廣義非擴張映象的不動點定理

鄧 紅 彥

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331)

廣義非擴張映象的不動點定理

鄧 紅 彥

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331)

引入一類更廣泛于非擴張映象的一種映象，推廣了Bogin和Gregus的結論，并對完備度量空間和完備凸度量空間上該映象的不動點定理給出了證明.

不動點；壓縮；非擴張；凸度量空間

1922年，在Banach首次提出了壓縮映象之后，人們相繼提出非擴張映象、漸進非擴張映象、漸進擬非擴張型映象等概念，并取得了大量成果. 受文獻[1-3]的啟發(fā)，引入一種更廣義的映象替代原來的映象，并得到相同的結論.

1 預備知識

設(X,d)是度量空間，滿足：?x,y∈X,有d(Tx,Ty)≤kd(x,y),k∈[0,1).則映射T：X→X,T為壓縮映象,若k=1，則稱T是非擴張映象.

定義1[1]T：C→C是Banach空間的子集C上的映射，稱T滿足“條件”(C)，如果

顯然條件(C)弱于非擴張映象.

定理1[2]設(X,d)是非空完備度量空間，映射T：X→X，滿足：

d(Tx,Ty)≤ad(x,y)+b[d(x,Tx)+d(y,Ty)]+c[d(x,Ty)+d(y,Tx)]

其中a≥0,b>0,c>0且a+2b+2c=1，則T有唯一一個不動點.

定義2[3]設(X,d)是度量空間，映射W：X×X×[0,1]→X，稱W為X的凸結構，若滿足：

d(u,W(x,y,λ))≤λd(u,x)+(1-λ)d(u,y);?(x,y,λ)∈X×X×[0,1],?u∈X

存在此類映射W的度量空間稱為凸度量空間.

顯然,在凸度量空間中可得到d(x,W(x,y,λ))≤(1-λ)d(x,y),d(y,W(x,y,λ))≤λd(x,y).

定理2[2]設C是Banach空間B中的非空閉凸完備度量空間，映射T：C→C，滿足：

‖Tx-Ty‖≤a‖x-y‖+b(‖x-Tx‖+‖y-Ty‖),?x,y∈C

其中a>0,b>0且a+2b=1，則T有唯一一個不動點.

2 主要結論

d(Tx,Ty)≤a1d(x,y)+a2d(x,Tx)+a3d(y,Ty)+a4d(x,Ty)+a5d(y,Tx)

證明設dn=d(Tnx,Tn+1x)，其中d0=d(x,Tx).

所以

(1)

即{dn}是不增序列.

下證?x∈X，?k∈(0,2)，使得d(Tx,T3x)≤kd(x,Tx)成立.

第二種情況：d(x,T2x)

令a1+a2+a3+a4k=m，則有?x∈X,d2≤md0(m<1).

矛盾.證畢.

下證?y∈X，k<1，使得d(y,Ty)

下證T的不動點的唯一性.

d(u,v)=d(Tu,Tv)≤a1d(u,v)+a2d(u,Tu)+a3d(v,Tv)=a1d(u,v)

矛盾.證畢.

[1] POPESCU O.Two generalizations of some fixed point theorems[J].Computers and Mathematics with Applications, 2012(62)：3912-3919

[2] BOGIN J.A generalization of a fixed point theorem of Goebel[J].Kirk and Shimi Canad Math Bull,1976(19)：7-12

[3] TAKAHASHI W.A convexity in metric space and nonexpansive mappings[J].Kodai Math,1970(20)：142-149

[4] GREGUS M.A fixed point theorem in banach spaces[J].Boll Unione Mat Ital Sez A,1980(17)：193 -198

[5] FUKHA H.Fixed point results for a generalized nonexpansive map in uniformly conxex metric spaces[J]. Nonlinear Analysis,2012(75)：4747-4760

[6] JONG S J.Strong convergence of iterative methods fork-strictly pseudo-contractive mappings in Hilbert spaces [J].Applied Mathematics and Computation,2010(215)：3746-3753

Keywords：fixed point；contraction；non-expansion；convex metric space

Fixed Point Theorem of Generalized Non-expansive Mapping

DENGHong-yan

(School of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

This paper introduces a kind of mapping from a class of generalized non-expansive mapping, extends the results by Bogin and Gregus, and gives proofs for the fixed point theorem on complete metric space and complete convex metric space.

1672-058X(2013)10-0008-05

2013-04-10；

2013-05-06.

鄧紅彥(1988-)，女，重慶人，碩士研究生，從事不動點理論及其應用研究

O177

A

責任編輯：李翠薇