特殊建筑雙微方法幾何造型

張群力 周平槐 楊學(xué)林

(浙江省建筑設(shè)計研究院，杭州 310006)

建筑是凝結(jié)著人類文明歷史與科學(xué)技術(shù)的智慧結(jié)晶，一個城市建筑業(yè)的發(fā)展同時標志著它的綜合實力和社會精神面貌。近些年來，建筑師們不斷激發(fā)靈感，大膽創(chuàng)新，新建筑除了往高的方向發(fā)展，同時也呈現(xiàn)追求造型奇特的特點，給人以強烈的視覺沖擊。當(dāng)代建筑設(shè)計，包括理念和方法都因為計算機技術(shù)的發(fā)展而發(fā)生著根本的變革。自由曲線曲面的造型技術(shù)已成為現(xiàn)代建筑幾何造型的重要方法。曲線曲面的造型方法綜述起來有參數(shù)樣條方法、Coons曲面、Bezier曲線曲面和B樣條方法，其它還有自由變形造型、偏微分方程造型、和能量法造型、小波技術(shù)造型、逆向工程造型、幾何偏微分方程造型等等。當(dāng)前CAD/CAM中曲面造型的主流方法為Bezier曲線曲面和 NURBS 方法［1～2］。解析曲面和自由曲面都可以用NURBS曲面(非均勻有理B樣條曲面)統(tǒng)一表達［3～4］。

高技派大師諾曼·福斯特在再保險大廈和水晶島項目中建筑造型采用的是一種不定向斜網(wǎng)格幾何造型技術(shù)［5］。本文中要研究的是另一種可定向的網(wǎng)格(斜駛線網(wǎng)格)造型技術(shù)。該網(wǎng)格的空間螺旋結(jié)構(gòu)極為優(yōu)美，其傾角還可以自由選取。還是以莫斯科“水晶島”和倫敦“瑞士再保險總部大廈”的基本曲面為例，采用微分幾何與微分方程的方法建立這二個建筑的斜駛線網(wǎng)格幾何造型。

1 斜駛線的定義及幾何意義

過旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)軸的平面與旋轉(zhuǎn)曲面的交線稱為經(jīng)線。斜駛線是指曲面上與經(jīng)線夾角保持為定常數(shù)的曲線［6］。斜駛線又稱為定向線。在航海學(xué)里稱為航海線。飛機的航線也是按斜駛線劃分的。在生物形態(tài)學(xué)里稱為斜生線。螺線為柱面上與給定直線夾角保持為定常數(shù)的曲線，又稱定傾線，是斜駛線的一種特例。在平直的歐氏空間上可用直線作為參考方向。螺線定義中借助了外圍空間E3中直線的概念。但在彎曲空間(或流形)上高斯曲率不恒為0。一般不存在直線，要擺脫外圍空間影響，把曲面本身作為一個空間。用曲線與徑線在交點處切向量間的夾角來定義曲線與經(jīng)線夾角這種內(nèi)蘊定義方法更容易推廣到一般流形以及高維流形上［7］。

由于斜駛線被約束在一個對稱的旋轉(zhuǎn)曲面上，再加上定向的幾何約束，便在三維歐氏空間E3中呈現(xiàn)出了三維螺旋幾何結(jié)構(gòu)。比如，地球表面的斜駛線，由赤道出發(fā)朝著南北二極盤旋而去，無限延伸。在回轉(zhuǎn)曲面上，經(jīng)緯線是封閉的平面曲線，但斜駛線族卻是既不封閉又互不相交的開曲線。同一傾角的斜駛線在二維流形上是互相平行的(內(nèi)蘊平行)。根據(jù)曲面論基本定理，曲面是由其第一、二基本型完全確定的。曲面上由第一基本型決定的幾何量與性質(zhì)稱為內(nèi)蘊量與內(nèi)蘊性質(zhì)。曲面上曲線的長度、二曲線在交點處的夾角、曲線所圍的曲面面積等，均是曲面的內(nèi)蘊量。因此首先要求出曲面的第一基本型。曲線上的任一點鄰域內(nèi)曲線相對于直線的彎曲程度用曲率來衡量，曲面上任一點鄰域內(nèi)曲面相對于歐氏平面的彎曲程度用高斯曲率來衡量［8］。在高斯曲率恒為0的回轉(zhuǎn)柱面上，斜駛線、螺線、測地線，三者微分方程是一致的［9］。

2 曲面上二曲線交點處的夾角

對于參數(shù)曲面:

其第一基本型:

記 E=r'θ·r'θ，F(xiàn)=r'θ·r'φ，G=r'θ·r'φ，則有I=E(dθ)2+2Fdθdφ +G(dφ)2

其中E、F、G稱為曲面S的第一基本型系數(shù)。

第二基本型:

II=n·d2r=記 L=·n，M=·n，N=·n，則有

其中L、M、N稱為第二基本型系數(shù)。

假設(shè)dr，δr為曲面上二曲線在交點處切向量，則有:

假定dr，δr的交角為A，根據(jù)矢量點乘的定義:

3 回轉(zhuǎn)曲面斜駛線微分方程

假設(shè)θ為緯向參數(shù)，φ為經(jīng)向參數(shù)，(dθ，dφ)為斜駛線切向量的方向，(δθ，δφ)為經(jīng)線切向量的方向，A為經(jīng)線與斜駛線的交角。根據(jù)經(jīng)線定義，φ=const，故有δφ=0;由于回轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)緯線正交，矢量 r'θ和r'φ垂直，即 F=r'θ·r'φ=0。由斜駛線定義得:

化簡得

這是一個關(guān)于參數(shù)(內(nèi)蘊變量θ，φ)的局部微分方程，其通解為(θ，φ)平面上的曲線族，特解的幾何意義是平面(θ，φ)上的一條光滑曲線(θ，φ(θ))，也就是參數(shù)θ，φ間的一個幾何約束關(guān)系。對該曲線作坐標映射，便可得到E3中的一條完整斜駛線線:

r(θ，φ(θ))= ［x(θ，φ(θ))，y(θ，φ(θ))，z(θ，φ(θ))］從而可以在E3觀察到其螺旋幾何結(jié)構(gòu)。正負夾角A對應(yīng)左右傾兩條斜駛線，這二條空間曲線鏡象對稱。

3．1 球面上的斜駛線

球面是半圓弧回轉(zhuǎn)面，其參數(shù)方程為:

分別求導(dǎo):

因此有:

球面的第一、二基本形式:

對應(yīng)高斯曲率K=LN/EG=1/a2，為正的定常數(shù)。

由式(1)可得，球面上的斜駛線約束微分方程為:

該方程的通解為:

式中c為任意實常數(shù)。

將解回代到球面參數(shù)方程，可得球面上的一條斜駛線:

圖1為上述方程對應(yīng)的斜駛線?？梢钥闯?，斜駛線在球面上無限盤旋，向兩極延伸，但與兩個極點永不重合。

圖1 球面上的斜駛線

3．2 圓柱面上的斜駛線

圓柱面參數(shù)方程為:

求導(dǎo)得

由此可得單位法向量

高斯曲率K=LN/EG=0。

由式(1)可得，圓柱面上的斜駛線約束微分方程為:

即

該方程的通解為

令tgA=1，并假設(shè)初始條件為:φ =0，θ=0，則得c=0，對應(yīng)特解為

經(jīng)坐標映射得斜駛線方程:

這正是圓柱螺線方程。

4 偽球面上的斜駛線——莫斯科“水晶島”

莫斯科斥巨資正在興建的全球最大型建筑物——“水晶島”，圖2為其效果圖。水晶島以“樓中城”的概念為主，高約457m，可容納3萬人，建筑面積250萬m2。建成后將成為全世界單體面積最大的建筑物。

圖2 水晶島效果圖

通過偽球面上的斜駛線，可以得到水晶島的建筑造型。偽球面是負常高斯曲率曲面，由曳物線繞其漸近線z軸旋轉(zhuǎn)而形成的回轉(zhuǎn)曲面。曳物線，亦稱追跡曲線，是指被曳拉物體受垂直于初始靜止?fàn)顟B(tài)時繩線方向的牽引力作用下的運動軌跡［10］，其參數(shù)方程為:

繞z軸旋轉(zhuǎn)得偽球面參數(shù)方程:

偏導(dǎo)得:

圖3 曳物線參數(shù)示意圖

r'φ=(－ a cosθcosφ，a cosθsinφ，0)，因此，第一基本型系數(shù):

E=a2tg2θ，F(xiàn)=0，G=a2cos2θ，第一基本形式:

Ι=a2tg2θdθ2+a2cos2θdφ2，單位法向量計算并化簡后得

偽球面的等距面方程為:

其中λ0為給定常數(shù)。每一條斜駛線在等距面上有一條對應(yīng)的曲線，二者互為E3空間中的外在等距線。

令 ω =a ln(cosθ)，則有

因此，第一基本型可化簡為

高斯曲率:

為負的定常數(shù)。

由式(1)可得，偽球面上的斜駛線約束微分方程為:

即

其通解為

回代到偽球面的參數(shù)方程，得偽球面上的一條斜駛線:

假定式(3)中的參數(shù)a=10000;將連續(xù)參數(shù)θ進行離散，當(dāng)θ越接近 π/2，φ(θ)值增長越快。因此為保證整體效果，當(dāng)θ＜70°時每隔5°取一個數(shù)據(jù)點;當(dāng)70°≤θ ＜80°時間隔為 1°;當(dāng) 80°≤θ ＜85°時間隔為0．1°;當(dāng) 85°≤θ ＜88°時間隔為 0．01 弧度;當(dāng)88°≤θ＜89°時間隔為0．001弧度。表1為各區(qū)段典型節(jié)點的坐標。用樣條曲線連接相鄰數(shù)據(jù)點得到一條偽球面上斜駛線的樣條逼近曲線，將此樣條曲線線環(huán)向陣列，即以z軸為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)復(fù)制24次，得到24條斜駛線。再將24條斜駛線以x0z平面作鏡像復(fù)制，便得到一個空間對稱的幾何圖形。該圖形的對稱性可由一個24階旋轉(zhuǎn)變換群來表征。這就是水晶島的斜駛線網(wǎng)格造型，如圖4所示。

表1 偽球面上的斜駛線典型離散點坐標

圖4 水晶島幾何模型

5 劣圓弧回轉(zhuǎn)面上的斜駛線——倫敦“瑞士再保險總部大廈”

瑞士再保險大廈是倫敦第一座高層生態(tài)建筑，已成為了歐洲金融中心辦公建筑的里程碑式建筑。大廈的設(shè)計表達了高度激進的高層生態(tài)建筑意識，借助空氣動力學(xué)的研究，大廈取得了最大程度的自然采光和通風(fēng)，并將建筑運轉(zhuǎn)的能耗降至最低。大廈高180m，40層，打破了傳統(tǒng)辦公建筑設(shè)計的“火柴盒”式結(jié)構(gòu)，圓弧形的設(shè)計使底部和頂部漸漸收緊形成曲面，將大廈的輪廓線最大程度地融入周圍建筑和街道環(huán)境之中，并使底層廣場能夠得到最多的日照。圖5為建成后的實景圖。

通過劣圓弧回轉(zhuǎn)面上的斜駛線，可以得到大廈的建筑造型。劣圓弧在x0z平面上的母線方程，各參數(shù)的具體含義如圖6所示:

圖5 瑞士再保險大廈實景圖

圖6 劣圓弧參數(shù)示意圖

劣圓弧回轉(zhuǎn)面參數(shù)方程:

求導(dǎo)得

其中 v(θ)=au(θ)－ d

劣圓弧回轉(zhuǎn)面的等距面方程為:

回轉(zhuǎn)曲面上經(jīng)緯線是曲率線，因此劣圓弧回轉(zhuǎn)面上任一點經(jīng)線的曲率為k1=1/a，緯線的曲率為k2，相應(yīng)高斯曲率為［11］:

第一基本型系數(shù):

從式(1)可得劣圓弧回轉(zhuǎn)面上的斜駛線約束微分方程為:

兩邊積分，得

從而將斜駛線約束微分方程的求解，轉(zhuǎn)化為求不定積分。經(jīng)Matlab驗算，式(4)無法求得用基本函數(shù)表達的解析解。改用數(shù)值積分方法，所謂求數(shù)值積分，就是計算原函數(shù)F(x)(不論能否積出)在一系列離散點x0＜x1＜x2＜…xn＜…的近似值。利用Matlab的常用數(shù)值積分函數(shù)Quad函數(shù)來實現(xiàn)，Quad函數(shù)是采用自適應(yīng)步長的辛普森求積法［12］。

r(θi，φ(θi))=(x(θi)cosφ(θi)，x(θi)sinφ(θi)，z(θi))于是得到E3中斜駛線上對應(yīng)的一組離散點坐標(xi，yi，zi)，i=1，2，…n。

假定斜駛線與經(jīng)線的夾角A=30°，a=140×5/3=233．333，d=4/5a=186．666。k2=(a2－ d2)/a2=0．36，由 matlab 數(shù)值積分得到 θi與 φ(θi)的關(guān)系，便可求得各點坐標如表2。然后利用與水晶島類似的方法，得到再保險大廈的斜駛線網(wǎng)格造型，如圖7所示。由圖可知劣圓弧旋轉(zhuǎn)面的頂部較為尖銳。而由相關(guān)介紹資料，再保險大廈頂部設(shè)計是將劣圓弧漸漸收緊形成曲面。因此需要采取“壓頂技術(shù)”，也就是頂部保持x、y坐標不變的情況下，將z坐標乘以一個介于0和1之間的漸變的權(quán)系數(shù)。

同樣采用樣條曲線逼近，環(huán)向列陣、鏡像復(fù)制等幾何操作就得到再保險大廈的斜駛線網(wǎng)格造型。

6 小結(jié)

莫斯科“水晶島”的基本造型曲面是一個沿高度方向進行壓縮的偽球面，倫敦“瑞士再保險總部大廈”的基本造型曲面是一個接近于劣圓弧回轉(zhuǎn)面的自由曲面。利用微分幾何、微分方程方法，推導(dǎo)出偽球面和劣圓弧回轉(zhuǎn)面上的斜駛線微分方程。偽球面上斜駛線微分方程可求得解析解，劣圓弧回轉(zhuǎn)面上的斜駛線只能獲得數(shù)值解。每種曲面上只需求出一條斜駛線上的若干個離散點坐標，用樣條曲線依次連接，得到斜駛線的樣條逼近。將樣條曲線進行環(huán)形陣列和鏡像，分別得到莫斯科“水晶島”和倫敦“瑞士再保險總部大廈”的斜駛線網(wǎng)格建筑造型。由基本曲面上的法向量再求出其等距面方程，便可進行幕墻與結(jié)構(gòu)構(gòu)件的布置。

表2 劣圓弧回轉(zhuǎn)面上的斜駛線典型離散點坐標

圖7 瑞士再保險大廈幾何模型

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