，以免使“小組討論”變成“學(xué)困生被遺忘的角落”，而造成這些學(xué)困生產(chǎn)生自卑感，更加不愿意表達(dá)自己的想法，更加排斥數(shù)學(xué).這一點一定要引起教師的重視.此外，“小組討論”顯然也不應(yīng)該被看成“合作學(xué)習(xí)”的唯一形式，恰恰相反，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容、對象和環(huán)境，靈活地應(yīng)用各種可能的教學(xué)形式，包括全班討論、師生問答或集體評價等.

第二，筆者認(rèn)為上述開放式教學(xué)中還應(yīng)注意教師評價的作用.無論開放度有多大，就像放風(fēng)箏一樣，無論風(fēng)箏飛得多遠(yuǎn)，教師總要把握好方向，把握好自己手中的風(fēng)箏線.教學(xué)中針對學(xué)生已經(jīng)做出的多種不同解答(或多種不同解法)，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對此做出進(jìn)一步的比較和評價，幫助學(xué)生對自己在數(shù)學(xué)上的收獲做出自覺的總結(jié).即通過比較去發(fā)現(xiàn)各種不同解答之間可能存在的邏輯聯(lián)系，對各種解答(與解答方法)的正確性(有效性)做出判斷并給出必要的論證，以及做出必要的修正或推廣.當(dāng)然這對數(shù)學(xué)教師本身的素養(yǎng)有很高的要求.

以上是筆者對開放式數(shù)學(xué)教學(xué)的“二度”體驗與反思，開放式教學(xué)理應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“座上客”，但我們要慎用、巧用、妙用、細(xì)用，使它服務(wù)于我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，而不是為了“開放”而“開放”、“反客為主”，使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)為“開放”所累.