一夾一頂細(xì)長軸車削有限元數(shù)學(xué)建模*

聶 君

(重慶五一高級技工學(xué)校，重慶 400042)

一夾一頂細(xì)長軸車削有限元數(shù)學(xué)建模*

聶 君

(重慶五一高級技工學(xué)校，重慶 400042)

將加跟刀架采用一夾一頂裝夾的細(xì)長軸車削系統(tǒng)處理成三單元四節(jié)點(diǎn)有限元離散模型，利用空間梁單元建立細(xì)長軸的整體剛度矩陣，再結(jié)合切削力模型、跟刀架力學(xué)模型和工件變形位移模型建立細(xì)長軸的節(jié)點(diǎn)平衡方程。該方程同時(shí)考慮了實(shí)際切削力和工件變形間的耦合關(guān)系，能對細(xì)長軸切削點(diǎn)的變形位移進(jìn)行較高精度求解。

細(xì)長軸車削；有限元；耦合；變形位移

通常把長徑比大于25的軸類零件稱為細(xì)長軸。細(xì)長軸車削由于剛性差，在切削力作用下容易產(chǎn)生彎曲變形和振動，因此一直被歸為復(fù)雜零件加工。關(guān)于細(xì)長軸車削的研究，現(xiàn)階段不少學(xué)者都是借助ANSYS這類CAE軟件進(jìn)行仿真分析，而較少直接建立數(shù)學(xué)模型展開討論。細(xì)長軸車削時(shí)因工件受力產(chǎn)生彎曲變形而改變刀具的實(shí)際背吃刀量，進(jìn)而改變實(shí)際切削力大小，實(shí)際切削力反過來又會影響工件的實(shí)際變形位移，由此不難看出車削中實(shí)際切削力與工件彎曲變形間存在耦合效應(yīng)。利用ANSYS軟件編寫命令流對以上耦合關(guān)系進(jìn)行求解存在一定難度，因此針對加跟刀架采用一夾一頂?shù)募?xì)長軸車削(圖1)，嘗試?yán)糜邢拊ń⒓?xì)長軸的節(jié)點(diǎn)平衡方程來求解切削點(diǎn)的實(shí)際變形位移。

圖1 細(xì)長軸一夾一頂車削

圖2 空間梁單元的節(jié)點(diǎn)力

1 空間梁單元矩陣

考慮到細(xì)長軸具有直梁特征，因此在建立細(xì)長軸車削離散模型時(shí)，選用空間梁單元進(jìn)行建模，如圖2所示。根據(jù)文獻(xiàn)[1]對空間梁單元的推導(dǎo)，結(jié)合細(xì)長軸大長徑比的特點(diǎn)，得到12×12階的梁單元剛度矩陣：

E為材料彈性模量，I為細(xì)長軸截面慣性矩，G為材料剪切模量，A為細(xì)長軸截面面積，Ip為細(xì)長軸截面極慣性矩，le為單元長度。

2 跟刀架模型及其他邊界條件的確定

如圖3所示，建模時(shí)可將跟刀架的兩個(gè)支承爪考慮成與X和Y軸平行的受壓彈簧[2]，其剛度分別為kx和ky。

圖3 跟刀架及其力學(xué)模型

針對一夾一頂裝夾，可將卡盤端視為固定端約束，頂尖端視為移動鉸支座約束，得到細(xì)長軸車削系統(tǒng)的3單元4節(jié)點(diǎn)離散模型，如圖4所示：

圖4 細(xì)長軸車削系統(tǒng)的離散模型

圖4從左到右的4個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為卡盤的夾持點(diǎn)、切削點(diǎn)、跟刀架接觸點(diǎn)以及頂尖的支承點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)1、2之間的部分為單元①，節(jié)點(diǎn)2、3之間為單元②，節(jié)點(diǎn)3、4之間為單元③。利用直接剛度法將3個(gè)單元剛度矩陣組合成細(xì)長軸車削系統(tǒng)的整體剛度矩陣：

細(xì)長軸的節(jié)點(diǎn)平衡方程則可表示為：

[K]·[δ]=[F]

(1)

式中，[K]—細(xì)長軸整體剛度矩陣，[F]—節(jié)點(diǎn)力矩陣，[δ]—節(jié)點(diǎn)位移矩陣

3 邊界條件處理

3.1 位移條件

考慮節(jié)點(diǎn)1為固定端，有U1z=U1x=U1y=φ1z=φ1x=φ1y=0；節(jié)點(diǎn)4為簡支端，有U4x=U4y=0。將以上位移向量在節(jié)點(diǎn)平衡方程中對應(yīng)的行列刪除，方程化簡得：

3.2 載荷條件

① 切削力。細(xì)長軸車削時(shí)在節(jié)點(diǎn)2處分別受X、Y和Z向的切削分力作用，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)切削力公式[3]，空間切削分力表達(dá)式如下：

主切削力：

(2)

背向力：

(3)

進(jìn)給力：

(4)

以上各項(xiàng)系數(shù)、指數(shù)及修正系數(shù)均可根據(jù)車削刀具的幾何角度和切削用量查閱相關(guān)手冊得到。

② 際背吃刀量。車削過程中，刀具和工件受切削力作用會產(chǎn)生彎曲變形(即讓刀現(xiàn)象)，該變形量會影響車削時(shí)的實(shí)際背吃刀量，從而改變實(shí)際切削力大小，實(shí)際切削力的改變反過來又會影響工件的彎曲變形程度，因此實(shí)際切削力與工件變形位移間存在耦合效應(yīng)。

圖5 細(xì)長軸車削時(shí)的工件偏移模型

切削力大小與工件變形位移的聯(lián)系主要體現(xiàn)在背吃刀量上。背吃刀量分為名義背吃刀量ap和實(shí)際背吃刀量ape。加工中由于刀具和工件產(chǎn)生的讓刀現(xiàn)象，使得實(shí)際背吃刀量ape通常會略小于名義背吃刀量ap。

在計(jì)算實(shí)際背吃刀量時(shí)，因細(xì)長軸自身徑向剛度低，加工時(shí)主要由細(xì)長軸工件產(chǎn)生彎曲變形，故可以忽略刀具的變形位移，只考慮工件在水平X和豎直Y向上的偏移量[4]，如圖5所示：

圖中大圓dw表示工件的毛坯直徑，雙點(diǎn)劃線dm表示車削后不考慮變形位移的工件名義直徑和位置，小圓de表示車削后工件的實(shí)際直徑和位置。由圖可得：

(5)

式中U2x，U2y——工件切削點(diǎn)在X和Y軸上的偏移量。

實(shí)際背吃刀量ape可表示為：

(6)

將該實(shí)際背吃刀量公式代入經(jīng)驗(yàn)切削力公式，即可得到切削力與工件變形位移的函數(shù)關(guān)系。

(7)

④ 跟刀架的接觸力。根據(jù)跟刀架力學(xué)模型，節(jié)點(diǎn)3處的水平和豎直支承爪可視為與X、Y軸平行的彈簧，其接觸力大小與接觸點(diǎn)的偏移量成正比，可表示為：

F3x=-kxU3x，F(xiàn)3y=-kyU3y

(8)

綜合以上載荷條件，得到載荷向量：

4 算例計(jì)算

設(shè)細(xì)長軸工件長度l=1 500 mm、毛坯直徑dw=φ20 mm、截面面積A=314 mm2、截面慣性矩I=0.785 mm4、極慣性矩IP=15 700 mm4，工件材料為45鋼，其彈性模量E=2.07×108N/mm2、剪切模量G=80×106N/mm2。跟刀架安裝位置距離切削點(diǎn)l2=20 mm，支承爪材質(zhì)為球墨鑄鐵，通過試驗(yàn)測得其X和Y向剛度分別為kx=4.47×103N/mm和ky=2.03×104N/mm。車削刀具選用YT15硬質(zhì)合金車刀，其強(qiáng)度極限σb=600 MPa、屈服極限σs=355 MPa。具體刀具幾何角度和切削用量如表1所示。試計(jì)算當(dāng)車削至l1=860 mm時(shí)，細(xì)長軸在切削點(diǎn)處產(chǎn)生的變形位移U2x和U2y值。

表1 細(xì)長軸車削所選刀具幾何角度及切削用量

將以上加工條件代入之前各式，建立細(xì)長軸節(jié)點(diǎn)平衡方程。由于細(xì)長軸剛度矩陣具有帶狀、對稱、稀疏等特點(diǎn)，矩陣中大部分元素為零，因此可借助Matlab軟件利用消元法編程求解，得到細(xì)長軸在切削點(diǎn)處的變形位移如表2所示：

表2 細(xì)長軸在切削點(diǎn)處的變形位移(mm)

相同工況，通過ANSYS軟件作靜力分析，所得結(jié)果如表3所示：

表3 ANSYS仿真結(jié)果(mm)

比較兩組數(shù)據(jù)不難看出結(jié)果非常接近，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。利用ANSYS建模時(shí)通常是以給定切削力恒定值進(jìn)行仿真模擬，因此相比而言，表2中的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度更高。

5 結(jié) 語

將切削力模型、跟刀架力學(xué)模型和工件變形位移模型代入細(xì)長軸車削系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)平衡方程中，借此表達(dá)實(shí)際切削力與工件變形位移間的耦合關(guān)系，并嘗試借助Matlab軟件對特定工況下的細(xì)長軸在切削點(diǎn)處的變形位移進(jìn)行了求解，求解結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果接近，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，為對細(xì)長軸車削作進(jìn)一步的深入研究提供了依據(jù)。

[1] 朱伯芳. 有限單元法原理與應(yīng)用[M]. 北京：中國水利水電出版社，2009

[2] 韓榮第，郭建亮. 加跟刀架的細(xì)長軸車削加工尺寸誤差的仿真[J]. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2005(11)：108-112

[3] 韓榮第，周明，孫玉潔. 金屬切削原理與刀具[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004

[4] PHAN A V，BARON L，MAYER J. Finite element and experimental studies of diameter errors in cantilever bar turning[J]. Applied Mathematical Modeling, 2003(27)：221-232

Keywords：slender shaft turning；finite element；coupling；deformation displacement

Mathematical Modeling with Finite Element for the Slender Shaft Turning with a Clamping Chuck and a Back Center

NIEJun

(Chongqing Wuyi Senior Vocational School, Chongqing 400042, China)

The follower rest is processed into 3-unit-4-node finite element discrete model by system of slender shaft turning with a clamping chuck and a back center, the whole stiffness matrix of slender shaft is set up through space beam element, slender shaft node balance equation is established by the combination of cutting force model, follower rest mechanical model and workpiece deformation displacement model and this equation simultaneously considers the coupling relation between real cutting force and workpiece deformation and can solve, in higher precision, the deformation displacement of the cutting point of the slender shaft.

1672-058X(2013)10-0034-07

2013-04-04；

2013-04-16.

聶君(1982-)，男，重慶市人，講師，從事數(shù)控應(yīng)用研究.

TG501

A

責(zé)任編輯：李翠薇