帶有q 距離的廣義Ekeland變分原理的應(yīng)用*

陳 嬌

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331)

帶有q距離的廣義Ekeland變分原理的應(yīng)用*

陳 嬌

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331)

研究了廣義Ekeland變分原理在分離賦范空間中的一些重要應(yīng)用.利用廣義Ekeland變分原理證明了函數(shù)f滿足關(guān)于?的Takahashiε-條件當且僅當f滿足關(guān)于相同的?的Hamelε-條件.

Ekeland變分原理；q距離；Takahashi-ε條件；Hemal-ε條件

基于Ekeland變分原理在非線性分析、優(yōu)化控制論、動力系統(tǒng)等各方面都有廣泛應(yīng)用，許多作者從不同的角度進行了推廣[1-9].特別地，Z.L.Wu[3]在完備度量空間中利用Ekeland變分原理證明了Takahashi-ε條件的等價定理，以及在弱尖極小及不動點等中的應(yīng)用.J.H.Qiu[9]在分離賦范空間上建立了具有q距離的廣義Ekeland變分原理，并利用其推導(dǎo)出廣義Caristi不動點定理、廣義Takahashi非凸最小化定理, 并證明其等價性等相關(guān)給論.

此處在分離賦范空間下引入q距離分別建立Takahashi-ε條件及Hemal-ε條件, 并利用廣義Ekeland變分原理證明其等價性及一些相關(guān)結(jié)論.

1 預(yù)備知識

為了得到主要結(jié)果,首先引進下面的定義和引理.

定義1[9]設(shè)X是一個分離賦范空間，映射P：X×X→[0,+∞)滿足：

(p1) ?x,y,z∈X,p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z).

(p2) 對任意序列{yn}∈X,滿足p(yn,ym)→0(m>n→∞)是一個柯西列，p(yn,y)→0與yn→y等價.

(p3) 對每個x,y,z∈X,p(z,x)=0且p(z,y)=0,則x=y.

則稱p是p距離.如果條件(p2)用下面更弱的條件：

(q2) 對任意序列{yn}∈X,滿足p(yn,ym)→0(m>n→∞)是柯西列，p(yn,y)→0蘊含了yn→y.

則稱p是q距離.

定義2 設(shè)(X,μ)是賦范空間，p是q距離.稱真函數(shù)f：X→(-∞,+∞]關(guān)于p序列下單調(diào)的，如果對任意序列{xn}滿足

定義3 設(shè)(X,μ)是分離賦范空間P：X×X→[0,+)為q距離，φ：(-∞,+∞]→(0,+∞)為非減函數(shù).f：X→R∪{+}為序列下單調(diào)、下有界的真函數(shù).稱f滿足關(guān)于?的Takahashiε-條件，如果存在ε,α,x∈X分別滿足0<ε≤+∞,?>0，infXf

稱f滿足關(guān)于相同的?的Hamelε-條件，如果存在ε,α,x∈X分別滿足0<ε≤+∞,?>0，infXf

定理1 設(shè)(X,U)是分離賦范空間P：X×X→[0,+)為q距離，f：X→R∪{+}為關(guān)于p序列下單調(diào)，下有界的真函數(shù).設(shè)(X,U)是關(guān)于(p,f)是序完備的，φ：(-,+]→(0,+)為非減函數(shù).假設(shè)f滿足下列條件：

(A1) 對任意u∈X,f(u)>infx∈Xf(x),存在v∈X,v≠u，滿足

2 主要結(jié)果

定理2 設(shè)(X,U)是分離賦范空間P：X×X→[0,+)為q距離，φ：(-,+]→(0,+)為非減函數(shù).f：X→R∪{+}為序列下單調(diào)、下有界的真函數(shù).設(shè)(X,U)是關(guān)于(p,f)是序完備的，則對任意0<ε≤+,?>0，f滿足關(guān)于?的Takahashiε-條件當且僅當f滿足關(guān)于相同的?的Hamelε-條件.

證明″?″對任意u∈X,設(shè)

則對任意的0<ε<+，只需證明對任意滿足infXf

即x∈S?(u).

下面證明z∩S?(x)≠?.

由前面的證明方法，有f(xn+1)≤f(xn).顯然{f(xn)}是一個不減的下有界的實數(shù)列.

當n>m時，有xm∈S(xm-1)?S(xn)，即

αp(xn,xm)≤φ(f(xn))(f(xn)-f(xm))≤φ(f(xn))(f(xn)-β)≤φ(f(x0)(f(xn)-β)→0,n→

設(shè)m→，有則?S(xn),?n=0,1,2,….

注1 當X為完備度量空間,p(x,y)=d(x,y),φ(x)=1,f為有下界的真下半連續(xù)函數(shù)時, 定理2退化為文獻[3]中的定理2.2.

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Keywords：Ekeland variational principle；q distance；ε-condition of Takahashi；ε-condition of Hamel

Application of Generalized Ekeland Variational Principle with q Distance

CHENJiao

(School of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

Some important applications of generalized Ekeland variational principle to separated normed space are studied, the generalized Ekeland variational principle is used to prove that function f satisfiesε-condition of Takahashi with ? if and only if f satisfiesε-condition of Hamel with the same ?.

1672-058X(2013)10-0001-04

2013-04-08；

2013-05-25.

國家自然科學基金項目(10831009)；重慶自然科學基金項目(2011BA0030)；重慶市科委運籌學與系統(tǒng)工程重慶實驗室專項經(jīng)費資助(CSTC，2011KLORSE02)；重慶市教委科技項目資助(KJ110625).

陳嬌(1988-)，女，重慶銅梁人，碩士研究生，從事變分分析及應(yīng)用研究.

O176;O177.91

A

責任編輯：李翠薇