一類帶有Hardy項和Sobolev-Hardy臨界指數(shù)橢圓方程的非平凡解*

劉 震, 沈自飛

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

一類帶有Hardy項和Sobolev-Hardy臨界指數(shù)橢圓方程的非平凡解*

劉 震, 沈自飛

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

研究了一類帶有Hardy項和Sobolev-Hardy臨界指數(shù)的橢圓方程

通過運用變分方法和精確估計得到了非平凡解u∈D1,2(Ω)的存在性.其中:Ω?RN(N≥3)是一個有界光滑區(qū)域,0∈Ω,λ>0,μ∈R,0≤s<2.

Hardy不等式;Sobolev-Hardy臨界指數(shù);變分方法;非平凡解

0 引 言

近年來,許多學者考慮了方程

本文考慮以下方程:

式(4)中:Ω?RN(N≥3)是包含原點的有界光滑區(qū)域;λ為正參數(shù);0≤s<2;μ∈R.因為當Ω是一個星型區(qū)域時,由Pohozaev等式可知,若q=2*,則方程(4)無非平凡解,故這里只考慮2

其中D1,2(Ω)={u∈L2*(Ω):|▽u|∈L2(Ω)},通過定義最佳Sobolev-Hardy常數(shù)

并找到了方程

的徑向對稱基態(tài)解

滿足

式(7)中

類似于Aμ,s的定義,在空間D1,2(Ω)上定義常數(shù)

以下是本文的主要結果:

(h0)h(x)∈C(Ω)∩L∞(Ω);

1 引 理

首先,給出關于Hardy不等式和Sobolev-Hardy不等式的2個引理,它們將在定理的證明中起到很好的作用.

為了用變分方法解決問題(4),在D1,2(Ω)上定義方程(4)的能量泛函為

由引理1和引理2知，I(u)有定義且I∈C1(D1,2(Ω),R).一般地,稱u∈D1,2(Ω)是問題(4)的一個弱解，如果對任意的φ∈D1,2(Ω),有

因此，方程(4)的弱解就是能量泛函I在D1,2(Ω)上的臨界點.

接下來通過山路引理證明I滿足局部Palais-Smale條件(簡記(PS)c),從而得到I在D1,2(Ω)中的臨界點,即方程(4)的弱解.

引理3假設條件(h0),(h1)成立,且0≤s<2,20,則I在D1,2(Ω)上滿足山路引理幾何條件.

證明 根據(jù)

由引理1可知,

由Sobolev-Hardy不等式可得

‖u‖2*(s).

(14)

因為20,使得I(u)≥ρ>0,?u∈?Bρ={u∈D1,2(Ω) | ‖u‖=ρ}.另一方面,對于?u∈D1,2(Ω)，有

(15)

引理4當0≤s<2,λ>0,2

(17)

(18)

由Sobolev-Hardy不等式知,存在C3>0,使得

由Hardy不等式得

從而

接下來證明I在D1,2(Ω)中滿足局部(PS)c條件.

證明 由引理3和引理4知I存在(PS)序列{un},且{un}在D1,2(Ω)中有界,從而存在一個收斂子列,不妨仍記為{un},當n→∞時,有

令υn=un-u,則由Brezis-Lieb引理[11]及Vitali′s定理有

由式(27)可令

(29)

接下來考慮函數(shù):

由λ,tε>0可知,

從而得到

t0ε.

(38)

結合式(30)與式(31)得

進一步,根據(jù)條件(h2)有

(40)

引理6證畢.

2 定理1的證明

證明 由引理1～引理6即可證得定理1.

注1為了得到正解的存在性,可以在D1,2(Ω)中考慮

其中,u+:=max{u,0}.從而,I+∈C1(D1,2(Ω),R),且I+的臨界點即為方程(4)的正解.

[1]Brezis H,Nirenberg L.Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents[J].Comm Pure Appl Math,1983,36(4):437-477.

[2]Ferrero A,Gazzola F.Existence of solutions for singular critical growth semilinear elliptic equations[J].J Differential Equations,2001,177(2):494-522.

[3]Cao Daomin,Peng Shuangjie.A note on the sign-changing solutions to elliptic problems with critical Sobolev and Hardy terms[J].J Differential Equations,2003,193(2):424-434.

[4]Ghoussoub N,Yuan C.Multiple solutions for quasilinear PDEs involving the critical Sobolev and Hardy exponents[J].Amer Math Soc,2000,352(12):5703-5743.

[5]沈自飛,楊敏波.具 Hardy-Sobolev臨界指數(shù)橢圓方程的非平凡解[J].數(shù)學學報,2005,48(5):999-1010.

[6]Kang Dongsheng,Peng Shuangjie.Positive solutions for singular crtical elliptic problems[J].Appl Math Letters,2004,17(4):411-416.

[7]康東升.一種奇異臨界橢圓方程的非平凡解[J].數(shù)學物理學報,2006,26A(5):716-720.

[8]Adimurthi,Filippas S,Tertikas A.On the best constant of Hardy-Sobolev Inequalities[J].Nonlinear Analysis,2009,70(8):2826-2833.

[9]García Azorero J P,Peral Alonso I.Hardy inequalities and some critical elliptic and parabolic problems[J].J Differential Equations,1998,144(2):441-476.

[10]Ambrosetti A,Rabinowitz P H.Dual variational methods in critical point theory and applications[J].J Functional Analysis,1973,14(4):349-381.

[11]Brezis H,Lieb E.A relation between pointwise convergence of functions and convergence of integrals[J].Proc Amer Math Soc,1983,88(3):486-490.

[12]Han Pigong.Quasilinear elliptic problems with critical exponents and Hardy terms[J].Nonlinear Analysis,2005,61(5):735-758.

(責任編輯 陶立方)

ExistenceofnontrivialsolutionsforaclassofellipticequationsinvolvingHardytermsandSobolev-Hardycriticalexponents

LIU Zhen, SHEN Zifei

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was discussed a class of elliptic equations involving Hardy terms and Sobolev-Hardy critical exponents

The existence of nontrivial solutions was proved via variational methods and delicate estimates, whereΩ?RN(N≥3) was an bounded domain with smooth boundary and containing the origin 0,λ>0,μ∈R, 0≤s<2.

Hardy inequality; Sobolev-Hardy critical exponents; variational methods; nontrivial solutions

O175.25

A

1001-5051(2013)01-0045-09

2012-09-02

國家自然科學基金資助項目(10971194;11101374)

劉 震(1986-),男,浙江龍游人,碩士研究生.研究方向:非線性泛函分析.